[физика] мультиполь, ряд Тейлора

Погоди, а разве это не следует из «хорошести» функции?

не, конечно у неё есть дырка в r_0, но мы же раскладываем в окрестности бесконечности, и в неё эта r_0 не попадает.

Погоди, а разве это не следует из «хорошести» функции?

нет. Возьми хоть разложение для sin(x). Радиус сходимости там <1.

не, конечно у неё есть дырка в r_0, но мы же раскладываем в окрестности бесконечности, и в неё эта r_0 не попадает.

мы раскладываем по переменной r₀ в точке r₀=0.

а так ли уж сложно посчитать d^n ((r-r0)^(-1))/dr_0^n?

Я конечно не против матана на ЛОРе, но ты по-моему уже увлекся. Может пора уже найти более подходящее место для таких вопросов?

А по теме: разве у всех степенных рядов не общее доказательство сходимости? Это уже давно было, я забыл конечно, но вроде бы оно было довольно легкое.

что-то типа n!/(r-r_0)^(n+1)

Дело сводится к нахождению радиуса сходимости

а так ли уж сложно посчитать d^n ((r-r0)^(-1))/dr_0^n?

в случае размерности пространства >1 очень сложно, насколько я вижу.

Я конечно не против матана на ЛОРе, но ты по-моему уже увлекся. Может пора уже найти более подходящее место для таких вопросов?

на dxdy я вроде зарегался, но и на ЛОРе достаточно шарящих. Не все же нацпол обсуждать. Да и тем более кроме меня тут особо в последнее время никто матан не постит.

А по теме: разве у всех степенных рядов не общее доказательство сходимости? Это уже давно было, я забыл конечно, но вроде бы оно было довольно легкое.

ну надо радиус сходимости найти. А в данном случае это нетривиально.

так а если взять сферические координаты?

хотя там ряд Тейлора как-то криво выглядит, да.

Это напомнило мне. Когда мы этим занимались уже не помню на каком курсе, мы в жизни не считали поля тейлором. Мы всегда использовали сферические гармоники, или полиномы лежандра (ежели 2D).

Почему вдруг тейлор? Он совершенно для этого не предназначен.

Вот такой вариант --- ты делишь область изменения r на два интервала (0, r_0) и (r_0, \infty). В первом, внутреннем, кольце получается разложение по степеням (r / r_0), при r_0 > r. Во втором, внешнем, кольце получается разложение по степеням (r_0 / r). В обоих кольцах у тебя выполняется условие Коши и ряды сходятся.

Хм. Сферические функции описывают зависимость по угловым координатам. ОП анализирует радиальную зависимость.

>Почему вдруг тейлор? Он совершенно для этого не предназначен.

Ваш метод? Как получить поле диполя например?

Если я не ошибаюсь, то разложение должно быть не в ряд Тейлора, а всё таки в ряд Лорана --- характер изменения поля описывается всё-таки обратными степенями r, они, в конце концов, должны убывать на бесконечности.

Это напомнило мне. Когда мы этим занимались уже не помню на каком курсе, мы в жизни не считали поля тейлором. Мы всегда использовали сферические гармоники, или полиномы лежандра (ежели 2D).

Почему вдруг тейлор? Он совершенно для этого не предназначен.

меня не счет интересует, а теоретическая обоснованность почленного интегрирования, которое возможно только если ряд сходится.

Мои конспекты давно потерялись, а книги сданы в библиотеку. Все что у меня есть на руках - это интернет и немного времени, поэтому все что я пока нарыл - это вот: http://en.wikipedia.org/wiki/Multipole_expansion

Вполне возможно я не прав, но только я точно помню что мы на семинарах решали задачи именно сфер. гармониками. Какой инструмент использовать для решения задачи каждый решает для себя сам, правильно?

Если я не ошибаюсь, то разложение должно быть не в ряд Тейлора, а всё таки в ряд Лорана

ряд Лорана - это тот же ряд Тейлора, только для комплексных чисел, афаик.

Вполне возможно я не прав, но только я точно помню что мы на семинарах решали задачи именно сфер. гармониками. Какой инструмент использовать для решения задачи каждый решает для себя сам, правильно?

все так и есть. Но с ними в общем-то возникает тот же вопрос.

Ряд Лорана включает разложение по степеням меньше нуля.

по-моему, в этой задаче обычно сферические функции используют и раскладывают 1/|Ro-r| через присоединенные полиномы Лежандра.

может и проще можно, не помню.

ну ряд Лорана взять, будет + пара членов :)

ошибаешься, это расширение ряда тейлора на функции с сингулярностями.

