LINUX.ORG.RU

Про обобщенные функции

 


1

3

Привет, мужики, давно у вас не был. Тут некоторое время назад прочитал про такую зашибенную вещь, называется обобщенные функции. Я как понял, есть такие специальные пространства обобщенных функций, где они образуют группу по свертке и есть пространства обобщенных функций, где разные модные интегральные преобразования (Фурье, Лапласа) отображают эти пространства сами на себя. А мы знаем, как преобразование Лапласа позволяет решать всякие дифуры (с помощью операционного исчисления, например). Однако, книжка была весьма путанная, я так и не понял, взять вот функцию e^(-a*z), которая является образом \delta(x-a). Как сделать её обратное преобразование, т.е. получить эту их дельта функцию?

А ешё есть профит от обобщенных функций?

Накрутите мне скор 50, плиз

Как сделать её обратное преобразование

Что, никогда не видел формулы обратного преобразования Лапласа?

По сабжу ничего сказать не могу, в своей области (оптимальное управление) почти не встречал.

buddhist ★★★★★
()
Последнее исправление: buddhist (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от buddhist

Ну ты как будто вопроса не понял. У «обычных» функций преобразование Лапласа затухает к бесконечности с какой-то там скоростью (оно и понятно ведь). А тут e^(-az), видишь? Обычная формула и не сработает.

hey-propagandist
() автор топика

Если мне не изменяет память, то когда преобразование (мне встречалось только Фурье) от обобщённой функции (функционала) не определено явно, то его определяют, действуя на пробные функции преобразованным функционалом.

kike
()

Вот как, например, производная. Ты же не знаешь что такое производная от дельта-функции, в том смысле что знаешь только как функционал действует на функции. Впрочем, даже производную брать не нужно, точно так же дельта-функция определяется только через действия на функции..

Пусть D[f] обозначает дифференцирование. Тогда (D[\delta], f) = -(\delta, D[f]) = -f'(0) .

Так же с преобразованиями. Если нельзя сказать как выглядит результат преобразования явно и даже сложно определить вид результата, действуя на пробные функции, как выше, то всё, что нам остаётся это вычислять, перекидывая тем или иным способом преобразование с функционала на пробные функции.

kike
()

Как сделать её обратное преобразование, т.е. получить эту их дельта функцию?

взять и сделать. Как в википедии написано. Просто взять интеграл и увидеть, что получается Дельта-функция.

dikiy ★★☆☆☆
()
Ответ на: комментарий от buddhist

По сабжу ничего сказать не могу, в своей области (оптимальное управление) почти не встречал.

оппа. Буду тебя спрашивать есличо. Можешь дать жабир?

dikiy ★★☆☆☆
()

Я везде говорил «пробные функции», что, конечно, неверно. Пробные они когда мы хотим определить вид функционала. Мы их в таком контексте называем пробными.

А так «обычные» функции называются основными.

kike
()
Ответ на: комментарий от hey-propagandist

Лол, и правда. Извини, ОП прочитал очень мельком.

buddhist ★★★★★
()

И кстати, не забывай, что интеграл обратного преобразования - это интеграл по замкнутому контуру, то есть берется с помощью теоремы Коши.

dikiy ★★☆☆☆
()

Ты дельта-функцию не трогай, Дирак с ней накрутил, уже полста лет разобраться не могут. Это просто костыль, за которым ничего нет (хотя некоторые говорят,что это мера).

ZERG ★★★★★
()

Обобщенная функция - это определенный функцониал, определенный на пр-ве базовых ф-й.

А ешё есть профит от обобщенных функций?

Такое же как от комплексных чисел при решении степенных уравнений. Пр-во обычных ф-й вкладывается в пр-во обобщенных, т.о. можно считать обобщенные ф-и - расширением обычных, при этом ур-е не имеющее решения в обычных ф-ях может быть решаемо в обобщенных (например не любая ф-я может иметь производную, но соответствующая обобщенная ф-я обязательно имеет слабую производную).

Допустим то же уравнение струны не решается в обычных ф-ях, если положение струны не задано дважды дифференцируемой ф-ей (оно в этом случае просто не имеет смысла - ведь для записи у-я нужна производная, а ее не существует). Но в обобщенных ф-ях все решается.

anonymous
()
Ответ на: комментарий от anonymous

Эти ваши обобщённые функции даже перемножить толком нельзя. Даже простейшие из них: http://latex.codecogs.com/gif.latex\cfrac{1}{4}%20%3D%20\int%20\theta^2%28x%29%20\delta%28x%29%20dx%20%3D%20\cfrac{1}{3}%20\int%20d\theta^3%28x%29%20%3D%20\cfrac{1}{3}

Даже с формализмом гиперфункций и то удобнее работать, не говоря уже о распределениях.

anonymous
()
Ответ на: комментарий от kike

И это всё, что ты мне можешь предложить? Даже в Колмогорове, Фомине пара страниц всего общих соображений, нигде не сказано, что это и с чем это едят. Лишь набор действий, описывающих работу с дельтой.

