Предел — это когда в стране жопа, а еще и сухой закон вводят. После этого наступает беспредел...

Это где в ИТМО хорошо математику рассказывают? Мне казалось, в основном там тупняком занимаются, за исключением нескольких пересчитываемых по пальцам направлений, и в среднем по больнице там достаточно грустно.

Студенческий юмор? ))

А вообще я в глухом селе и в домике.

Все равно изменить не дано нам сего.

Так и есть, там готовят программистов и инжынеров. Есть группа «Прикладная математика», но туда брали не так уж много в моё время.

раз в год стабильно всплывает эта тема. ТС, поиском пользовался?

ты не понимаешь математики

мне не ясно, почему тебя не смущает рекурсивность твоего определения.

а тебе не ясно, в каком месте должен стоять квантор произвольности ε, и что это вообще имеет значение.

это если еще закрыть глаза на то, что, строго говоря, твое определение вообще не парсится

Студенческий юмор?

Нет, к сожалению. Суровая правда жестиизни

Он, вероятно, понимает. Я вот не понимаю, да :)

khanacademy.org попробуй. Там все уровни есть.

Мда, всё совсем плохо http://ege.yandex.ru/mathematics/1/result/user/nikolaj-sitnikov2015/6515835/5...
4 часа потому-что параллельно работал и страдал всякой фигнёй.

Хорошо, раз ты такой строгий математик, то напиши определение предела на языке математической логики.

И заодно покажи, где у меня рекурсивность.

Пусть метод старины Лейбница нас рассудит :-)

Зато тебя должен радовать тот факт, что есть куда расти :-D

Хотя мне это не помешало немного использовать его математический аппарат на практике.

Мат. анализ возник из жизненных задач физики, механики и оптики, в частности. А уже потом при Дедекинде, Канторе и компашке оброс красивой „юриспруденцией“, в духе, почему мы разрешили существовать действительному числу в частности, и анализу в целом.

Честно да, я не парил себе мозг строгим определением понятия «бесконечно малая величина».

Для любого ε > 0?

Но тогда нужно специально указывать, что наш ε бесконечная малая высшего порядка относительно переменной х.

Что тогда толку в красивом словосочетании «квантор произвольности» ?

А ты еще и упорствуешь, какой каноничный случай.

Да, непонимание математики не мешает абсолютному большинству пользоваться калькулятором, и даже считать сдачу. Не надо только с этим прекрасным навыком пытаться понтоваться разговорами о пределах, глупость получается.

Число не может быть бесконечно малым, в принципе не может.

Приравнять число к бесконечно малой - это все равно что приравнять яблоко к бланку заказа доставки ящика апельсинов ежемесячно в течение пяти лет.

И в математике нет «красивых словосочетаний», а есть точные формулировки.

Число не может быть бесконечно малым, в принципе не может.

Так с этим никто не спорит речь идет не о числе, а о переменной, которая стремится к нулю и посему называется величиной бесконечно малой относительно некоторого масштаба малости.

Мат. анализ тем и примечателен, что волею нужд физики и прочих прикладных наук изучает величины в динамике на множестве вещественных чисел.

Что не так?!

Переменная не может стремиться к нулю, она у тебя имеет тип, и этот тип - число.

А «стремиться к нулю» - это свойство последовательности иметь предел, то есть вот ровно ту штуку, которую ты пытаешься определить.

понтоваться разговорами о пределах,

А чем тут понтоваться то, хорошей памятью?

Это же Вам не тензорное исчисление, вот там действительно можно и попонтоваться :-)

не мешает абсолютному большинству пользоваться калькулятором

Вот тут Вы уже передернули. Знаете ли Вы точную формулировку или нет, на физический смысл математической формулировки, например экспоненциального роста популяция бактерий или периода полураспада радиоактивного вещества это никак не повлияет.

Что не так?!

То, что ты занимаешься околоматематическим словоблудием. А математика существует для того чтобы показывать его абсолютную несостоятельность.

Поэтому как бы ты не пыталсяи извернуться, оно видно за километр.

относительно некоторого масштаба малости

Именно что не некоторого, а любого. И поэтому «бесконечно малая величина» - это не число.

Логическая схоластика :-)

Хорошо, если наша переменная пробегает все значения в убывающей последовательности, то получается, что она не стремится к нулю?

Оригинально, да.

А если переменная не переменная в данном контексте — она константа и дальше говорит не о чем.

Простите, Вы еще не привели ни одной математической формулы, в терминах мат. логики.

Я жду, чтобы Вы наочно показали несостоятельность моих «словоблудий».

Иначе, мы равны ;-)

Простите, Вы еще не привели ни одной математической формулы, в терминах мат. логики.

помню у нас в учебнике экономики было: «экономика использует обширный математических аппарат. Например, для обозначения величин используются большие латинские буквы...»

