А не является ли δ-функция Дирака банальным |0/x|)?

дефолтная канторова такого не допускает

Ну и фиг с ней.

∞≡Ø

Нет. Что вообще Ø? Его нет.

Деление не является полностью обратной операцией умножению (даже в простой арифметике, ибо там на 0 умножать можно, а делить - нельзя).

1/0=infty => infty*0=1 2/0=intfy => intfy*0=2

Бесконечности, они разные бывают. :)

И чему равно 0/0=?

Неопределённости.

Видимо, никак. Диффузия требует движения. Тогда переходим к следующему вопросу: пёрнул ли я, если не воняет? Ведь вполне возможно, что мои кишечные газы просто не содержат скатола.

Почему ∞ не может быть обратным элементом самому себе?

Деление не является полностью обратной операцией умножению (даже в простой арифметике, ибо там на 0 умножать можно, а делить - нельзя).

мой вопрос касательно расширенной комплексной плоскости, на которой Вы сказали, что деление на 0 возможно сославшись на книгу, где на указанной странице говорилось, что «положим $\frac{1}{0}=\infty$». Соотвественно я чего-то не понимаю, если на ноль делить нельзя, то почему Вы говорите, что можно, если же в указанном пространстве делить на 0 можно, то тогда возникает мой следующий вопрос, про то что получается, что все элементы пространства будут равны 0 (едиственная возможность разрешить деление на 0 в поле чисел).

Бесконечности, они разные бывают. :)

а данном случае разговор об единственной добавленной точке, это одна и та же бесконечность.

P.S. подсказка, просто построенное пространство не является полем, в этом случае все в порядке, но выходит за границы обсуждаемого случая.

Пусть -∞ = ∞ и ∞ + k = ∞ — ∞ + ∞ = 0, (∞ + ∞) + k = k != ∞ + (∞ + k) = 0. ∞ + k = 0? ∞ = -k.

Ещё было

0⋅∞=0

А ты хочешь деление на ноль, то есть найти нулю обратный в мультипликативной группе — 0^-1 = ∞, 0⋅∞=1.

И эта

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_extension#Definitions

Given a field extension L /K, the larger field L can be considered as a vector space over K. The elements of L are the «vectors» and the elements of K are the «scalars», with vector addition and scalar multiplication obtained from the corresponding field operations. The dimension of this vector space is called the degree of the extension and is denoted by [L : K].

Ещё ∞ = -∞ => ∞ + ∞ = 0 => (∞ + a = b <=> a = b + ∞) => ∞ = b - a, ∞ = a - b для любых a и b.

Ну и фиг с ней

Что вообще Ø? Его нет.

теорию множеств сначала задай. а так у тебя голая философия на пустом месте

умножение и так никак не связано со сложением

не слишком-ли смело?

Считай, что

нет. Всё зависит от задачи.

Если ты собрался «на практике» применять то, что «формально» запрещено, то ты не математик, а говнопрограммист.

//fixed

И в этом случае ты конечно волен придумывать этой «функции» любые свойства какие пожелаешь, но только надо хорошо понимать, что к математике это все уже никакого отношения иметь не будет.

понимаешь, если заказчик платит за деление на ноль, я буду делить на ноль(единственное, потребую чётко прописать в ТЗ, какое поведение требуется при делении на ноль, потому что по моему мнению, никакого «поведения» в данном случае быть не может, как и самого случая).

На практике сабж очень удобен, например для математического описания простого удара, который на практике занимает нулевое время и имеет при этом ненулевую энергию.

Марш читать про бесконечно удалённую точку

это костыль. Такое «деление» на самом деле ничего не даст тебе, потом у что эта точка внутренне противоречива. Суть в том, что она недостижима, потому деление на ноль даёт такой «результат» только формально, как индикацию того факта, что результат получить невозможно, также, как невозможно достичь бесконечно удалённой точки.

Проблема этой «точки» в том, что она лежит _вне_ _любой_ области.

