Разложение сигнала на составляющие

Попробовать привести к базису фурье-коэффициенты рассчетных кривых -> разложить в нем оные эксперементальной?

Кстати, вот чё-то посмотрел Ильина (известный матан для 1 курса), там речь идет об ортонормированных базисах в главе про ряды Фурье. А я щас что-то забыл, почему именно о них, а не просто о линейно независимых?

Скажем, если из тригонометрической системы (которая ортогональная) сделать другую, которая будет не ортогональна, но линейно независима, то условия сходимости ряда Фурье к функции будут теми же, am I right?

Навряд ли, «базисные» кривые не похожи на ортогональные. Это значит, что в принципе можно найти бесконечное кол-во разбиений или вообще ни одного.

Ежели просто сумма, то нужно решить систему линейных уравнений. Типа Ax=y, где A — матрица где в столбцах твои теоретические кривые, y — эксперимент, x — ответ.

Навряд ли, «базисные» кривые не похожи на ортогональные.

Так можно из линейно независимых их сделать. Алгоритм называется «ортогонализацией Шмидта» или как-то так.

что в принципе можно найти бесконечное кол-во разбиений или вообще ни одного.

Как раз, о чём я спрашивал. В Ильине написано про ортонормированные базисы, но мельком пробежав по выводам теорем не понял, в чём там суть использования именно их.

Там 2 важных вывода:

1) Для полной системы векторов (или там базисных функций) у 2 разных функций 2 разных ряда.

2) Условия, когда ряд сходится к функции (вроде доказывается только для тригонометрической системы)

Так что вроде ТС может просто отнормировать свои функции и скалярные произведения будут коэффициентами. Ну а не выйдет - я ни при чём :)

ну типа составляешь вектор abs(E-sum_i A_i*x_i) или abs(E^2-sum^2), E - экспериментальные точки, A_i — точки базисных функций, x_i — коэффициенты, инициализируешь x_i рендомно, минимизируешь вектор в многомерном пространстве, повторяешь много раз, смотришь частоту получающихся решений. Число осей в пространстве можно поначалу ограничить более грубой дискретизацией базиса.

то условия сходимости ряда Фурье к функции будут теми же, am I right?

Уж плохо помню, но есть речь о «сходимости», то ряд бесконечен: более частотные будут просто вносить все меньшую поправку, не меняя остальных коэффициентов. Не вижу, как это будет возможно лишь при линейной независимости. (Ну и вычислительно точнее, это уже и к нормированности вроде относится).

если много реализаций есть, в каждой из которых свои коэффициенты, то все реализации чохом можно разложить не зная вида функций даже...

или abs(E^2-sum^2)

затупил: sqrt(sum(E-sum_i A_i*x_i)^2)

Ну... для дискретного случая если требуется вектор x приблизить найлучшим образом взвешенной суммой векторов y_i, то получается так:

http://kawais.mooo.com/basis.png

Впрочем, не только для дискретного.

Если базис ортонормированный, то коэффициенты находятся просто: x_i = (x, e_i) Для произвольной полной линейно независимой системы искать коэффициенты сложнее, поэтому проще ее ортонормировать, получить матрицу перехода и разложив по нормированному базису получать коэффициенты домножением на матрицу перехода. Если пространство бесконечномерное (как C[0,1], L_2, ...), то ортонормированность почти необходимое условие для нормальной работы: матрицу то не составишь.

Есть ли способ разложить экспериментальную кривую на набор расчетных, так чтобы получить эти самые коэффициенты?

Метод Ритца даст «эти самые коэффициенты», минимизирующие функционал в виде суперпозиций известных расчетных функций.

Ух, спасибо! Теперь у меня восстановилась целостность картины :)

Картина кривая. Ортогональность в задаче ТС вообще не впилась, достаточно потребовать лишь линейную независимость. Далее см тут, ответ в последней формуле.

По описанию очень похоже, на то, что хочется. Спасибо. Как доберусь до нормальных интернетов, разберусь.

Спасибо за все предложения. По результатам проб всех/почти всех вариантов, отпишусь о том, который лучше всего сработает на моих данных.

да, можно. Метод минимальных квадратов. Все стандартно.

Скажем, если из тригонометрической системы (которая ортогональная) сделать другую, которая будет не ортогональна, но линейно независима, то условия сходимости ряда Фурье к функции будут теми же, am I right?

да.

Есть набор таких вот расчетных кривых. И есть одна экспериментальная, которая, по идее, должна являться суммой расчетных с некоторыми коэффициентами. Есть ли способ разложить экспериментальную кривую на набор расчетных,

а сколько у тебя рассчетных? Их конечное количество?

Метод Ритца даст «эти самые коэффициенты», минимизирующие функционал в виде суперпозиций известных расчетных функций.

Ну, это если система полная.

Ну, это если система полная.

Ага, но ТС это гарантирует: " И есть одна экспериментальная, которая, по идее, должна являться суммой расчетных с некоторыми коэффициентами".

конечной суммой или бесконечной?

Из задачи непонятно, сколько в теории рассчетных кривых может быть.

Если их конечное небольшое число, то думать тут нечего и нужно делать МНК обычный.

Если их много, тот тут уже надо ставить задачу о допустимой ошибке. Смотреть скорость схождения, смотреть численные ошибки. А в схождении будет обязательно проблема, ибо зависит от функционала. В общем случае сказать что-то о схождении будет крайне трудно, если вообще возможно.

Ах да, МНК можно делать исходя из отклонений от опорных значений, или исходя из интегралов разности приближаемой функции и базисных функций.

Из задачи непонятно, сколько в теории рассчетных кривых может быть.

Да, в правильной постановке задачи обычно половина решения.

Кривых конечное значение. Ориентировочно будет не больше 10, ну пусть 50.