Мда... вспоминается история, как Лифшиц обсуждал с одним крупным математиком какую то задачу. Пока математик пытался сообразить дифференцируема ли ф-я, сходится ли ряд, единственно ли будет решение и проч., Лифшиц разложил ф-ю до первого значащего члена и получил вполне разумный ответ. Мораль - строгая математика конечно хорошо... но банальный здравый смысл зачастую гораздо лучше.

Кроме того, в физике есть довольно много примеров, когда нестрогие (и при ближайшем рассмотрении просто неверные) математические преобразования дают вполне верный с физ .т.з. ответ. Например затухание Ландау в плазме...

да вообще почти вся квантовая физика с расходящимися рядами если их считать до конца :)

А в физкинетике интегралы расходятся нафик, поскольку потенциалы межчастичного взаимодействия расходятся при r->0. Ниче, обрезают и даже получают вполне разумные вещи, вплоть до у-й гидродинамики со вполне реальной вязкостью.

ну если я правильно понимаю, то r->0 не бывает т.к. в данном приближении частицу нельзя считать мат точкой и тогда она или имеет некий объём (классическое приближение) или нужно рассматривать квантовое приближение, в любом случае потенциал расходиться не будет. Ну и соотв этот потенциал можно оценить и нафиг обрезать или заменить адекватной величиной.

r - это межчастичное расстояние, и при r->0 ес-но энергия взаимодействия улетает в бесконечность, в т.ч. и кулоновского. Так что на пальцах из общих соображений оценить ничего не получается...

Есть идея, что ты не до конца понимаешь, как «работает» мультипольное разложение.

Мы разлагаем 1/r12 в ряд по полиномам Лежандра

        /
1/r12 = |1/r1 \sum_{n = 0} Pn(cos\theta) (r2/r1)^n, если r1> r2
        |1/r2 \sum_{n = 0} Pn(cos\theta) (r1/r2)^n, если r2> r1
        \

Этот ряд сходится как геометрическая прогрессия, если система зарядов конечна в пространстве, что означает, что все моменты \int \phi(r) Pn(cos\theta) r^n \drd\Omega ограничены M^n. Тогда при R > M (R — большее из расстояний) мультипольное разложение сходится. В остальных случаях оно асимптотическое.

Фактически, мультипольное разложение *всегда* сходится асимптотически в квантовой механике, потому что в ней все системы зарядов делокализованы.

Я уж забыл эту кухню... с т.з. здравого смыслу для сист из N точечных зарядов N-й член разложения должен быть последним ненулевым;-)

Я конечно не против матана на ЛОРе

Вспомните, что говорила нам матан капча. Давно пора вводить матан капчу на ЛОРе на каждый пост.

улетает если они мат точки, если «радиус частицы» равен r0, а заряд например равномерно распределен, то уже ничего не улетает, т.к. приблизиться больше, чем на 2r0 они не могут, и можно смело обрезать т.к. потенциал взаимодействия на таком расстоянии легко вычисляем и конечен, но естественно это весьма смелое приближение, хотя работать будет.

Есть идея, что ты не до конца понимаешь, как «работает» мультипольное разложение.

Мы разлагаем 1/r12 в ряд по полиномам Лежандра

я до полиномов Лежандра еще не дочитал. решил остановиться на более простом «выводе». Он пляшет от интеграла \Phi(r₀)=int(\ro(r)/|r-r₀|, V). Ну и чтобы приблизить интеграл, разлагаем 1/|r-r₀| в ряд Тейлора по r₀. А потом интегрируем почленно.

Вот у меня на этом этапе и возник вопрос насчет сходимости.

До Лежандра еще не дошел.

Мораль - строгая математика конечно хорошо... но банальный здравый смысл зачастую гораздо лучше.

Здравый смысл, конечно, хорошо. Но хочется все таки точных высказываний. Наавось хорошо, лишь когда прикидываешь.

А на настоящий момент мне интересно рассматривать физику не просто как набор формул, а так же и с точки зрения математики.

Кроме того, в физике есть довольно много примеров, когда нестрогие (и при ближайшем рассмотрении просто неверные) математические преобразования дают вполне верный с физ .т.з. ответ. Например затухание Ландау в плазме...

Это меня кстати бесит конкретно так. Физики в основной своей массе математические неряхи.

Он пляшет от интеграла \Phi(r₀)=int(\ro(r)/|r-r₀|, V). Ну и чтобы приблизить интеграл, разлагаем 1/|r-r₀| в ряд Тейлора по r

Вот у меня на этом этапе и возник вопрос насчет сходимости.

Обычный степенной ряд \sum An r^n, критерий сходимости ∃ M, such that \int rho(r) r^n \dr < M^n.

