3д математика

Ты предлагаешь всё это читать нам что ли? Что ты, не осилил матрицу поворотов? В чем нужна помощь?

Только в перспективной проекции нужна помощь. Конец статьи.

Прицитируй релевантную часть и задай конкретный вопрос.

Общался с соавтором этой статьи, но он вышел из разговора, наверное был поражен моей глупостью, просто я чего то не замечаю/понимаю, хочется поплакать. http://chat.stackexchange.com/rooms/29080/3d--

Но подобные статьи я то осилил, значит я не безнадежен. Просто этот фокус понять не могу.

Там конец статьи не понятен без начала. Я вообще когда камеру себе писал, делал на простом подобии треугольников (одна из вершин - камера, другие — точки на экране и на какой-нибудь плоскости в мире). Цель камеры была перевести координаты на экране в координаты в мире.

Вот кода немного.

https://github.com/shamazmazum/voxvision/blob/master/src/voxrnd/camera.c

Я не вижу в твоих словах конкретного прямого вопроса...

«Там есть трюк, с помощью которого перспективную проекцию получают при помощи растяжки и последующей ортогональной проекции» как сделали растяжку, вроде понимаю, не понимаю зачем и что за фокус с ортогональной проекцией?

И так не понятно?(

Ок, ты можешь просто написать координаты пучка векторов, расходящихся из одной точки в пространство, с одинаковыми углами между соседними векторами?

http://higgs.rghost.ru/6htlcxlY9/image.png

Вот (y,x) — мировые координаты, (y',x') — координаты, связанные с камерой.

Пока пусть они получены только трансляцией.

y' = y + a
x' = x + b

Сможешь в этой системе задать единичные векторы, которые расходятся из (0,0) в стороны, как показано на рисунке?

Ну кхмхмх, можно наверное увеличивать w, а потом смещение.

Ой, не заметил что с одинаковыми углами, ну можно сделать формулу, а потом ее пускать по каким нибудь значениям углов через цикл.

Из рисунка не очень понятно как они должны расходиться, в каком направлении.

Ну пусть центр пучка — вектор (1, 0) в системе камеры (y',x'). Пока пусть на 2d.

Далее, тебе нужен угол обзора 2*alpha. Значит уравнения для векторов будут

y' = -sin(alpha) + 2*i*sin(alpha)/n
x' = 1

Где n - количество векторов, которые тебе надо. Для простоты, это кол-во пикселей на экране. sin(alpha) можно поменять просто на alpha, это не даст особых искажений.

Для 3d ты делаешь то же самое, но лучи расходятся не треугольником, а пирамидкой.

z' = -sin(alpha) + 2*i*sin(alpha)/sz
y' = -sin(alpha) + 2*i*sin(alpha)/sy
x' = 1

Где sy и sz — ширина и высота экрана. Вот теперь у тебя есть камера, которую ты можешь двигать трансляцией (просто прибавляя к x',y',z' положение камеры в пространстве), но вращать пока не можешь. Как вращать-то понял?

Вот то что я говорил, в моём коде. Ты даешь функции координаты точки на экране sx и sy и она записывает в ray направление луча, соответствующее этим координатам

static void simple_screen2world (void *obj, vox_dot ray, int sx, int sy)
{
    vox_simple_camera *camera = obj;
    SDL_Surface *surface = camera->iface.ctx->surface;
    ray[0] = camera->fov*(2.0*sx/surface->w - 1.0);
    ray[1] = 1.0;
    ray[2] = camera->fov*(2.0*sy/surface->h - 1.0);
    vox_rotate_vector (camera->rotation, ray, ray);
}

Понятно, спасибо. Но как это связано с моей проблемой в той статье?

А хз, ты понимаешь, читать ту фигню мне ну конкретно влом. Я просто хочу донести, как сделать ровно то же, но проще. Фактически тебе придется либо пускать такие лучи и смотреть, с чем они пересекутся, либо взять какую-либо точку в мировой системе координат и найти координаты на экране, что фактически обратная задача к тому, что я тебе объясняю.

Ещё раз, забей на то, что не понятно. Тебе надо всего лишь:

1) Для точки на экране построить луч в системе координат, связанной с камерой. Как это сделать, я написал.

2) Повернуть этот луч в соответствии с тем, как повернута твоя камера.