Я об этом и талдычу — есть только ноль и бесконечнозначение, остальное в общем случае ненужно.

а зачем нужна такая алгебра?

Бесконечности, они разные бывают

вот. В этом-то и проблема. Значок «∞» означает «хрен знает что». Единственное, что можно сказать об ∞, так это то, что оно «очень большое».

Почему ∞ не может быть обратным элементом самому себе?

потому что «бесконечности бывают разные», если не принять этого утверждения, мы приходим к противоречию 1=0 (все числа равны друг другу). А если принять, то получается, что ∞≠∞. Откуда следует, что ∞±∞≠0. На самом деле, любое число x не равно ∞. В т.ч. ∞ и -∞. Т.е. любая бесконечность не может быть ничему равна, в т.ч. являться обратным элементом к чему угодно, тем более к самой себе.

Тогда переходим к следующему вопросу: пёрнул ли я, если не воняет? Ведь вполне возможно, что мои кишечные газы просто не содержат скатола.

С точки зрения релятивисткого подхода, в данной ИСО, не пёрнул, так как нет переносчиков событий, а то что произошло за горизонтом событий точно неизвестно. Ну а сточки зрения здравого смысла конечно же пёрнул, т. к. учитываются события как они есть.

Да, не забудьте в лорквотезы заявку подать, на баше такое всё равно не опубликуют - превышен лимит IQ на байт текста.

Меньше ошибок в коде. Делов то: признать результат деления на 0 нулём и ограничить использование.

Ух ты, изобретатель NaN, срочно премию!

Только никогда нулем свой NaN не называй, хоть порченым, хоть нет. А то придумают физики эксперимент, вычматематики его промоделируют... так бы они NaN получили или SIGFPE какой, задумались и пошли что-то желать с моделью. А так они график построят, а там порченый ноль будет выглядеть как ноль. Отмашку дадут физикам, что все хорошо — и по твоей вине вместо «трубы на пол-Европы» будет дыра на пол-Европы.

Ух ты, изобретатель NaN, срочно премию!

Твой NaN нельзя использовать при вычислениях, к нему ни прибавить ни отнять, да и программы воспримут его как ошибку.

А то придумают физики эксперимент, вычматематики его промоделируют... так бы они NaN получили или SIGFPE какой, задумались и пошли что-то желать с моделью.

А нефиг физикам тащиться от непонимания обсчитываемых процессов - пародия на волшебников.

А так они график построят, а там порченый ноль будет выглядеть как ноль. Отмашку дадут физикам, что все хорошо — и по твоей вине вместо «трубы на пол-Европы» будет дыра на пол-Европы.

Она и так может быть - ни офф. физики, ни обслуживающие их математики не задумываются над реальным физическим смыслом сложных вещей. Более того, за это наказывают отлучением от релятивисткой церкви офф. науки. А вдруг в коллайдере случится маленькая сверхновая звёздочка? Неправильными предпосылками её вероятность может набрутфорсят, а может не точно набрутфорсят - не знание, сила релятивизма и его производных.

Ну, что? Обмозговал? Проверил? Что там?

Не, не занимался, на тебя понадеялся.

Лентяй. Флудил все выходные небось...

А я что? Я ничего! :)

На практике сабж очень удобен, например для математического описания простого удара, который на практике занимает нулевое время и имеет при этом ненулевую энергию.

Процессов занимающих нулевое время не существует, хоть «на практике» хоть как. А тем более если ты собрался составлять математическую модель описания этих процессов. И если твоя программа расчетов сходу пренебрегает одним из самых важных параметров, и говорит «а давайте положим его равным нулю. у нас конечно все к черту разойдется, но мы от этого избавимся, придумав результат из головы», то я не думаю что заказчик будет сильно доволен.

Математику придумали не идиоты, и не от нечего делать. И если бы математический формализм «на практике» был бы никому не нужен, то и не изучали бы его сейчас повсеместно в школах и институтах.

Твой NaN нельзя использовать при вычислениях, к нему ни прибавить ни отнять, да и программы воспримут его как ошибку.

