Взаимодействие тел в космосе.

Не позорься

Ясен пень, что говорим о конкретной задачке из небесной механики. Я и написал, что не парятся, потому что за вас, любителей повилосипедить (офф: судя по опенсурсь софту это такое возрастное у *ксоидов) народ давно уже всё проверил. Ты ж не сразу своего Томми запустишь у космоус? Наверное, шаг туда-сюда пошевелишь на порядок и посмотришь на то, что получается, не? :)

Что такое «дифур удовлетворяет условию Липшица»? Дифур по определению это равенство F = 0. Примени плз условие Липшица к _уравнению_ dx/dt = 0.

--Ну а как ты это понятие «определил» бы?

Сынку, есть понятие сходимости _метода_. При проверках своих кодерских достижений говорят о сходимости _решения_ к точному.

Практики проверяют, как ты понимаешь, на моделях, а ещё иногда сравнивают с результатами наблюдений и натурных испытаний. Там не всегда легко даже элементарно оценить аналитически, чтобы отображение сжимающим получилось, так что действует правило «эксперимент решает всё»

а, забыл... На пренебрежимо малом интервале времени в данном случае, мы им пренебрегаем и со спокойной душой за решение берём начальные условия. На то он и пренебрежимый, не?

>Что такое «дифур удовлетворяет условию Липшица»?

это значит, что:

y'=f(x,y).

в компактной области удовлетворяет:

|f(x,y₁)-f(x,y₂)|<L|y₁-y₂|, forall x.

И к тому же, на той же области f является ограниченной функцией.

L - это константа.

тогда можно говорить о существовании единственного решения проблемы.

ну а потенциальное поле, есессно, удовлетворяет условию липшица, ибо непрерывно дифференцируемо. Так что, в принципе, можно не париться. Но надо понимать что всякое лишнее телодвижение в сторону усложнения задачи может окончиться плачевно.

>так что действует правило «эксперимент решает всё»

угу. берем ряд sum(1/i). проверяем для первых 1000 элементов и решаем, что ряд ограниченный :)

> угу. берем ряд sum(1/i). проверяем для первых 1000 элементов и решаем, что ряд ограниченный :)

бугага!!!

логарифмическая функция на практике ограничена (С) кажись арнольд

сколько тебе триллионов машино-тысячелетий понадобится, чтобы вычисленный *прямым суммированием* sum(1/i) стал больше 100?

понятно, есть приближенные формулы, но проверку «для первых 1000 элементов» мы проводили не по ним же?

насчет твоего перла про 1000% отпишусь позже

Не всё ещё потеряно, значит :)

Строго это проговаривают как "(в форме Коши) правая часть (дифура) удовлетворяет условию Липшица по зависимой переменной". Народ смутило и выше, что ты наложил требование из анализа на некое логическое выражение.

ИМХО ты тут смешал пожелание из метода Эйлера, которое всплывает и в теореме существования и единственности решения задачи Коши для ОДУ, на мысли о численных методах. Не смущай плз народ или кинь ссылку, чтобы все поняли, что ты имеешь ввиду.

Потенциальное поле, ессно, будет иметь особенности в полюсах (если ты планеты точками приблизишь), или ты поимеешь геморрой с моделью, если заменишь планеты чем-то типа шариков и заморочишься расчётом соударений.

>насчет твоего перла про 1000% отпишусь позже

Дай стране газу, не пожалей :)

угу. берем ряд sum(1/i). проверяем для первых 1000 элементов и решаем, что ряд ограниченный :)

бугага!!!

Какой веселый шушпанчик попался, однако.

и насчет липшица — любой разумный человек, а не робот с ИИ, думая всего полсекунды, поймет, что там бесконечная дифференцируемость (в области), поэтому про липшица и не будет вообще вспоминать

> Какой веселый шушпанчик попался, однако.

дык представил, как ты на всех своих компах считаешь до ехр(100), и оборжался

>Потенциальное поле, ессно, будет иметь особенности в полюсах (если ты планеты точками приблизишь),

да.

или ты поимеешь геморрой с моделью, если заменишь планеты чем-то типа шариков и заморочишься расчётом соударений.

а что там трудного? Если упал на планету, то и крышка ракете :)

ИМХО ты тут смешал пожелание из метода Эйлера, которое всплывает и в теореме существования и единственности решения задачи Коши для ОДУ, на мысли о численных методах. Не смущай плз народ или кинь ссылку, чтобы все поняли, что ты имеешь ввиду.

Дык в численных методах ты в результате получаешь некоторую последовательность функций. И ты хочешь, чтобы эта последовательность сходилась к решению. Но если не выполнено то самое требование из анализа, то и сходиться ничего не обязано.