3) Транслировать луч в соответствии с тем, как твоя камера расположена.

Шаги 2 и 3 можно делать с помощью умножения матриц. Трансляция, например, будет осуществляться как

[x]   [1 0 0 a] [x']
[y] = [0 1 0 b] [y']
[z]   [0 0 1 c] [z']
[1]   [0 0 0 1] [1 ]

Но лучше её делать обычным сложением, а не умножать матрицы.

Обратная задача делается в точности наоборот

Ты в курсе, как матрицы умножаются? Про комплексные числа знаешь или кватернионы?

Матрицы как умножаются - знаю из статьи, комплексные числа - понимаю что такое, кватерионы вообще не представляю. Мой уровень - школьный курс тригонометрии и те несколько статей + неплохие скилы в программировании. Как себя можно апнуть? Посоветовали аналитическую геометрию почитать.

Посоветовали аналитическую геометрию почитать.

Не-не-не. Там будешь читать про кривые второго порядка и прочую муть. Прочитай что-нибудь из линейной алгебры для освоения матриц получше. И ту же тригонометрию вспомни.

Вот представь, что у тебя камера повернута относительно мировой СК на угол фи.

http://rghost.net/7RY4LhWHj/image.png

Пардон за рисунок такой. Орт Z мы не видим на нем. Он протыкает монитор под 90 градусов.

Ты посчитал координаты луча в СК камеры. Как повернуть эти координаты, чтобы получить их в мировой СК?

Из тригонометрии мы помним:

x = x'*cos(phi) - y'*sin(phi) + a
y = x'*sin(phi) + y'*cos(phi) + b

a и b просто сдвиг (трансляция) одной СК относительно другой. Как это записать в виде матриц? Просто:

    [cos(phi)  -sin(phi)  0   a]
    [sin(phi)   cos(phi)  0   b]
A = [0          0         1   c]
    [0          0         0   1]

Теперь смотри:

  [x']   [x]
A [y'] = [y]
  [z']   [z]
  [1 ]   [1]

Т.е. мы повернули наш вектор с координатами (x',y',z') на угол phi относительно оси z и сместили его на (a,b,c) превратив в (x,y,z)

Теперь, например, мы хотим крутануть вектор после того, как мы крутанули его вокруг z, вокруг оси x на угол psi. Отдельно матрица для этого:

     [1   0          0         a]
     [0   cos(psi)  -sin(psi)  b]
B =  [0   sin(psi)   cos(psi)  c]
     [0   0          0         1]

Теперь, чтобы получить x нам нужно A умножить на x' и B умножить на результат этого действия.

x = A(Bx)

Но у матриц (как и у действительных чисел) есть свойство операции умножения — ассоциативность. Это значит, что

A(Bx) = (AB)x

То есть, чтобы вращать вокруг обеих осей, тебе достаточно одного умножения, а не двух. Помножь A на B: C=AB и координату x ты получишь, умножая C на x'.

Ещё раз, для 5 степеней свободы (трансляция (3) + вращения (2)) матрица будет такая:

    [1    0          0         0][cos(phi)   -sin(phi)  0   0]
C = [0    cos(psi)  -sin(psi)  0][sin(phi)    cos(phi)  0   0] +
    [0    sin(psi)   cos(psi)  0][0           0         1   0]
    [0    0          0         1][0           0         0   1]

    [0   0    0  a]
+   [0   0    0  b]
    [0   0    0  c]
    [0   0    0  0]

Т.е. находишь координаты луча x в СК камеры, Cx будут координаты луча в СК мира. Ну и всё. Ну или наоборот. Из СК мира делаешь СК камеры, а потом СК экрана (проецируешь подобием)

Помни, что AB /= BA

Итого тебе понадобится перемножатор матриц и место для 12 чисел в памяти (потому что последняя строка всегда (0 0 0 1), но для простоты можно и её запомнить).

С кватернионами тоже можно вращать, и ещё как. Там и запоминать нужно будет меньше — положение камеры в пространстве (3 числа) + 4 числа, итого 7. Думается, что современные компы щёлкают кватернионы не медленнее, чем матрицы, так что стоит задуматься

Как с тобой можно пообщаться напрямую? skype/tox? PS: Я вроде понимаю о чем ты говоришь.

Ну только если почта. shamaz.mazum at gmail.com

Ну или вконтакт vk.com/zhmudo