Так и надо. Не бредь больше.

∞≠∞

Как-то в математике для любого a всегда a = a. Если a != a, то у тебя что-то не так в обозначениях.

В остальном надо тоже как-то более конкретно говорить:

1) В полукольцах у нас может быть расширение и вполне одна бесконечность и деление на ноль.

2) В комплексной плоскости расширенной бесконечностью у нас тоже вполне одна бесконечность, операции поля расширены как частичные операции на структуру которая полем не является, деление на ноль определено на ней. Другие подобные конструкции сюда же.

3) Если мы хотим конечно расширить вещественные числа как поле (новое поле — конечномерное векторное пространство над вещественными числами, как двумерные комплексные, например), то можно показать, что мы всегда получим комплексные числа. Любое конечное расширение комплексных это опять комплексные — нет пути.

4) Если мы хотим разных бесконечно больших и бесконечно малых величин в нашем поле, то нам нужно бесконечное расширение (бесконечномерное пространство над вещественными или комплексными, так же как вещественные бесконечномерны над рациональными, например, или как кольцо рациональных получается как бесконечномерное пространство над кольцом целых со счётным линейно независимым базисом простых чисел), набор бесконечно малых будет образовывать счётный линейно независимый базис. В этом случае если a это некоторая бесконечность (или бесконечно малая), то a = a, если b — другая, то, по определению «другая», уже a != b. http://www.physics.umanitoba.ca/~khodr/Publications/RS-Overview-offprints.pdf.

Процессов занимающих нулевое время не существует, хоть «на практике» хоть как. А тем более если ты собрался составлять математическую модель описания этих процессов.

ВНЕЗАПНО: абсолютно точных моделей не бывает. Все модели приближённые. Моделирования удара как сабж, даёт отличные результаты на практике. В противном случае всё равно придётся чем-то жертвовать, и в итоге модель без такой формальной функции окажется в итоге дальше от реальности, чем с сабжем.

а давайте положим его равным нулю. у нас конечно все к черту разойдется, но мы от этого избавимся, придумав результат из головы

никто ничего не берёт «из головы». δ-функция вполне определена интегральным представлением, и потому является вполне корректным математическим объектом.

Математику придумали не идиоты, и не от нечего делать.

именно так. Если такая функция не нужна, то на кой ляд меня заставляли её изучать в своё время?

И да, я-то не математик, я быдлокодер. Но такие обобщённые функции мне тоже иногда нужны.

Как-то в математике для любого a всегда a = a

любое равенство имеет смысл лишь в некоторых рамках. В данном случае, мы вышли ЗА рамки. Например очевидно, что не бывает самого большого числа, однако, ∞ находится ЗА рамками(например школьной арифметики), и как раз и представляет собой самое большое число.

Да, это НЕ ЧИСЛО. Потому выражение ∞!=∞ и нельзя рассматривать в рамках обычной арифметики или алгебры. Оно за рамками, как и само «число» ∞.

В полукольцах у нас может быть расширение и вполне одна бесконечность и деление на ноль.

бесконечность не принадлежит множеству являющемуся полукольцом. Нет там такого эл-та.

В комплексной плоскости расширенной бесконечностью у нас тоже вполне одна бесконечность, операции поля расширены как частичные операции на структуру которая полем не является, деление на ноль определено на ней.

нет. Даже если ты определишь некую бесконечность, то эта бесконечность не может быть _результатом_ никакой операции, ибо по определению лежит ВНЕ любой области. Т.о. строго говоря, «результат» деления на ноль даже в комплексной плоскости дополненной бесконечностью не определён. «Истинна где-то рядом».

В этом случае если a это некоторая бесконечность (или бесконечно малая), то a = a, если b — другая, то, по определению «другая», уже a != b.

а бесконечность она _всегда_ _другая_. Именно в силу своего определения, т.к. если к бесконечности прибавить 1, получится опять бесконечность. Но в силу того, что 1!=0, нам приходится признать, что ∞!=∞.