Я те больше скажу. Практики считают иногда устойчивыми положения, которые формально явно неустойчивые (неподвижные точки, услойчивость по Ляпунову). Лишь бы не экспоненциально неустойчивые - тогда простенькая система стабилизации (оно ж на практике всегда трэба...) всё порешает.

Учти плз, что как только мы слезаем с горных высей математики, то работаем с конкретными моделями и их границами применимости. Вот пока границы применимости модели не указаны, то твои замечания про гармонические ряды совсем не в тему.

Я сюда пишу в надежде, что какое-нибудь читающее школиё задумается и к моменту завязки с ударными дозами бухла курсе на втором обратится в нужную веру, погуглив сейчас по некоторым непонятным словам из треда. Так что подбирай плз подходящий материал ради общего дела :)

>и насчет липшица — любой разумный человек, а не робот с ИИ, думая всего полсекунды, поймет, что там бесконечная дифференцируемость (в области), поэтому про липшица и не будет вообще вспоминать

А еще более разумный вспомнит о погрешности вычислений, что в купе с «липшицем» (если L большое) может дать совершенно непредсказуемые результаты.

Я человеку дал понять, что без головы просто так лезть что-то считать не надо. Но тут нашлись уникумы вроде тебя, что думают иначе.

--а что там трудного? Если упал на планету, то и крышка ракете :) Ты ж, вроде, прахтик. Прикинь на секундочку, что на каждом шаге помимо вычисления текущего состояния ты ещё должен проверить ряд неравенств (с шариками простых, если астероиды возьмём, то уже как повезёт...) на предмет «уже долетели».

Я таки всё укрепляюсь в своих подозрениях. Правильно ли я перевожу твои намёки: Пусть правая часть непрерывна в замыкании рассматриваемой области. Если не выполнено то самое требование из анализа, то ничего не известно про единственность решения исходного дифура, поэтому и численно его решать не стоит?

--Дык в численных методах ты в результате получаешь некоторую последовательность функций.

Погодь, что-то однопроходное сразу строит для ОДУ приближения в узлах. Вот для МКЭ и таки честными итерациями - да, но для типичных для ОДУ, что-то ты шибко обобщил.

Как говорил один член-корр, «математик делает то что можно так как нужно, прикладной математик делает то что нужно так как можно».

Задача ТС явно из области прикладной математики... траектории планет даны, з-н всемирного тяготения выписан, прыгающую лягушку (или даже Эйлера 1го порядка) в зубы и вперед! На больших временах решение будет неправильным, но выглядеть будет вполне правдоподобно... ему ж не полет Фобос-грунта считать.

Почувствуй себя Создателем, запусти Симулятор Солнечной Системы из over 9000 планет с разными начальными параметрами. На этом этапе количество взаимно влияющих друг на друга небесных тел можно ограничить, например, десятью, собрав их в независимые группы. Таким образом у тебя получится одновременный тест over 900 солнечных систем. Параметры всех небесных тел, уцелевших после «пары миллиардов лет» всех этих издевательств распечатай и повесь на стенку, как самые удачные.

Если по делу, то ему бы уточнить, где ракета собралась летать и с какой точностью нужно решение. Если грубые прикидки, как ты предлагаешь, прокатят, то максимум, что потребуется - это уже упомянутая выше ограниченная круговая задача трёх тел для Солнца, Юпитера и ракеты. Или только Солнце, и следить за приближениями к планетам. Как приблизились - пересчитались в новую задачу Кеплера относительно неё. Топикстартеру гуглить про сферы действия В.А. Егорова. Тут даже дифуры решать не надо будет - типичный набор задач Ламберта.

А где тут задача трех тел-то? Траектории планет заданы, т.е. координаты всех планет от времени известны. Считаем поведение ракеты в потенциале тяготения зависящем от времени с учетом работы ракетного движка. Какой Ламберт, это задача для 9го класса средней школы... когда там щас динамику то проходят? С учетом того, что ускорения пишутся явно, так для 8го класса - кинематика...

>>сходящиеся потому, что планеты «не взаимодействуют» между собой, для того и надо орбиты заранее дать

Ну вообще-то если ты про условие Липщица, то оно выполняется и для системы из n честно взаимодействующих тел на любых конечных временах.

Если же под «сходимостью» ты понимаешь ляпуновскую устойчивость решений, то с того, что динамику планет ты прибил гвоздями, решение не станет лучше «сходиться».

А так ты расписал правильное решение, и анализ ошибок обязателен, просто на практике действительно порой легче численно пошевелить начальные условия, нежели ждать объяснений от теоретиков.