Матан головного мозга. Я не против математики, даже не против таких математических упражнений, но польза от них для нематематика сомнительна. За физиков не знаю, но если бы ты посмотрел какие-нибудь инженерные расёты, наверняка пришёл бы в ужас. Математическое неряшество не долно бесить, если оно применяется за рамками собственно математики. Если не веришь, можешь почитать следующую книги вполне себе математиков: И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики

Это меня кстати бесит конкретно так. Физики в основной своей массе математические неряхи.

As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality.

Задумайся вот над какой мыслью: идеально точным может быть только дедуктивное знание, однако дедукцией невозможно вывести ничего нового как раз потому, что в логически выведенных законах содержания не больше, чем в исходных посылках. Искусство делания физики состоит в том, как сломать дедукцию так, чтобы получить содержательное знание или модель, но при этом не потеряв остальной строгости (т.е. не впасть в маразм).

Вот у меня на этом этапе и возник вопрос насчет сходимости.

Обычный степенной ряд \sum An r^n, критерий сходимости ∃ M, such that \int rho(r) r^n \dr < M^n.

Это как вообще o_O

возьми An=1 r=1, M=2. Тогда данный критерий выполняется, но ряд очевидно не сходися.

Математическое неряшество не долно бесить, если оно применяется за рамками собственно математики. Если не веришь, можешь почитать следующую книги вполне себе математиков: И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики

Ну нельзя же, к примеру, просто так от фонаря брать и дифференцировать бесконечный ряд, если даже не знаешь сходится ли он. Или предел под интеграл вносить.

Таких подводный камней тучи. И можно напороться на серьезные ошибки в рассчетах, если постоянно пренебрегать точностями.

Задумайся вот над какой мыслью: идеально точным может быть только дедуктивное знание, однако дедукцией невозможно вывести ничего нового как раз потому, что в логически выведенных законах содержания не больше, чем в исходных посылках. Искусство делания физики состоит в том, как сломать дедукцию так, чтобы получить содержательное знание или модель, но при этом не потеряв остальной строгости (т.е. не впасть в маразм).

Хм. В этом что-то есть.

Ну да, херню написал, пардон, факториал в знаменателе забыл.

Таких подводный камней тучи. И можно напороться на серьезные ошибки в рассчетах, если постоянно пренебрегать точностями.

К твоему сведению, предположение каких-либо свойств тех или иных рядов является содержанием целых физических теорий. Например, вся теория поля строится на аналитичности разложений по постоянной связи, причем все ряды, которые там возникают чаще всего расходящиеся, хотя представляемая ими функция предполагается аналитической (т.е. ряды рассматриваются вне круга сходимости).

Ну да, херню написал, пардон, факториал в знаменателе забыл.

вообще-то там ни так, ни так не лезет.

Критерий сходимости исключительно исходя из An можно сделать.

Но я походу вроде вкурил сабж. Радиус сходимости бесконечен, ибо навскидку степень падает с каждый членом на 2. Ну и значит если мы возьмем критерий да'Ламбера, то получим convergence_radius=lim(r^n/r^(2+n), n->inf) = inf.

херню написл, есессно

convergence_radius ~ r^2.

Можно и напороться, иногда и напарываются. Для математики наибольший интерес представляют нетипичные случаи, но они то как раз в реальных задачах встречаются редко. И если для математики вопросы существования и сходимости представляют самостоятельныйй интерес, то для ижнереов, например, это вопрос второстепенный, и в большинстве случаев ничего не доказывают, а, например, численными методами находят это самое решение, а о его существовании задумываются лишь в случае возникновения на этом этапе проблем. Плюс во многих случаях проводятс испытания, на которых всё становится ясно. Вот честно, ни разу не имел дело с ДУ с несуществующим решением. Было пару случаев, когда решения существовали лишь на некотором ограниченном интервале, но на самом деле за этими границами модель была неадекватна и её уточняли. Математическая нестрогость в приложениях возникает не от ограниченного ума прикладников, а как наиболее оптимальный способ расчётов. В общем стоит воспринять это как факт, каждый занимается своим делом

Я в таких случаях вспоминаю асимптотическую теория погранслоя. Там, по-моему, только несколькими первыми членами ограничиваются. Берёшь больше, и решение начинает рушиться. Или ещё как-то в физике встречался с интегралом от sin(x) от -inf до +inf.

Радиус сходимости бесконечен, ибо навскидку степень падает с каждый членом на 2.

Ати-тя! Не забывай, что в числителе у тебя стоят мультипольные моменты, скорость изменения которых зависит от плотности зарядов системы и, строго говоря, от углов.