Если тебе будет легче это понять, считай, что значком ∞ обозначаются _разные_ «числа». Причём имеется бесконечно много величин, которые скрываются за знаком «∞». Потому-то они и не равны друг другу. Просто кривое равенство. Это как если в компьютер попадают два вещественных числа между 0 и 1, а компьютер умеет считать только целые. Он эти числа считает равными, хотя они разные.

Всю эту демагогию можно выкинуть и освоить наконец обычную теорию множеств с обычной алгеброй.

http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo–Fraenkel_set_theory

Formally, ZFC is a one-sorted theory in first-order logic. The signature has equality and a single primitive binary relation, set membership, which is usually denoted ∈.

http://en.wikipedia.org/wiki/Equality_(mathematics)

Viewed as a relation, equality is the archetype of the more general concept of an equivalence relation on a set: those binary relations that are reflexive, symmetric, and transitive.

http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation#Definition

a ~ a. (Reflexivity)

Фиксируешь

http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure

с местным равенством и высказываешь свои утверждений. Например «одна из теорем теории поля (то есть набора аксиом поля из которых можно делать логический вывод) заключается в невозможности деления на ноль (так что это верно в любой модели)». А то так ты говоришь непонятно о чём (а нужно говорить о расширении архимедового поля R до неархимедового, то есть фиксировать структуру, так чтобы появился какой-то доказательный потенциал). Если в вопросе две разных структуры, то переход между тоже должен быть ясно определён (расширение поля, например).

Дальше твои возражения:

1)

http://en.wikipedia.org/wiki/Semiring#Specific_examples

The extended natural numbers N∪{∞} with addition and multiplication extended (and 0⋅∞ = ∞).

2)

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere

http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_function

4) Ещё раз — 1) и 2) добавляет одиночные бесконечности структурам, в одном случае структура сохраняется, в другом нет. 3) и 4) поясняет нам, что для расширения архимедового поля R до неархимедового нам нужно много бесконечностей, то есть бесконечное расширение (см. ссылку).

эх… Ты так ничего и не понял…

Ну да ладно.

Просто кривое равенство

Понял, конечно :)

Но не нужно так делать.

Чтобы делить на ноль.

как раз таки не нужно надеяться на равенство a==a, если это «a» может быть каким-то образом связано с бесконечностью и/или с неопределённостью. Ты почему-то всегда неявно полагаешь, что «a» всегда _однозначно_ определено, а это в общем случае не обязательно. На практике вполне возможна ситуация множества, один(как минимум) эл-т которого неоднозначен, т.е. например равен 1 или 2. Заметь, никакой бесконечности тут нет, и при этом «равенство» уже не работает. Практический пример: орлянка. Одна и та же монетка, одни и те же условия, и тем не менее, результат не определён. Естественно, не может идти речи о равенстве результатов. Мы не только не можем говорить о равенстве, но и о неравенстве тоже.

Но не нужно так делать.

да я-бы с удовольствием… Жизнь заставляет. Статистика работает лишь для 100500 проб с Over9000 датчиков. А если у нас один датчик и три пробы? Очевидно, что в этом случае результат недостоверный. Вопрос: _насколько_ он (не)достоверный?

Не нужно было пытаться свести бредни баттяни к математике, он некомпетентен и с терминальным поражением сознания гуманитарным мышлением, только получать эстетическое удовлетворение от его шизофазии.

Чтобы делить на ноль.

попытаюсь объяснить: теоретическая математика никому не нужна сама по себе. Она либо прямо сейчас на практике нужна, либо будет нужна завтра(как это уже бывало неоднократно). И вот на этой практике, в численных методах, речь всегда идёт не о точках, а об _окрестностях_. Мало того, часто даже неважно, как функция ведёт себя в самой точке, важно лишь поведение в некой окрестности некой точки(точек). Проблема точки «бесконечность» в том, что она по определению лежит _вне_ любой окрестности, и следовательно не только не имеет, но и даже не может иметь физического смысла.

