Что будет, если обновить запущенный пакет?

можно конфиг обновления затереть старой информацией

если программа большая и сложная - уже запущённый экземпляр может начать глючить если например в процессе работы кинется подгрузить какой-нибудь модуль, которой окажется уже новой версии

у меня с firefox так несколько раз было при обновлении системы, новые вкладки либо не работали, либо рушили браузер

ну получается все, что может произойти, то это глюки, которые по сути пропадут после перезапуска

Также если при апгрейде обновлялись кеды - переставал работать экран выхода/ребута из-за несовпадения версий. Бесячая хрень была, которую починили не так давно.

Большая часть софта обновится без проблем, но тут зависит. Как правило буравчика, я обычно вырубаю ui приложения при их обновлении - чаще всего абсолютно нет необходимости, но мне так лучше дышиться.

Фаерфокс отказывается открывать ссылки и требует перезапуск.

Пакеты не запускаются, запускаются программы.

Если обновился бинарник программы, это неважно, она уже загружена в ОЗУ.

Если же она в процессе работы считывает какие-то ресурсы — считает обновлённые. Если обновилось так, что по старому адресу файла в новой версии не нашлось — упадёт/заглючит.

На практике: 95% софта пофиг, будет просто работать как работал, но неоторый (в первую очередь браузеры) потребует перезапуска.

Да, естественно после перезапуска пропадут.

Всякое бывает: https://archlinux.org/news/the-sshd-service-needs-to-be-restarted-after-upgrading-to-openssh-98p1/