Занимательная математика...

Производная f(x)=x^x должно быть 2*x.

2x это разве не производная x^2? Там же x'=nx^(n-1)...

>Как решить вот такое - ln(x)=exp(x)? Не перебором на компе, а "по уму"? Просто не понимаю к чему одному можно привести и степень, и логарифм... :(

Попробуй разложить в ряд Тейлора и левую, и правую части..

>И второе - какая производная у f(x)=x^x? Оно же одновременно и показательная, и степеннАя - непонятно что с ним делать и как вообще считать...

dy/dx = x^{x} * (lnx + 1)

>Попробуй разложить в ряд Тейлора и левую, и правую части..

Или графически... тогда решений нет

> Как решить вот такое - ln(x)=exp(x)? Не перебором на компе, а "по уму"? Просто не понимаю к чему одному можно привести и степень, и логарифм... :(

Графическим методом.

> Оно же одновременно и показательная, и степеннАя - непонятно что с ним делать и как вообще считать...

Слушай, выбрось математику нафиг, переходи на факультет лингвистики. Ладно, спросить как задача решается, но обозвать x^x показательной или степенной функцией это позор. Все равно, что уравнение 2=5 обозвать квадратным.

Решается задача просто: x^x=e^(x*ln(x)). Между прочим, эта задача баян.

> Попробуй разложить в ряд Тейлора и левую, и правую части..

Девушку себе заведи, а то скоро начнешь 2+2 средствами функана считать, такими-то темпами.

Ну а как тогда обозвать x^x? Или x^x^x......^x? Нам такого не объясняли.

> Или графически... тогда решений нет

То что графическим решений нет, это я и сам уже видел. Решение-то как писать? "Решается только графически, решений нет" чтоли?

Для бОльшей наглядности построй график и напиши "решений нет".

Тебе ход рассуждений нужен? Ну, хотя бы вот так: e^x>0 при любом x, ln(x)<0 при 0<x<1 => e^x>ln(x) при x<1 - на отрезке (-inf;1] решений нет. d(e^x)/dx=e^x, d(ln(x))/dx=1/x, e^x>1/x на [1;inf) => e^x возрастает быстрее, чем ln(x) на [1;inf) и ln(1)<e^1 => решений и на [1;inf) нет

О, спасибо, то что надо. Теперь осталось выяснить как же называть x^x, если оно не степенное, и не показательное. :)

Как-то мне попалась популярно-переводная книжонка по этикету. Там все вина делились на французские и немецкие. Как следует сервировать молдавское я оттуда не узнал..

Ростислав

x^x - классический пример, даваемый на матанализе. Пример того, что не всё так просто ;-)
Вот какое решение даётся в справочнике Выгодского. Раздел, кстати, - "Функции нескольких аргументов". Обозначу букву дэ частной производной через д.
Найти дифференциал функции u=x^x.
Решение. Ищем d(y^z) (y и z - независимые переменные), для чего предварительно находим частные производные. Затем полагаем y=x, z=x:
d(y^z) = (дu/дy)dy + (дu/дz)dz = z(y^(z-1)) + (y^z)ln(y)dz,
d(x^x) = xx^(x-1)dx + (x^x)ln(x)dx = (x^x)(1+ln(x))dx.

Спасибо за объяснение. Пример может и классический, но нам его не давали, и в учебнике его не было. На все просьбы препод ухмылялся типа "сам выведи, потом принесёшь покажешь" :)

Веселый у вас аднако препод, у нас по-стрнному очень редко чего дют такого, если не обьясняли )))

> На все просьбы препод ухмылялся типа "сам выведи, потом принесёшь покажешь" :)

А что сложно что-ли? "Это мы не проходили" можно говорить в школе, а не в институте, очень это гнилая отмазка.

Задачка на решение exp(x)=ln(x) совсем не сложная, надо доказать, что exp(x) всегда больше ln(x) на области (0,+бесконечность), а поскольку на этой области и функции и их производные существуют и монотонны, то очевидно достаточно показать, что при х стремящемся к нулю exp(x)>ln(x) и в то же время производные: exp(x) > 1/x также.

Производная функции x^x вычисляется элементарно, если представить её как exp(x*ln(x)) или производные сложных функций считать тоже не учили?

> Теперь осталось выяснить как же называть x^x, если оно не степенное, и не показательное. :)

sin тоже не степенная и не показательная функция. Может перестанешь позориться?

По определению, показательная функция, это функция вида f(x)=a^x, где a -- константа отличная от нуля (в некоторой литературе также предполагается отличной от 1).

Показательная функция -- это функция вида f(x)=x^a, где a -- константа.

Теперь ткни меня носом, каким образом функция x^x может удовлетворять этим определениям?

> у вас аднако препод, у нас по-стрнному очень редко чего дют такого, если не обьясняли )))

Привыкли задачи по шаблону решать? Шаг вправо, шаг влево и мозг протестует?

> Задачка на решение exp(x)=ln(x) совсем не сложная, надо доказать, что exp(x) всегда больше ln(x) на области (0,+бесконечность), а поскольку на этой области и функции и их производные существуют и монотонны, то очевидно достаточно показать, что при х стремящемся к нулю exp(x)>ln(x) и в то же время производные: exp(x) > 1/x также.

Имхо, красивее всего показать, что exp(x) больше равно x, так как y=x -- касательная для экспоненты, а экспонента функция выпуклая вниз, поэтому график ее лежит выше любой касательной. ln(x)<=x, так как график обратной функции симметричен, относительно прямой y=x, то есть график логарифма лежит ниже y=x. Очевидно, что точки касания различны. Следственно, для всех положительных x exp(x)>ln(x). Это я и подразумевал под графическим способом.

Что-то инкогнито ошибился... Утверждение "exp(x) > 1/x на интервале (0,+бесконечность)" не верно.

Лучше сказать, что на (0,1] exp(x)>0, а ln(x) <= 0. А уж от единицы считать производные.

Ростислав

> Как следует сервировать молдавское я оттуда не узнал..

Если автор француз, то скорее всего, для него все не французские вины -- немецкие.

> Что-то инкогнито ошибился... Утверждение "exp(x) > 1/x на интервале (0,+бесконечность)" не верно.

> Лучше сказать, что на (0,1] exp(x)>0, а ln(x) <= 0. А уж от единицы считать производные.

Извиняюсь за невнимательность. Но смысл замены сравнения функций сравнением производных всё-равно остаётся, но используется, как ты и сказал с отрезка [1, +бесконечность)

> Если автор француз, то скорее всего, для него все не французские вины -- немецкие.

Автор такой книги, наверняка употреблял заглавные напитки, а как известно такое действие очень отрицательно сказывается на мозговой деятельности, поэтому такого рода логические неувязки естественны :)

> Производная функции x^x вычисляется элементарно,
> если представить её как exp(x*ln(x))...
Это надодогадаться. Догадка не всегда может прийти вот прямо так из ничего, особенно если нет опыта.

>> у вас аднако препод, у нас по-стрнному очень редко чего дют такого,
>> если не обьясняли )))
> Привыкли задачи по шаблону решать? Шаг вправо, шаг влево и мозг
> протестует?
Переведу в рекомендацию. Не смотрите только в лекции. Не смотрите только в одну книгу. Научитесь находить и использовать [дополнительные] источники информации.