Т.е. если в твоих вычислениях встретилось деление на ноль, это сигнал об ошибке. К примеру, твоя математическая модель в данном случае неадекватна, и требуется какая-то иная модель. А эту можно выкидывать. Т.о. для деления на ноль можно использовать особое число NaN правила вычислений с которым просты: любая операция с NaN даёт NaN. Получив на выходе вычислителя такой «результат», ты _должен_ сменить модель на адекватную, и повторить вычисления.

Проблема тут не в самой NaN, а в том печальном факте, что вычисления неверны не только в точке NaN, но и в её окрестностях, которые в пространстве аргументов могут быть весьма большими.

Т.о. делить на ноль всё ещё нельзя, даже с добавлением особой точки NaN (можешь называть её «бесконечность», в этом есть смысл, т.к. она действительно бесконечно далека от любого _числа_).

Чтобы опровергнуть практическую полезность бесконечности — ты сначала опровергни возможность существования бесконечных величин во Вселенной. Теории-то стройные только пока некая доселе игнорируемая мелочь не привела к весьма обширным и интересным выводам.

ты сначала опровергни возможность существования бесконечных величин во Вселенной.

«возможность» конечно опровергнуть не получится, но это ещё не является научным доказательством существования. Это как Бог — его существование нельзя доказать и нельзя опровергнуть. Если брать научные методы.

На сегодняшний день, мы не наблюдаем никаких бесконечных величин. Даже наоборот: время жизни вселенной конечно, скорость(чего угодно) конечна. Откуда следует, что расстояние (чего угодно) тоже конечно. Вселенная никак не может быть больше удвоенного расстояния, которое пройдёт свет за время жизни вселенной.

Не, я понимаю, что вне вселенной есть(может быть) некий бесконечный Бог, но повторюсь, никаких _научных_ подтверждений этой гипотезы нет.

PS: бесконечность не существует по своему определению. Бесконечно удалённая точка по определению, это то, что не принадлежит ничему, что может существовать в данной математике. К примеру, бесконечно удалённая точка лежит за пределами _любого_ замкнутого периметра. И она по определению _недостижима_.

Конечно оно всегда определено, если ты потрудился его определить (а иначе говорить не о чем). Я привёл три примера — N∪{∞} (в котором появляется уникальное ∞/0 = ∞ как решение 0*x = ∞), C ∪ {∞} ~ P^1(C) (z/∞ = 0, z/0 = ∞) и _поле_ Levi-Civita (1/e = ∞_1, 1/e^2 = ∞_2, 1/(a * e + b * e^2), ..., ∞ неархимедовы).

Ты же говоришь — нам нужно разное количество бесконечностей, это ок (если нам нужно поле, то нужно искать бесконечное расширение поля, какая ещё статистика). Но потом — класс бесконечностей обозначенный за a и a != a на основании того, что в классе есть разные элементы. Ну как a = {1, 2, 3} и a != a, т.к. 2 != 3. Если же ты переходишь к статистике, то a как пространство состояний (элементарных событий, data set, sample space, etc) остаётся одним и тем же, разные получаются его элементы полученные при измерениях со своими вероятностями — понятное дело, что элементы a различны.

Вселенная никак не может быть больше удвоенного расстояния, которое пройдёт свет за время жизни вселенной.

Это мешает существовать областям, куда свет ещё не дошёл и даже никуда не дойдёт? И потом, это всё справедливо лишь при принятии теории Большого Взрыва, которая тоже всего лишь теория и может быть опровержена. Научный креационизм же и подавно не вяжется с тем, что где-то свет есть, а где-то им обделили; то, что локально мы наблюдаем распространение материи из одной точки, ещё ничего не значит, ибо этих точек может быть бесконечно много. Самое интересное начнётся, когда продукты из этих точек начнут сталкиваться — если, конечно, вообще когда-либо начнут, ибо точки могут быть расположены бесконечно далеко друг от друга. Поскольку меры пространства и времени в зоне каждой точки локальны, это теории Большого Взрыва никак не мешает даже. И вообще, в инфлатронном поле, из которого наша Вселенная предположительно вышла — как число π — в нём может зародиться что угодно, даже разумные пони, владеющие магией, причём бесконечное количество раз, только к нашей Вселенной это никакого отношения не имеет, ибо заточено в своей системе координат.