Ну как где... Оставили самые толстые, то есть Солнышко с Юпитером, Юпитер вокруг Солнца круги нарезает (не так, конечно, но сойдёт), ракета на их движение воздействия не оказывает - типичная такая _ограниченная_ задача и получилась. Не полная трёх тел, но я ро неё и не писал.

Ускорения явно не пишутся, так как там в тяготении в знаменателе будут расстояния между ракетой и притягивающими телами, так что тупо 2 раза проинтегрировать правую часть по времени не получится. Или я не так понял?

> А еще более разумный вспомнит о погрешности вычислений, что в купе с «липшицем» (если L большое) может дать совершенно непредсказуемые результаты. Я человеку дал понять, что без головы просто так лезть что-то считать не надо. Но тут нашлись уникумы вроде тебя, что думают иначе.

бугага еще раз

т.е. ты видимо решил, что я один из тех идиотов, которые могут сказать конкретную цифру 0.01% не подумав, как это скажется на точности?

спешу тебя разочаровать — я перед тем как ее написать, секунд 10 прикидывал точность

«чтобы с учетом скорости расстояния до тел менялись за этот шаг меньше чем на 0.01%» означает угловой шаг такой, что его косинус порядка 0.9999, т.е. угол порядка 0.01, т.е. весь эллипс будет пройден за 600 шагов с макс. погрешностью порядка 12% (производная от квадрата даст 2-ку)

это удобно для отладки и приемлемая для нее точность, а 1000% ты на одном круге ну никак не наберешь (по энергетическим соображениям)

_*когда и если*_ ТС реализует и пожалуется на низкую точность или скорость счета, ему можно подсунуть формулу с квадратичной ошибкой

а пока он тормозит даже при словах «угловая скорость», поэтому я не стал его грузить

ЗЫ я такой курсач по программированию на 2м курсе сделал. Надо было сделать что то с форточками, что бы там динамически что то менялось, под виндой (3.11 тогда еще была). Пол группы писало маятник на пружинке, полгруппы еще какю то фигню, а я сказал что ракету буду делать. Когда сделал - препод (аспирант) как ребенок радовался, летали с ним вместе... правда пришлось нереальные параметры движка задавать, а то медленно все было. Параметры солнечной сист. были настоящими, все как полагается... до марса помнится таки долетели;-)

а на 4-м курсе ввёл учёт сожжёного топлива и теперь радовался уже доцент? :)

> Ускорения явно не пишутся, так как там в тяготении в знаменателе будут расстояния между ракетой и притягивающими телами, так что тупо 2 раза проинтегрировать правую часть по времени не получится. Или я не так понял?

Ускорения пишутся явно как ф-ии времени и координат (и действий игрока?). Тупо проинтегрировать конечно не получится, но любой школьник с головой проинтегрирует на небольшом интервале явно зафиксировав координаты и время (он не умеет интегрировать, но формулу для равноускоренного движения знает), что даст схему leap frog cо вторым порядком точности. Число планет тут по барабану (скажется тока на скорости счета).

Учет сожженного топлива был еще на втором.

> Учти плз, что как только мы слезаем с горных высей математики, то работаем с конкретными моделями и их границами применимости. Вот пока границы применимости модели не указаны, то твои замечания про гармонические ряды совсем не в тему.

плюсую, и насчет того, что можно считать при линейной неустойчивости — лишь бы не было экспоненты

Ясно, просто под явностью другое показалось.

>«чтобы с учетом скорости расстояния до тел менялись за этот шаг меньше чем на 0.01%» означает угловой шаг такой, что его косинус порядка 0.9999, т.е. угол порядка 0.01, т.е. весь эллипс будет пройден за 600 шагов с макс. погрешностью порядка 12% (производная от квадрата даст 2-ку)

Думай ещё. хинт - бифуркации.

Бифуркации чего, коллега?

Траекторий ракеты в точках равновесия, а ты что думал, куриных котлет?

Эт самое, в относительные равновесия я ещё поверю, но где ты на эллипсе-то их нашёл? Тут, как выясняется, думают над подходящим для нуба вариантом чё-то закодить, а не диаграммы Пуанкаре строят

Или предлагаешь пополнить тред рассуждениями о перестройках вазового пространства в память об Арнольде? :)

>Можно решить задачу в общем виде, нарисовав гамильтониан из закона всемирного тяготения.

Првет, наркоман. Попробуй скурить ландавшица хотя бы на пару страниц дальше оглавления. Потом поговоришь.

Что бы запилить софтинку, правильно (с дост для прикладных задач точностью) считающую движение КА - это задача серьезная... при пусках к луне (близехонько) наши ее с первого раза решить не смогли, хотя казалось бы - влепить станцию с вымпелом в луну, куда уж проще?

А на уровне ТС-а про бифуркации помнить не обязательно.

