[алгебра] задача

Потом решил попробовать посчитать det. Ну посчитал (есессно, учитывая правила операций в кольце) получил не 0. Где ошибка в моем понимании проблемы?

octave говорит, что детерминант -15. Т.е. ноль.

O_O. Вот я ступил. Сейчас опять det пересчитал, все сошлось.

Спасибо тебе, добрый человек )

А до этого что-то пересчитывал все не сходилось.

>>ища ранг с помощью преобразований столбцов.

Преобразования столбцов-то тоже надо делать с учетом правил операций в кольце. М.б. в этом загвоздка?

>>ища ранг с помощью преобразований столбцов.

Преобразования столбцов-то тоже надо делать с учетом правил операций в кольце. М.б. в этом загвоздка?

Это я учел есессно. Загвоздка, как указал ival, была в арифметике :)

Вот еще тогда вопрос: ведь я могу взять любые два вектора, если ранг равен 2, и сказать, что это базис? То есть если после преобразований у меня получились вектора (1,1,1) и (3,4,0) то по идее можно так и оставить, или желательно еще как-то нормализовать?

>>octave говорит, что детерминант -15. Т.е. ноль.

Твой octave в курсе про особенности умножения в Z/5Z? Или ты скормил ему в обычных целых числах?

Дык конечно можно так оставить. Можно вообще любые два вектора из трех исходных взять.

Твой octave в курсе про особенности умножения в Z/5Z?

Не знаю. Наверно нет.

Или ты скормил ему в обычных целых числах?

Да.

>Твой octave в курсе про особенности умножения в Z/5Z? Или ты скормил ему в обычных целых числах?

Дык надо же просто остаток потом от -15/5 взять. Ведь операции в кольце подчиняются всем законам (ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность), а значит можно детерминанту просто как для обычных чисел посчитать, а потом поделить на 5.

Дык кстати согласен.

>Можно вообще любые два вектора из трех исходных взять.

А есть вообще понятие нормы в пространстве из элементов кольца?

Я попробовал по аналогии с обычной нормой сделать, но мне кажется, что это ерунда.

Вот еще тогда вопрос: ведь я могу взять любые два вектора, если ранг равен 2, и сказать, что это базис?

Брать можно только те, от которых осталась еденичная матрица. Иначе в общем случае можно ошибиться. Например если вектора x, y линейно независимы, а третий есть 2*x, то если взять (x, 2*x) базиса не получится

Да. точно. Полезно про такой подвох помнить )

Там вся сложность произрастает из нормы кольца. Удастся пронормировать кольцо - удастся пронормировать векторное пространство над ним.

Экзотический у тебя пример, обычно векторное пространство над полем, а тут над кольцом...

Сходу тоже ерунда получается, кастую jtootf.

Каюсь, упустил.

судя по твоим постам в толксах ты самостоятельно изучаешь программу первого курса по математике?

обычно векторное пространство над полем,

Не обычно, а по определению над полем.

а тут над кольцом...

Z/5Z поле :)

>>Z/5Z поле

Ага, именно поэтому его называют кольцом вычетов, да?

Да и в условии речь шла о кольце.

>>а тут над кольцом...

Z/5Z поле :)

Что не отменяет того, что оно же и кольцо :)

Насколько я понимаю, не всякое кольцо поле, но в данном случае да.

>судя по твоим постам в толксах ты самостоятельно изучаешь программу первого курса по математике?

Да.

Я правда на примате 5 семестров отучился когда-то. Но с тех пор много воды утекло. А вот сейчас опять вдохновение нашло. В универе восстановился. Сейчас повторяю то, что забыл и то, на что забил в свое время. А сейчас реально интересны стали вещи, на которые забивал когда-то.

Ага, именно поэтому его называют кольцом вычетов, да?

Полем называется кольцо, все элементы которого без нуля образуют группу по умножению. Чтобы получилось поле, нужно брать вычеты по модулю простого числа.

Точнее элемент кольца называется простым, если кольцо вычетов по нему является полем. А когда элемент не имеет других делителей кроме себя и еденичных элементов, он называется неразложимым. В евклидовых кольцах (таких как Z или кольцо полиномов над полем) эти два понятия совпадают.

>Там вся сложность произрастает из нормы кольца. Удастся пронормировать кольцо - удастся пронормировать векторное пространство над ним.

А в вики есть что-то удобоваримое по норме кольца?

Экзотический у тебя пример, обычно векторное пространство над полем, а тут над кольцом...

ну так данное кольцо поле и есть. Иначе не было бы это векторным пространством.

>>Иначе не было бы это векторным пространством

Не факт, я не ручаюсь что нельзя сконструировать что-то векторнопространствоподобное над структурами, более общими чем поле.

Да и как выяснилось, сложность представить норму этого примера не в том, что это кольцо (правильно выяснили тут что это ещё и поле), а в особом законе умножения.

Трудно представить сходу, какую норму нужно использовать, чтобы выполнялось неравенство треугольника на поле вычетов. Подписываюсь на тред, может кто расскажет, как на самом деле.

>>Полем называется кольцо, все элементы которого без нуля образуют группу по умножению.

С телом путаешь. Ну или забыл добавить что группа должна быть абелева.

В любом случае не важно, спасибо за пояснение.

Полем называется кольцо, все элементы которого без нуля образуют группу по умножению

абелеву

>Не факт, я не ручаюсь что нельзя сконструировать что-то векторнопространствоподобное над структурами, более общими чем поле.