никаких _научных_ подтверждений этой гипотезы нет

Физический агностицизм не должен мешать развитию математики. В конце концов, комплексные числа тоже нереальная чисто теоретическая хренотень, которая, тем не менее, полезна в расчётах — почему алгебра над бесконечностью не может быть чем-то полезна? В конце концов, на ней можно сформировать матаппарат, который может оказаться менее громоздким и костыльным, чем существущая теория пределов, дифференциальное исчисление и пр. Хотя тут уж скорее нужна несколько другая алгебра, где 1/∞ равно не 0, а ∞, но бесконечно малой ∞. Пожалуй, в ней даже следует ввести отдельное обозначение для ∞ меньше 1 и больше 1, но это уже будет совсем не то.

это то, что не принадлежит ничему, что может существовать в данной математике

Непринадлежность к чему-либо имеет к нему не менее прямое отношение, чем принадлежность.

недостижима

Чтобы опираться на точку в расчётах, достигать её вовсе не обязательно.

Хотя тут уж скорее нужна несколько другая алгебра, где 1/∞ равно не 0, а ∞, но бесконечно малой ∞.

Детский сад какой-то. В математике есть понятие строгости, вот возьми и формализуй свои идеи. Только если ты хочешь сохранить структуру поля, у тебя как ни крутись ничего не выйдет, я об этом ещё сообщений 150 назад написал (и доказал).

Хотя тут уж скорее нужна несколько другая алгебра, где 1/∞ равно не 0, а ∞, но бесконечно малой ∞

Это называется http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal, со своим значком (epsilon обычно).

И таких структур много разных:

http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_mathematics — http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Archimedean_ordered_field (http://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_field, http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number, http://en.wikipedia.org/wiki/Superreal_number, http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number), http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis.

http://en.wikipedia.org/wiki/Non-classical_analysis — http://en.wikipedia.org/wiki/Smooth_infinitesimal_analysis, http://en.wikipedia.org/wiki/Synthetic_differential_geometry, http://ncatlab.org/nlab/show/synthetic differential geometry, http://ncatlab.org/nlab/show/infinitesimal object.

Если он уже отказался от 1/∞ = 0 и 1/0 = ∞ и теперь хочет бесконечно малых вместо 0, то вполне выйдет как бесконечное расширение.

сохранить структуру поля

А оно нужно?

Я ещё ни от чего не отказался, я просто придумал другой юзкейс.

Я думаю ты хочешь http://en.wikipedia.org/wiki/Projective_line (http://en.wikipedia.org/wiki/Real_projective_line, вместо http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line, см. там пример с sin(x)/x).

Это тогда две разных вещи — расширение поля бесконечно большими и малыми (вообще через поля определяются ещё векторные пространства, так что вся линейная и тензорная алгебра с анализом сюда) и поле с добавленной точкой (комплексный анализ, алгебраическая геометрия).

понятное дело, что элементы a различны.

проблема в том, что «величина» ∞ всегда разная, и её «величина» не определена. Т.е. это совсем другое «определение», не такое, как обычно. Проще понять причину в конечном не_поле, например в вычетах Z₆, там есть делители нуля отличные от самого нуля, например 0/2=→0=→3 (в силу того, что 3*2=0). В итоге результат деления нуля многозначен. Т.е. мы можем записать «неравенство» 0/2≠0/2, которое следует понимать в том смысле, что 0/2 вовсе не обязано быть равным самому себе. Если совершить предельный переход к бесконечности, то становится очевидным, что при бесконечном числе значений, возможность(например «вероятность») у бесконечности быть равной самой себе равна нулю.

Это мешает существовать областям, куда свет ещё не дошёл и даже никуда не дойдёт?