ну и да, траектория (в фазовом пространстве) в точке равновесия (или равновесие, или неподвижная точка, или особая точка, не мешай в кучу плз) это и есть пара из той самой точки и нулевой скорости. Чё-то ты тут усложняешь или не то хотел сказать

ну рядочками то оно решается... правда сходятся они дюже хреново(медленно)

>но где ты на эллипсе-то их нашёл?

А никто не говорит про эллипсы, кроме тебя. Траектория полета не обязана быть эллипсом, и вероятно будет проходить вблизи множества точек бифуркаций. Твоими методами оценки точности разве что Фобос-Грунты топить: как раз +- тихий океан.

>> «чтобы с учетом скорости расстояния до тел менялись за этот шаг меньше чем на 0.01%»

Думай ещё. хинт - бифуркации.

для *предварительного* расчета полета настоящей ракеты — да, полностью согласен

а для игрушки — нет (хотя при желании можно добавить более точный расчет прохода точек равновесия с небольшой скоростью)

В каком месте треда я оценивал точности, не напомнишь?

Точка бифуркации определяется конкретным значением параметра задачи (не фазовой переменной). И если мы взялись что-то считать, то параметр этот не меняется, значит и фазовый портрет будет оставаться одним и тем же. Так что пусть параметры системы рядом хоть с 1000 точек, перестройки фазовой картинки (бифуркации) не случится, так как вышеупомянутый параметр не изменится by design.

Ты тут круто замешал свои туманные представления об особых точках фазового потока системы в кокасательном расслоении конфигурационного многообразия с точками бифуркации и ещё выпендриваешься.

> кокасательном расслоении

тред начал плавно переходить в вопросы дифференциальной геометрии :-)

з.ы. и точности тут пока оценивал только я, и то лишь пригодные для целей начальной отладки

Кстати, тема для онлайн-игры - построит ракету и задать программу так, что бы она долетела до Фобоса;-)

>(или равновесие, или неподвижная точка, или особая точка, не мешай в кучу плз)

Т.е. для тебя секрет, что фазовые траектории на больших расстояниях до точек равновесия практически ламинарны? Вон из профессии.

+ Берия, Устинов и Хрущёв в качестве боссов.

а также медведев, путин, и еще может кандидат от справедливой россии... как его там...

Лучше Му и Пу. И тендер, тендер на постройку! Пила прилагается;-)

И строить коллективно, с многочисленными обсуждениями методов решения. Может на ЛОРе такую фичу завести?

> Кстати, тема для онлайн-игры - построит ракету и задать программу так, что бы она долетела до Фобоса;-)

причем в реальном времени — игра идет полгода, как счастливый фермер :-)

и если скажем спутник теряется, и ты в течение суток его не нашел и не перепрограммировал — спутнику хана

Точно! Причем игру сделать платной, заявить что на эти деньги будет строится реальный спутник, в котором будут применены наиболее удачные решения найденные игроками.

> И тендер, тендер на постройку! Пила прилагается;-)

тендер — это с другими игроками придется соревноваться, так что с распилом не густо будет

и потом надо будет в игре как-то моделировать конструкторские бюро, заводы, перепутанные двигатели в системе управления, для исправления чего на фобос-грунт уже на байконуре (!) сначала собрались перепаять шлейфы, а потом пришлось патчить программу!

Сынку, в тех же близких к интегрируемым гамильтоновых системах, как завещал Колмогоров, резонансные торы того, рассыпаются, и траектории там чё-то не шибко «ламинарные» получаются. И эта, чтобы ты там равновесия не искал - системы с полутора степенями свободы много периодических решений имеют иногда, а вот с неподвижными точками бяда... Так что отступив от равновесия не всё спокойно может быть. Правда в ландавшице про это не пишут, там же всё-таки учебник про всё, а не глубоко по механике.

Если отступать покажется мало - возьми маятник с колеблющейся точкой подвеса. Там в потенциале будет косинус, так что углы хоть как накручивай, при небольших скоростях гадости останутся. Ты ж крутой, периодические функции в примерчике - должен понимать?

Кстати, ты говорил про особую точку, а теперь соскочил на «большие расстояния от» и вобще стал обсуждать характер далеко от неё. Твоя профессия называется тролль или долбогрыз? Спасибо, раньше как-то обходился и никогда не состоял.

> Причем игру сделать платной, заявить что на эти деньги будет строится реальный спутник, в котором будут применены наиболее удачные решения найденные игроками.

это наверно чересчур

все же должна быть модель довольно простая

ну и да, согласно теореме о выпрямлении векторного поля в малой окрестности любой неособой точки его можно выпрямить. Станет совсем «ламинарным». Ты что сказать-то хотел, другой анонимус? Толку нам от этого здесь?