Уравнение пуассона, где одна из границ периодическая

Не знаю, но скорее всего знаю книжку, где это может быть написано (если задача типичная). Попробуй поискать в книге «Уравнения математической физики» Тихонов, Самарский.

так это же у тебя топологический (или метрический?) цилиндр выходит, смени систему координат и не парься

Уравнение Пуассона, где одна из границ периодическая

Решение уравнения Пуассона для ограниченных по x и периодических по y систем. ©

В этой книжке я посмотрел, но не въехал как это в виде алгоритма должно быть.

Пусть на краях оси x заданы условия Дирихле, а ось y периодическая. Шаги сетки везде 1.

1) Переводим плотность заряда в фурье-образ по оси у:

ρ(x, y') = fft_y(ρ(x,y))

2) Разностное уравнение для потенциала:

ϕ(x-1, y') + ϕ(x+1, y') + ρ(x, y') = 2d(y') ϕ(x,y'), разности по y ушли.

где d(y')=1+2sin²(2πy'/Ny); x∈1..Nx; y'∈1..Ny.

Получается система Nx*Ny уравнений, SOR, уже не впихнуть и её следует решать напрямую?

3)???

4)ϕ(x,y) = ifft_y(ϕ(x,y'))

Вообщем, по отдельности куски понятны, а общий алгоритм как выглядит не въеду. Правильно я понимаю, что в случае, если обе границы периодические, то все конечные разности уходят, и потенциал в фурье-пространстве однозначно выражается через фурье образ зарядовой плотности?

как это в виде алгоритма должно быть.

Глянь на ДПФ для Пуассона. ©

потенциал в фурье-пространстве однозначно выражается через фурье образ зарядовой плотности?

Да.

Ну когда всё замкнуто понял. У меня затык именно в том, что не могу въехать, как оно должно быть, когда fft только по одной оси. Оно же вроде не должно свестись к цепочке независимых одномерных задач?

У меня затык именно в том, что не могу въехать, как оно должно быть, когда fft только по одной оси.

Дык, fft отображает бесконечную пространственную область периодической функции на конечную область спектральной плотности. Например, во многих аудио редакторах/плеерах есть 3D визуализация спектра: по 1 оси — частота, по 2 оси — время ©.
Просто абстрагируйся от координат.

Да то же самое будет. В чем конкретно проблема?

Вот жеж треш! Походу, я первый раз где то опечатался и от того оно у меня и не сходилось, сейчас заново переписал в стиле:

phi0 = phi[ix,iy]
if   iy == 0 or iy == ny-1:
	phi[ix,iy] = (0.25*(phi[ix-1,0] + phi[ix+1,0] + phi[ix,ny-2] + phi[ix,1])+ q[ix,0])*w_relax + (1.-w_relax)*phi0
else:
	phi[ix,iy] = (0.25*(phi[ix-1,iy] + phi[ix+1,iy] + phi[ix,iy-1] + phi[ix,iy+1])+ q[ix,iy])*w_relax + (1.-w_relax)*phi0

вроде похоже http://pix.academ.info/images/img/2016/08/24/72b55ddefc194e7928a214c55b28b114...