я же говорю: не мешает. Бог тоже может там существовать. И что? Для нас эти области абсолютно недоступны.

лишь при принятии теории Большого Взрыва, которая тоже всего лишь теория

на сегодня ничего другого у нас нет.

В конце концов, комплексные числа тоже нереальная чисто теоретическая хренотень

это потому что ты не изучал электротехнику. Отрицательных яблок тоже не бывает, это не говорит о том, что отрицательные числа «чисто теоретическая хренотень».

почему алгебра над бесконечностью не может быть чем-то полезна?

потому что она противоречит самой себе.

где 1/∞ равно не 0, а ∞, но бесконечно малой ∞.

белены объелся?

Непринадлежность к чему-либо имеет к нему не менее прямое отношение, чем принадлежность.

если некая абстракция не принадлежит некой алгебре, то эта абстракция абсолютно бесполезна в рамках данной алгебры. Разве что косвенно, к примеру, если ты решил взять интеграл по пути на комплексной плоскости, и этот твой интеграл проходит через бесконечность, то тебе следует изменить путь интегрирования, в обход бесконечности, иначе получится неверный результат(или вообще не получится). Т.е. наличие в твоих выкладках бесконечности сигнализирует об ошибке в выкладках. Иногда ситуацию можно спасти рассматривая предел к бесконечности, но в комплексной плоскости это не слишком просто, так как там путей к бесконечности бесконечно много.

Чтобы опираться на точку в расчётах, достигать её вовсе не обязательно.

ты голову включи: как ты будешь _опираться_ на то, что недоступно? Если ты опираешься на стол, и если этот стол ВНЕЗАПНО исчезнет, то ты тупо упадёшь. А если стола нет рядом, то ты _на_ _него_ не сможешь опираться. Единственное, что можно — идти к столу.

В расчётах тоже самое.

сохранить структуру поля

А оно нужно?

оно нужно для сохранения _смысла_ деления. Например в поле рациональных чисел деление имеет смысл(кроме деления на ноль конечно). Если ты не сохранил структуру поля, то деление будет противоречить себе же. Ну или значок «=» утеряет свой смысл, как я выше показал(т.е. если рассматривать «=» как оператор, вроде operator==() из C++, то его значение будет «не определено». В обычной алгебре(над полем действительных/комплексных чисел например) мы всегда можем сказать «равно» или «не равно», а в твоей ереси мы можем сказать только «хрен его знает»).

проблема в том, что «величина» ∞ всегда разная, и её «величина» не определена. Т.е. это совсем другое «определение», не такое, как обычно.

Тогда давай определим класс величин R(∞) = { счётное количество линейно независимых величин 1/e, 1/e^2, ... для некоторого формального элемента e и их линейные комбинации } который всегда один и тот же но с разными элементами? Тогда будет определение без кавычек, как обычно.

мы можем записать «неравенство» 0/2≠0/2, которое следует понимать в том смысле, что 0/2 вовсе не обязано быть равным самому себе.

Надо осваивать теорию множеств, говорю же :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Relation_(mathematics)#Special_types_of_binary_r...

В группе x * a = b решается как x = b / a, где _/_(b, a) = b * a^-1 это функция G * G -> G (смотрим определение функции по ссылке — relation that is functional and left-total), так что b / a = b / a для любых b и a — _/_ это функция (обратная и операция группы это функции, композиция функций — функция), пара элементов группы (b, a) даёт образ который есть другой элемент группы G, для любого элемента группы x справедливо x = x (с местным для группы равенством).

Теперь — в кольце мультипликативный моноид, а не группа, так что x * a = b решается как x = b / a = {c | c * a = b}, это не функция, а отношение (не functional и не left-total, вообще и отношение и функция это подмножества (G * G) * G, просто у отношения белее слабые свойства чем у функции / многозначной функции / частичной функции), так что образом пары элементов моноида (b, a) является не элемент моноида, а множество элементов b / a = {c | c * a = b}, очевидно, что равенство на множествах рефлексивно (как и любое равенство, в первом случае у нас было равенство в группе, а тут равенство теории множеств зависящее от равенства моноида), так что b / a = b / a — одно и то же множество, просто могут существовать два разных элемента этого множества (разные делители).

