sin n ~ x всегда выполнимо?

неравенство треугольника в пространстве без скалярного произведения (dikiy)

sin n ~ x всегда выполнимо? (dikiy)

ты экзамен сдаешь или просто торкнуло?

задачи готовлю для студентов. В голову лезут всякие мысли :)

синус ограничен же, если |x|>1 не получится

что за курс? что за вуз?

давайте этот тривиальный случай выкинем.

собсно идея была такая, чтобы показать (попытаться), что множество предельных точек последовательности exp(i n) это вся окружность.

что за курс? что за вуз?

первый семестр матана. Вуз в Гермашке.

задача сводиться к выполнению равенства

|2pi k - n| < epsilon

Да. Разложи в ряд фурье например.

Ну а по картинке там помнишь кружочек вращается? Так вот он покроет все от 0 до 1

n - целое. Вопрос: покроет ли.

Если даже ты не можешь так сразу дать ответ, чего ждать от студентов-первокурсников?

Покроет. Может не Фурье, а тейлОр тебя убедит. там x-a будет приближаться. а так как он бесконечный..... а еще и делим на факториал. Там пристрелка такая, что вот наверное давай посчитаем сходимость ряда. Кстати. Радиус ряда посчитай.

Пусть платят евро.

что дает сходимость ряда в данном вопросе?

|sin n - x|<epsilon

Если даже ты не можешь так сразу дать ответ, чего ждать от студентов-первокурсников?

мыслей всяких. Пусть думать учатся.

Зафиксируй X. И считай сходимость. Если сходится, то синус туда попадет. Но я думаю, что да. Но час ночи я могу и ошибаться. А там для любого эпсилон.... найдется такое n. Там теорема о сходимости что гласит про радиус?

блин. Давай упростим.

можно ли найти такое n, чтобы выполнялось

|sin n| < epsilon ?

тут сходимость тебе не поможет, насколько я понимаю.

А! Еще а разложи логарифм. Он будет от 0 до 1 непрерывен? Представь его в виде синусов.

Беру паузу, но вот чую что .... тут наверное еще теорема об отсутствии атомов на прямой. ну берем от 0 до 9 и делим на 10 и получаем значения синуса от 0 до 1. и всякие простые числа. вопрос как доказать я в час ночи не соображаю. но блин классный вопрос

А! Еще а разложи логарифм. Он будет от 0 до 1 непрерывен? Представь его в виде синусов.

– Ребе, у меня дохнут куры. Что делать?
– Кидай им зерно в круг, предварительно его начертив.

Еврей начертил круг, стал кидать в него зерно, но куры все равно дохли. Тогда он опять пришел к ребе:

– Что делать?
– Нарисуй квадрат и бросай зерно в квадрат. Еврей нарисовал квадрат, стал бросать в него зерно, но куры все равно дохли.

– Что делать, ребе?
– Нарисуй треугольник и бросай зерно в треугольник.

Еврей нарисовал треугольник и стал бросать туда зерно. Куры сдохли все.

– Ребе, все куры сдохли.
– Жалко, у меня было еще столько идей.

без обид. Просто вспомнилось :D

Я тут немного нагуглил. Похоже, что не получится. Будут дырки. чтоб не присваивать себе все, вот ссылка http://dxdy.ru/topic64884.html

Да было про нарисуй квадрат. Но я не обижаюсь. Я в курсе, что двоечник был.

то немного не то. Там про рациональность, а у нас надо |sin n| < epsilon, а не = epsilon.

Пфф. Ну берем epsilon = epsilon - aplha

альфу тоже иррациональную. но маааленькую

по ссылке о том, что нет n, чтобы sin n был рациональным. Но это в принципе не помешает ему быть меньше любого epsilon. Если последнее вообще верно.

ты если решишь отпишись. а то я теперь спать не буду

хм, а я и не знал, что есть такая штука как мера иррациональности. Мне кажется, что от неё зависит, она для числа пи кстати тоже неизвестна, только оценки. Но въехать в это сейчас не могу.

евро

Ойро же.

Привет Логопедам!

Ваш вопрос можно переформулировать так. Является ли множество {sin(n) | n \in N} всюду плотным в [-1, 1] со стандартной метрикой. Кажется, я такое задание решал на 3 курсе и ответ положительный. По крайней мере сегодня ко мне подходила студентка с похожим заданием, только с sin(sqrt(n)), но там проще (вроде, через теорему Лагранжа легко показать). Завтра попробую доказать.

sqrt выродит n до нецелых.

http://dxdy.ru/post480230.html

Спасибо, но это очевидно. Я лишь написал, что измененная таким образом задача решается проще.

че-то мне кажется, что ответа нет. Но ты попробуй вспомнить там.

По идее вопрос о плотности exp( i n) на окружности сводится к

phi - (n - 2pi k) < epsilon. Нормальность pi оченивдно достаточна для решения этого неравенства. Что-то мне подсказывает, что также и необходима.

exp (i n) сводится по идее также к предыдущему вопросу после применения формулы Муавра.

Ответ по ссылке.

риальне o_O

не ожидал, что так просто.

Я бы не сказал, что это «так просто». После чужого объяснения многие идеи кажутся простыми.

А теперь для тупых.

Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, стр. 176

Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, стр. 176

Подлец ты. Я по ссылке это читал. Ладно придется ночью читать Арнольда.

Я бы не сказал, что это «так просто». После чужого объяснения многие идеи кажутся простыми.

да реально же просто. По сути похоже на задачу с бильярдным шаром.

Не слышал о такой. Что-то об отскакивании от стенок?

Нет, это опирается на иррациональность числа \pi, которая вполне себе доказана.

Не слышал о такой. Что-то об отскакивании от стенок?

да. Как надо ударить шар, чтобы его траектория была замкнутой.

От противного же. Если какая-то точка не является предельной, значит есть её такая ненулевая окрестность (написать отрицание факта того, что точка предельная). Отсюда вывести рациональность pi и получить противоречие.