Исходя из того, что векторное поле должно иметь определения «скалярного» умножения на элементы некоторого множества (вещественные числа, комплексные). Ну и должны выполняться аксиомы

X,Y - вектор.

a(bX)=(ab)X

плюс дистрибутивность

(a+b)X=aX+bX

плюс то же самое по векторам:

a(X+Y)=aX+aY.

Коммутативности в аксиомах нет (можно вывести?)

А значит, что этот элемент скалярного умножения должен принадлежать какому-нибудь полю.

Не факт, я не ручаюсь что нельзя сконструировать что-то векторнопространствоподобное над структурами, более общими чем поле.

модуль является как раз таким обобщением, если я правильно тебя понял

Трудно представить сходу, какую норму нужно использовать, чтобы выполнялось неравенство треугольника на поле вычетов.

Определение нормы напомнить? Зачем она вам сдалась?

>Определение нормы напомнить? Зачем она вам сдалась?

Мне интересно, можно ли нормировать получившийся базис. А это в данном случае сводится к понятию нормы на кольце вычетов.

Мне интересно, можно ли нормировать получившийся базис.

Что такое норма?

>Что такое норма?

Отображение V->R. Или, если человеческим языком - длина вектора.

Ну а под нормированным базисом я понимаю такой базис, вектора которого имеют «длину» 1.

Просто в институтском курсе обычно так: есть нормированное поле => можно построить нормированное векторное пространство над полем.

Образно говоря, умеем измерять длину вдоль оси => умеем рисовать стрелочки в n-мерном пространстве и измерять их длину.

Было интересно узнать, если же у нас не поле а кольцо, то что является аналогом измерения длины вдоль «оси» (модуль?) и что является аналогом измерения длины стрелочек в n-мерном пространстве из таких «осей».

>Отображение V->R.

Ну и есессно, соответствующие свойства выполнятся должны.

Отображение V->R. Или, если человеческим языком - длина вектора.

Я не зря второй раз определение спросил. Там в определении прямо упоминается векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел.

>Я не зря второй раз определение спросил. Там в определении прямо упоминается векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел.

То есть понятие нормы может быть в векторном пространстве исключительно над полем R или C?

А есть ли обобщение данного понятия?

>>Зачем она вам сдалась?

Без нормы в поле нет нормы в векторном пространстве над полем, а о норме в векторном пространстве изначально речь и шла.

В случае с полем вычетов траблы уже в интуитивной нормировке этого поля, что уж говорить о нормировке векторного пространства над этим полем.

А ведь по идее можно так же доопределить норму для векторного пространства над полем «метакомплексных» чисел.

над полем «метакомплексных» чисел

это что такое?

То есть понятие нормы может быть в векторном пространстве исключительно над полем R или C?

А есть ли обобщение данного понятия?

Ну можно конечно вместо R взять абстрактное упорядоченное поле, но если этого никто не делает, значит это никому не нужно.

>>над полем «метакомплексных» чисел

это что такое?

2+4i+3j+5k например.

Ты про гиперкомплексные? Так кстати они поля не образуют.

Но и у них норма интуитивно понятна - тот же корень суммы квадратов.

>Ты про гиперкомплексные? Так кстати они поля не образуют.

Да. А почему?

Ведь проблему может лишь умножение составить.

А его можно определить просто как (a1b1, a2b2,...,anbn); И дистрибутивность и коммутативность и ассоциативность есть.

Ну типа того, у кватернионов умножение теряет коммутативность. По теореме Фробениуса нельзя вещественные числа обобщить дальше, чем комплексные числа, с сохранением всех свойств поля.

>>А его можно определить просто как (a1b1, a2b2,...,anbn); И дистрибутивность и коммутативность и ассоциативность есть.

Два ненулевых числа могут дать нуль в итоге, чревато.

Ведь проблему может лишь умножение составить.

Действительный числа не так просто расширяются. Ибо есть

Теорема Фробениуса

А его можно определить просто как (a1b1, a2b2,...,anbn); И дистрибутивность и коммутативность и ассоциативность есть.

И делители нуля тоже (0, 1) * (1, 0) = (0, 0)

Hivemind!

2+4i+3j+5k например

эта запись может означать что угодно. ты имел в виду кватернионы? антикватернионы? полукватернионы? полуантикватернионы? 1/4-кватернионы?

только ассоциативных вещественных 4-алгебр существенно больше одной

Ведь проблему может лишь умножение составить

умножение не есть проблема, оно обобщается на произвольные размерности: векторные алгебры, собственно, это хорошо показывают - проблема в делении и наличии нормы (см. тождества двух, четырёх и восьми квадратов)

что касается твоего исходного вопроса, то смотри доказательство теоремы Гурвица; при увеличении размерности нормированных алгебр с делением их свойства теряются (комплексные числа лишены линейной упорядоченности, умножение кватернионов некоммутативно, умножение октонионов неассоциативно и альтернативно). в принципе, несложно показывается что не более, чем за три шага редукции из любой вещественной нормированной алгебры с делением мы должны получить ассоциативную коммутативную вещественную алгебру с тривиальным сопряжением, а всем этим свойствам удовлетворяет только R

>Два ненулевых числа могут дать нуль в итоге, чревато.

Я только сейчас понял, что это противоречит аксиомам.

Это получается, что

ab=0 и a!=0 && b!=0 => a⁻¹ab=0 => 1*b=0 => 1*bb⁻¹=0 => 1*1=0, что противоречит одной из аксиом.

Верно ведь?

Всем спасибо. Было очень познавательно!

Верно ведь?

нет. наличие делителей нуля не делает алгебру вырожденной