[занимательная математика] охотник и собака

Хотя, если откинуть эту бесконечность и взять некоторое t0 > 0 как нач. условие, то всё решается нормально(выше уже писали). Но это уже серьёзное допущение, т.к. положение охотникака в этот момент не будет равно положению ОД.

А можно взглянуть на решение для произвольно выбранного t0? Потому что оно легко обобщается на случай t0=0. Решение можно выразить через ряды и найти точку схождения ряда.

Мои расчёты смотрел? Может там чё логичное есть?

Смотри: Охотник находится в домике в начальный момент времени. И собака начинает бегать. След собака бежит от охотника до ох. домика. А чему это расстоние равно в начальный момент времени? Нулю, следовательно:

Я беру другу отправную точку. Некий момент t1, когда собака с охотником встретились последний раз и далее отсчитываю время назад. t2 это момент их предпоследней встречи и так далее. В итоге имея систему из двух уравнений мы можем выразить все tn через t1 и получаем сходящийся числовой ряд. Только вот я не могу найти, какой именно вид будет иметь этот ряд, потому что не могу через эти tn выразить положение собаки в выбранный момент времени. Могу только пройденной ей расстояние выразить, а это немного бессмысленно. Оно и так известно.

На одной из итераций собака, вернувшись к хозяину, увидит, что дом уже рядом, поймет, что ещё одна такая пробежка — и её туда не пустят, поэтому перестанет маяться дурью и пойдет вместе с охотником. Поэтому ответ: дома и не будет никуда бежать)

Берём произвольную точку между охотничьим домиком и домом, доказываем, что она является решением, обратив время вспять: охотник идёт 1 км от дома до охотничьего домика вперёд спиной, собака за это время мотает 4 км между ним и охотничьим домиком. При любом начальном положении собаки между охотником и охотничьим домиком она окажется у домика одновременно с охотником - начальное условие нашей задачи.

>При любом начальном положении собаки между охотником и охотничьим домиком она окажется у домика одновременно с охотником

Почему?

А куда ж она денется с подводной лодки-то, если она всегда между двумя точками, которые сливаются в одну

Читай условие, блин. Сто раз сказали - она бегает по увеличивающемуся отрезку.

> Читай условие, блин. Сто раз сказали - она бегает по увеличивающемуся отрезку.

А теперь сам внимательно прочитай то, что он говорит об обращении времени;)

Да, мой фейл. Тогда он использует неопределённость ноль-бесконечность в начале исходной задачи.

Экспериментально еще не пробовали решать? Аутсэйшен на стадионе. Один участник бодрым шагом идет километр пути. Второй участник крутится на месте, ловя себя за хвост, и как только идущий делает шаг — срывается с места и как угорелый начинает носиться к нему и обратно к начальной точке. Остальные делают замеры с секундомерами и ловят показания спидометра одного и другого, внося коррективы, чтобы скорости соответствовали условию задачи.

Мне вообще сложно представить, как такую чисто математическую задачу можно решать практическим методом. Как вы себе представляете первую секунду эксперимента. Для сведения, за эту первую секунду охотник уйдет от домика на расстояние 138 см, а собака успеет совершить бесконечное количество разворотов. Тем не менее, задача выглядит так, будто у нее есть разумное решение.

Собака, кстати, за ту же секунду успеет пройти аж 550 см пути. :)

А выйди охотник или собака всего на секундочку раньше другого, и всё было бы легко и просто

> Собака, кстати, за ту же секунду успеет пройти аж 550 см пути. :)

Имхо, эта задача не из тех для которых стоит производить дискретизацию времени. Тут надо искать решения в непрерывном времени, в этом вся соль))

Если бы все было так просто. Но функция, олицетворяющая местоположение собаки не такая уж гладкая, чтоб пытаться использовать методы для непрерывных функций. Формально, функция непрерывная, но с множеством особенностей. К тому же вид самой функции является загадкой, которую и надо решить.

Мое мнение: это задача на сходимость рядов. Надо только правильно формализовать условия и сделать выводы.

Почему не гладкая?

> не такая уж гладкая, чтоб пытаться использовать методы для непрерывных функций

это сильно сказано :)

>Но функция, олицетворяющая местоположение собаки не такая уж гладкая

Можно рассмотреть функцию f(x), где x — начальное смещение охотника, а f — конечное положение собаки.

Почему не гладкая?

Ломаная кривая стала вдруг гладкой функцией? Ее производная резко меняет не то, что знак, значение резко меняет в точках встречи с охотником и у охотничьего домика.

Можно рассмотреть функцию f(x), где x — начальное смещение охотника, а f — конечное положение собаки.

А решением будет взятие этой функции в точке 0? f(0) решение? А как выглядит f(x)? Или я совсем не понял вашу мысль.

Да, знак меняется... А значение почему меняется?

Я понимаю, звучит глупо, но я уже пытался обратиться к интегральному исчислению и потерпел фиаско уже на этапе формулировки задачи. Там всюду нужны гладкие функции.

Если забыть на секунду, что собака бесконечное количество раз сбегала туда-сюад к моменту времени t0 (находимся у домика), то положение собаки на пути до охотника можно выразить формулой s = t*v, где t время в пути, v - скорость собаки = 20 км/час, а s - расстояние от охотничьего домика. Легко заметить, что производная этой функции будет равна v=20, а графически она будет изображаться отрезком прямой под некоторым углом к оси времени.