Я говорю это

как a = {1, 2, 3} и a != a, т.к. 2 != 3.

Любая попытка сделать a != a это всегда

совсем другое «определение», не такое, как обычно.

Только людей путаешь.

З.Ы. Вот ещё пример — рациональное число a/b это пара (a, b) in Z * (Z \ {0})? Нет — это класс эквивалентности пар a/b = {(x, y) | a * y = b * x} in (Z * (Z \ {0})) / ~, так что с отношением эквивалентности (рефлексивным!) на рациональных будет 1/2 ~ 2/4 ~ 3/6 и т.п., но то что класс 1/2 содержит счётное количество разных пар не заставляет нас писать 1/2 !~ 1/2, а вовсе наоборот — если мы решили работать с целым классом (дробей или бесконечностей), то он равен сам себе как множество, если нам нужны его элементы (пары в алгоритме сокращения, например, или разного порядка бесконечности), то мы их различаем, т.к. как они различны — (1,2) != (2,4), 1/e != 1/e^2.

Тогда давай определим класс величин R(∞) = { счётное количество линейно независимых величин

ну и получится матан с «бесконечно малое n-ного порядка».

так что b / a = b / a — одно и то же множество, просто могут существовать два разных элемента этого множества (разные делители).

согласен. Это просто пример, но для бесконечности мы имеем бесконечное множество разных эл-тов. Причём даже несчётное множество. И если множества мощности 2 ты ещё можешь приравнять(с оговорками), то множества мощности алеф-1 — сомневаюсь.

но то что класс 1/2 содержит счётное количество разных пар не заставляет нас писать 1/2 !~ 1/2

плохой пример, т.к. очевидно, что 1/2=2/4. Просто разный способ записи одного и того же числа. С тем же успехом ты можешь взять натуральные числа, которые тоже можно _записывать_ и так: «12», и так «000012». Чуть лучше будет равенство 0.2==0.1999999…, но это тоже одно число, а не два разных.

Проблема в том, что в Z₆ 0≠3, и тем не менее, 0/2 равно и 0 и 3.

ЗЫЖ деление на ноль числа из множества мощностью A порождает A-значную «бесконечность». Каким-то неведомым способом, эта A-значная «бесконечность» должна при умножении на 0 «вспомнить», чем она была до деления на ноль.

К примеру: 17/0=→∞₁₇

∞₁₇*0=→17.

При этом символ ∞₁₇ вовсе не означает «бесконечность» в смысле «бесконечно большое». Оно не может быть «большим» или «малым», т.к. результат сравнения ∞₁₇ с чем угодно не определён по определению. Это вообще не_число, даже если его таким вот образом «определить».

17/0=→∞₁₇

Открытым остаётся вопрос: зачем это надо, и что это даёт полезного?

множества мощности 2 ты ещё можешь приравнять(с оговорками)

С какими оговорками?

множества мощности алеф-1 — сомневаюсь.

Почему? Например, группы симметрий многообразий должны уметь переводить всё несчётное множество точек многообразия в себя, так что для несчётного M мы должны уметь в Action M = M, сами такие группы (Ли) — несчётные многообразия.

плохой пример, т.к. очевидно, что 1/2=2/4

Проблема в том, что в Z₆ 0≠3, и тем не менее, 0/2 равно и 0 и 3.

Оно подобно — {0, 3} это идеал в Z_6, так что в факторкольце Z_6/{0, 3} = {{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}} ~ Z_3 будет 0 ~ 3 и 0/2 = 0 (~ 3). Само Z_n так строится как Z/nZ.

ЗЫЖ

Тыж не ходишь по ссылкам! http://www.physics.umanitoba.ca/~khodr/Publications/RS-Overview-offprints.pdf