ZERG ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от ZERG

Потому что про обобщённые функции надо Гельфанда-Шилова чейтать, а не Колмогорова-Фомина.

anonymous
()
Ответ на: комментарий от anonymous

Эти ваши обобщённые функции даже перемножить толком нельзя.

Можно, все прекрасно перемножается.

не говоря уже о распределениях.

Обобщенная функция - и есть распределение.

anonymous
()
Ответ на: комментарий от anonymous

Секундочку. А как называется учебник, на который ZERG ссылался названием «Колмогоров-Фомин»?

anonymous
()
Ответ на: комментарий от anonymous

Можно, все прекрасно перемножается.

Вот как? Может ещё скажешь, что одна треть равна одной четверти?

anonymous
()
Ответ на: комментарий от kike

Во, я как раз читал про них из книги про урматы. А там он ссылается на книгу и про обобщенные функции. Надо качнуть. Вот про интегральные преобразования там несколько сложновато написано (обозначения у него мутные какие-то)

anonymous
()
Ответ на: комментарий от kike

Я его перечитываю, отличная книга. Владимиров скушен, имхо.

ZERG ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от hey-propagandist

А ты на что рассчитывал? Что у тебя интеграл будет сходящимся? И даст в результате дельта-функцию, то есть бесконечное значение?

В общем, про преобразование Лапласа в первую очередь следует помнить, что у него есть области где оно не определено, области, где оно определено и конечно, и области, где оно определено и бесконечно (тонкая грань между первой и второй областями). Дельта-функция как раз и относится к последнему случаю.

По опыту, темы интегральных преобразований лучше всего описаны в книгах по цифровой обработке сигналов. Попробуй там эту тему почитать.

prischeyadro ★★★☆☆
()

Перепись шизофреников на лоре?

anonymous
()
Ответ на: комментарий от prischeyadro

А ты на что рассчитывал? Что у тебя интеграл будет сходящимся? И даст в результате дельта-функцию, то есть бесконечное значение?

Дельта функция - это не бесконечное значение. Погугли про слабую сходимость

hey-propagandist
() автор топика
Ответ на: комментарий от hey-propagandist

Речь о значении искомой функции в какой точке? Если в t=0, то это несобственный интеграл вдоль константы 1, который бесконечен. Если в любой другой точке, то это несобственный интеграл вдоль косинусоиды, который вроде как равен нулю.

prischeyadro ★★★☆☆
()

Ользо преобразования от обобщённых функций могут считаться с помощью регуляризаций всяких.

kike
()
Ответ на: комментарий от prischeyadro

Речь о значении искомой функции в какой точке?

У обобщенных ф-й нету никакого «значения в точке». Если только не считать точками обычные ф-и.

anonymous
()
Ответ на: комментарий от anonymous

Я не матанобог, а простое инженеробыдло. Я только на пальцах умею. (((

prischeyadro ★★★☆☆
()
Ответ на: комментарий от kike

И носителя в этом смысле у обобщенных ф-й нету.

anonymous
()
Ответ на: комментарий от ZERG

Ты дельта-функцию не трогай, Дирак с ней накрутил, уже полста лет разобраться не могут. Это просто костыль, за которым ничего нет

на практике постоянно встречается. Как ты удар запишешь?

emulek
()
Ответ на: комментарий от emulek

Я не говорю, что она плоха как инструмент.

ZERG ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от emulek

Ну так значит сейчас в любом мат пакете типа матлаба это должно быть.

yvv ★★☆
()
Ответ на: комментарий от dikiy

что интеграл обратного преобразования - это интеграл по замкнутому контуру, то есть берется с помощью теоремы Коши.

Это лажа. Обратное преобразование берется в смысле главного значения по Коши. А то, что его берут контурным интегрированием — это уже просто приём, к определению не имеющий отношения.

unanimous ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от dikiy

Эх ты, а ещё советовал! )

С темой я пока так и не разобрался, если чё, просто не очень сильно надо. Как я понимаю, надо с какой-то пробной функцией скалярное произведение брать, не?

hey-propagandist
() автор топика
Ответ на: комментарий от hey-propagandist

Рекомендую почитать Пенроуза, Путь к реальности, он там весьма интересно в соответствующей главе про сабж пишет (пускай и не до конца формально).

mix_mix ★★★★★
()
Последнее исправление: mix_mix (всего исправлений: 1)
Вы не можете добавлять комментарии в эту тему. Тема перемещена в архив.