Да, все-таки прав был Я.Б. Зельдович — пока до ученика (студента) дойдет физический смысл формулировок того же дифференциального исчисления, он (студент) может благополучно умереть в дебрях из предикатов, кванторов и теорем существования :D

Теперь ты ко всему прочему еще и убывающую последовательность к бесконечно малой приравнял.

Не смешно и толсто.

Лейбниц негодует на облачке.

XXI век на дворе, а такой простой спор не могут решить использую мощный аппарат математической логики.

Печально.

все умные слова, которые вспомнил, перечислил? Видишь ли, весомость аргумента в математической дискуссии не зависит от количества слов или фамилий академиков упомянутых в тексте. Это такая специфика предмета.

И все-таки, я пока не увидел не одной математической выкладки, так что Ваше словоблудие такое же как и мое, согласитесь уже.

Уже сам данный топик свидетествует о том, что математическая подготовка широких масс оставляет желать лучшего.

Математических выкладки - это не заклинания, которые применяются в произвольные моменты и придают +3 к интеллекта и +7 к харизме.

В твоем случае формальная логика может начаться только с того момента, как ты сумеешь дать определение «бесконечно малого эпсилон » так чтобы оно не противоречило твоему определению предела. До того момента формальная логика тебе может дать только ошибку компиляции.

Вот про компиляцию у нас речи не было :-)

В начале речь была о точных определиях как в учебнике господина Кудрявцева и о пользе таких определений в области прикладных наук.

Что же, спасибо за скромную дискуссию!

А вечерком, я таки открою Зорича и мы, возможно, продолжим

Классическое образование, что поделать.

Толсто? А так выходит, что нужно начинать с определений. А они в одно ухо войдут, а остальное уже известно.

Решать, чем больше, тем лучше, только практика даст желаемое понимание.

Ваше определение действительно рекурсивное, так как бесконечно малая величина задаётся через предел.

[fat]И не для любого ε, а для всякого[/fat]

Боюсь, что если для различения «некоторого» от «любого» тебе требуется авторитет Зорича, тут не так много направлений куда можно продолжить эту дискуссию.

Классическое образование

не панацея. И даже оно может устареть, что, собственно, с ним и произошло. Сейчас умение считать офигенно сложные интегралы не нужно (надеюсь, вы не будете спорить, почему), а нужно знание теории и умение её применять.

А так выходит, что нужно начинать с определений. А они в одно ухо войдут, а остальное уже известно.

Внезапно, да! Как вы хотите решать задачи, не зная определений?

Во всех курсах есть задачи, но они разные. Если в Зориче задачи даются как раз на понимание, то в Демидовиче и иже с ним — на решение интегралов. (См. абзац 1)

В таком случае я всегда советую двухтомный труд Николая Семёновича Пискунова.

Вы против? ;-)

Не боись!

Да таки, действительно, я дал маху в том, что ε произвольно заданное положительное число, которое в строгом смысле математического определения величиной бесконечно малой быть не может.

Так как в действительности (да, при написании программы) — оно заданно хоть по модулю и мало.

Такой огрех был. Согласен.

Рекурсия.

Граждане, я протестую!

У Зорича он любой! :D

Вы таки преподаватель?

Нет.

Понятно.

Хотя в некоторых местах, передергиваете профессионально :-)

Мне понравилось.

Можно ведь просто признать что был неправ и успокоиться.

Но ты ведь даже и не понял в чем фундаментальная проблема. Посмотрел в Зорича, увидел что там написано иначе - и сказал «да, так и быть, немножко неправильно».

То что ты писал неправильно не потому что Зорич, Кантор, Лейбниц, Кудрявцев, Фихтенгольц или Зельдович писали по-другому. Не потому что «просто немножко нестрого». И не потому что существует какая-то альтернативная действительность. И не потому что я «передергиваю».

То что ты писал неправильно само по себе. Потому что рекурсивно, потому что бесконечно малая - не число, и потому что убывающая последовательность не все равно, что стремящаяся к нулю.

А, вот еще вспомнил!

Как в таком случае быть со сравнениями бесконечно малых величин разных порядков малости?

Конечно, в строгом математическом изложении ;-)

потому что убывающая последовательность не все равно, что стремящаяся к нулю.

Теперь согласен.

Убывающая последовательность может иметь предел отличный от нуля.

Бесконечно малая — только ноль.

Вы это имели ввиду?

Как в таком случае быть со сравнениями бесконечно малых величин разных порядков малости?

В каком - в таком?

Сравнение бесконечно малых всегда делается по определению:

http://www.math4you.ru/theory/Lim/lim6/

Убывающая последовательность может иметь предел отличный от нуля.

А может вообще не иметь предела. Но если мы про положительную убывающую последовательность, то есть ограниченную, то да.

Поэтому в определении предела должно быть именно «для любого > 0», а не «для любого пробегающего по убывающей последовательности».

Согласен.

Хотя наш спор вряд ли поможет ТСу :-)

1) Зависит от области применения. 2) Именно поэтому я начал решать топологию + функан. Но этому парню хотя бы интегралы освоить.