Так же легко найти, что обратный путь собаки от охотника до домика будет выражаться формулой s=-t*v и ее производная будет равна -v=-20. Кажется это разрыв. Конечно, на самом деле формулы совсем другие, но график функции остается прежним и по нему видно, что производная в точках поворота функции имеет разрыв. Точнее так. Производная этой функци представляет из себя систему перемежающихся отрезков выше и ниже оси времени, причем длина этих отрезков с увеличением времени растет, а при стремлении t к 0 и длина отрезков стремится к 0.

так интегралам гладкость не нужна, им нужна почти всюду непрерывность, и тут у функции скорости она есть

правда я пока не очень понимаю как вы её собираетесь формулировать

не проще картинку нарисовать?
http://itmages.com/image/view/196329/701d7924

Но значения-то отрезков, по модулю, не меняются. А так да, производная скачет.

>>пытался обратиться к интегральному исчислению. Там всюду нужны гладкие функции.

Что это за бред такой. Для интегрируемости непрерывности не надобно особо, любая функция, непрерывная на отрезке, за исключением, быть может, множества точек меры нуль - является интегрируемой.

Да и непрерывность кажется не строго обязательна.

Возможно я ошибаюсь. Я пытался использовать формулу для вычисления длины кривой, но сейчас вижу, что она вообще тут неприменима. Ведь надо измерять не длину кривой, а сумму длин проекций кривой на ось расстояний. Просто щупал почву.

Спасибо за рисунок. В принципе на бумажке все нарисовано давно, но может кому еще не понятно, о чем идет речь.

Вопрос не в том, реально ли взять интеграл от функции, а в том, имеет ли это смысл, если функция не гладкая. Впрочем, уже не важно.

так если все нарисовано, что вы пытаетесь сосчитать?

у этой ломаной нет значения в точке 0, так как нет предела, так как нет длины, она неограниченной вариации

значит её нельзя задать значением в нуле, значит задача не имеет решения

Интеграл Лебега кажется можно брать даже на разрывных функциях.

Это было всего лишь одно из многочисленных достаточных условий интегрируемости. Есть ли теоремы, где в какой-то форме непрерывность фигурирует необходимым условием - не в курсе. В основном там речь об ограниченности.

Если не брать хитрые инегралы Лебега, то, очевидно, можно напридумывать кучу неинтегрируемых разрывных функций, начиная с того же Дирихле.

С чего ты взял, что нет значения в точке 0? В точке ноль функция равна 0. Точнее так: функцию можно доопределить в точке 0 взяв предел функции при стремлении t к нулю. Вообще, если присмотреться, то длина всей ломаной конечна, потому что ее проекция на ось расстояний имеет вид вложенных отрезков, длина которых стремится к 0. Так что формально все ОК и решение стоит искать.

Совсем другое дело будет, если кому-нибудь удастся доказать, что эту кривую можно будет построить с произвольной точкой касания с прямой охотника. Конечно при этом придется учитывать, что длина кривой должна всегда оставаться постоянной. Может меняться только положение точек экстремума. Но я в этом очень сильно сомневаюсь.

наврала, да :)

>>так как нет длины, так как нет длины, она неограниченной вариации

Да есть у нее длина, и спрямляемая она, и вариация ограничена. И предел есть и равен нулю.

Ничего себе кажется. Он под них и создавался.

Я просто не изучал его плотно, только читая википедию самостоятельно, поэтому сформировалось только понимание «кажется, это для кусочно-непрерывных областей».

Да он вроде не такой и хитрый, но я всё равно уже разучился читать и понимать eps-delta определения...

>если присмотреться, то длина всей ломаной конечна

А ведь действительно конечна. А здравый смысл говорит, что в момент t=0 собака сдохнет от усталости...

>>«кажется, это для кусочно-непрерывных областей».

Расформируй его, так как всюду разрывный Дирихле прекрасно интегрируется по Лебегу и дает нуль.

Дирихле я вообще с трудом в голове умещаю, если честно.

Так у этой функции существует превосходная геометрическая аналогия.

Берешь бесконечную палку, прибиваешь гвоздем к точке {0,1} и начинаешь крутить от 0 до pi. С осью x палка в некой точке, эту точку и тягаешь.

Сверху у тебя целочисленная сетка буйков в точках {M,N}. Если палка пронзает хотя бы один буек - то ставишь соответствующей точке «1», если нет - то ставишь «0».

С таким образом видны все симметрии и куча свойств.

правильно так:
существуют юесконечно много ломаных на данном отрезке, с одним и тем же углом наклона и с одним и тем же пределом в нуле

соответственно значение в нуле никак не определяет значения в конечной точке

Забавно. Взял уравнение «похожей» кривой для выражения положения собаки на отрезке от охитничьего домика до охотника:

f[x_] := 5 * x * Abs[Sin[a/x]]

, где a - произвольная константа. Меняя ее можно построить график разной плотности и соответственно будет разная длина кривой графика функции на отрезке [0,1]. Загнал это все в Математику и попытался решить задачу подбором приближенно. Но вот незадача, Математика не смогла вычислить интеграл вида:

NItegrate[Sqrt[1 + (f'[x])^2], {x, 0, 1}]

И даже если брать этот интеграл на отрезке [0.6,1], все равно Математика выдает какую-то ошибку:

«The integrand <тут записана длинная формула> has evaluated to non-numerical values for all sampling points in the region with boundaries {{0.612134,0.63662}}.»

Это просто финиш какой-то. Можно конечно поднапрячься и построить правильную функцию, определенную как система функций с условиями, но уже тупо лень.

Рядом с охотником сидеть и вилять хвостиком )

А она умеет вычислять интегралы от функций с параметром? Может в этом дело?

Там нет функции с параметром. Параметр я задаю числом. Конкретно, в момент затыка стояло a=50.