поиск корней уравнения двух переменных

См. Диофантовы уравнения

Ну и еще вот это.

а) Красных R, черных B; вероятность вытянуть первым красный == R/(R+B); вероятность вытянуть красный вторым == (R-1)/(R+B-1) →

[latex]\frac{R\cdot(R-1)}{(R+B)(R+B-1)} = 0.5[/latex]

откуда

[latex]R^2-R = B^2+2RB-B[/latex]

Можно еще как-нибудь преобразовать. Строишь графики левой и правой части, ищешь точку пересечения.

б) та же фигня

В октаве:

R=[1:100];B=[1:100];
[r b] = meshgrid(R,B);
a=r.*(r-1);
c=0.5*(r+b).*(r+b-1);
ind = find(a == c);
[Ix,Iy]=ind2sub(size(r),ind);
R(Iy)
ans =

    3   15   85

B(Ix)
ans =

    1    6   35

Вопрос а): минимум 4 носка: три красных и 1 синий

Вопрос б): минимальное четное число черных носков == 6 → 21 носок: 15 красных и 6 черных

2(r^2-r)=x^2-x => 2r(r-1)=x(x-1)

Если не нужны все возможные решения, то можно просто положить r=x-1, тогда

2(r-1)=r+1 => r=3, x=4.

а) Каково минимальное возможное число носков в ящике?

Тем самым, остается рассмотреть случаи x<4, что решается перебором.

Так я перебором и решил, но как это решается на поле вещественных чисел?

б) Каково минимальное возможное число носков в ящике, если число черных (b) носков четно?

2(r^2-r)=(r+b)^2-(r+b) => r^2-(2b+1)r-b(b-1)=0

Найдем дискриминант: D^2=(2b+1)^2+4b(b-1)=8b^2+1. Очевидно, что D должен быть целым. Значит, D — нечетное, т.е. D=2d+1 => d(d+1)=2b^2

Кстати, решение b=1 теперь очевидно. Перебирая четные b=2,4,6,..., мы видим: 2*6^2=72=8*9, т.е. d=8.

Получаем решение (второй корень отрицательный): r=(13+17)/2=15.

Проверка: (15/21)*(14/20)=1/2, ч.т.д.

Пересечением двух поверхностей.

Пересечением двух поверхностей.

Пересечением параллельных миров :)

Кстати, если интересуют все решения, то есть теория решения уравнений вида:

D^2-8b^2=1

Я в точности теорию не припомню, знаю только, что D/b должны быть приближения к \sqrt(8), получаемые методом цепных дробей.

Уравнения Пелля