массив списков

А чего вообще сравниваются итераторы из разных контейнеров? Это же не имеет смысла.

Эээм. А как? k относится к списку и li тоже.

Но это же разные объекты списков. Это как сравнивать указатель на элемент одного массива с началом другого массива.

if k == i->begin()

если это первый элемент в списке

Может там разименование указателей подразумевалось? Или сравнивается не с тем, как аноним предлагает (но я тогда не понимаю, зачем вторая переменная приведена).

Есть массив списков. Проходя по массиву, нужно для первого элемента в списке (не массива) сделать одно действие, а для других - другое.

Тогда аноним правильно сказал:

if (k == i->begin()) {

Ещё вот так можно

std::vector<std::list<std::string> arr;

for (auto i = arr.begin(); i != arr.end(); ++i) {
    auto k = i->begin();
    if (k != i->end())
    {
        // тут действие для первого элемента
        ++k;
    }
    for (; k != i->end(); ++k) {
        // для второго и последующих.
        }
    }
}

Это __прекрасно__.

Всё таки не понимаю я вот это

for (; k != i->end(); ++k) {

цикл от какого элемента начинается?

цикл от какого элемента начинается?

От того, на который указывал k на момент начала.
Если в списке были элементы, то выполнилось действие для первого (с индексом 0) и индекс сдвинулся до 1. Цикл начинается с 1 (следующего за 0).
Если в списке элементов не было, то k останется указывать на самое начало массива, т.е. 0. Тело цикла в этом случае вообще не будет выполняться.

Всё таки не понимаю я вот это

Прочитай ещё раз описание циклов for.

Вкратце — там три выражения. Ни одно из них не является обязательным. Поэтому даже конструкция for(;;) вполне корректна.