Разложение в ряд Фурье

int_{-Pi}^{Pi} f(x) sin(nx) dx

Пардон, cos(nx), конечно

т.е. int_{-Pi}^{Pi} cos(nx) dx

Мне бы конкретно для функции из примера. Как в общем случае вычисляются коэффициенты я знаю.

Я тебе дал ответ! Ты не можешь вычислить интеграл от косинуса?!

Функция отлична от нуля только на промежутке от -a до a и равна 1. поэтому интеграл int_{-Pi}^{Pi} f(x) cos(nx) dx = int_{-a}^{a} 1*cos(nx) dx

В этом затык?

если не можешь вычислить интеграл, разбей его на промежутки, в которых f(x) определена «однозначно» (то есть без большой скобочки с уловиями).

sin(nx)/n если память не подводит.

Разложение в ряд Фурье
Читал сегодня книгу «Основы теории вейвлетов

/0

sin(nx)/n если память не подводит.

Напоминаю, что интеграл у тебя определенный — от -Pi до Pi, потому что только на этом отрезке функция ненулевая

Затык начинается раньше - совсем туплю и не понимаю как будет выглядеть подынтегральное выражение данной функции. В памяти есть остатки воспоминаний, как это выглядит если переменная x ограничена какими-то значениями. Меня переменная a с толку сбивает.

Интегрируй по частям, будь плохим парнем.

Начерта?!! Здесь табличный интеграл.

не понимаю как будет выглядеть подынтегральное выражение данной функции

Разобьем отрезок интегрирования -Pi до Pi на три промежутка int_{-Pi}^{Pi} f(x) cos(nx) dx = int_{-Pi}^{-a} f(x) cos(nx) dx + int_{-a}^{a} f(x) cos(nx) dx + int_{a}^{Pi} f(x) cos(nx) dx. Это понятно? Рассмотрим к примеру первый интеграл: в нем переменная x меняется от -Pi до -a. Смотрим по условию функция f(x) на этом промежутке =0. Это понятно? Значит первый интеграл (так же как и третий) int_{-Pi}^{-a} 0* cos(nx) dx =0

Если не силен в матане, то читай спец.литературу. Демидовича, если практика нужна.

Собственно, тебе уже всё объяснили как надо.

Вот теперь понятно.

Я из-за чего тупил. Думал переменная a ограничена Pi и x. И не знал, что с этой а делать. На деле x ограничена а, которая в свою очередь ограничена Pi. Правда не понимаю, что сразу мешало написать, что x сверху ограничена значением Pi.

Всем спасибо.

Матан нам закончили читать три года назад на втором курсе. С тех пор редко за него брался в чистом виде. Сейчас захотелось покрутить вейвлеты и, видимо, придётся освежать знания.

Затык начинается раньше - совсем туплю и не понимаю как будет выглядеть подынтегральное

разбиваешь интервал [-pi; pi] на интервалы [-pi;-a],[-a;a],[a;pi]

int(f(x)cos(x),x=-pi..pi)=int(1*cos(x),x=-a..a)+int(0*cos(x),x=-pi..-a)+int(0*cos(x),x=a..pi)

вторые два интеграла равны нулю, а первый посчитать непредставляет трудностей. С другим интегралом (там где sin под ним) — точно так же, не парься пока с четностью-нечетностью. Потом сам увидишь и разберешься.

И попробуй разложить функцию попроще, чтобы не париться с кусочно-определенными функциями. Например функцию f(x)=x.

Матан нам закончили читать три года назад на втором курсе.

o_O Как ты его вообще сдал тогда?

Придется, да. Фурье - вообще штука нужная, в своё время одной из любимых тем было, вместе с частными производными.

Достаточным было выучить доказательства теорем, перечисленных в списке вопросов. Свои 4 балла на этом и получил.

Достаточным было выучить доказательства теорем, перечисленных в списке вопросов. Свои 4 балла на этом и получил.

То есть сдача экзамена сводилась к зубрежке теорем?

Не повезло вам там :(

Кстати, а что сейчас годнотой считается в качестве теории и практики? Демидович? Нам по Шипачеву читали лекции. Сам иногда Куранта листаю. Ну ни у того, ни у другого нет про преобразование Фурье. Помимо этого господин Смоленцев упоминает пространства L1(R) и L2(R), о которых я или ничего не помню (вероятнее всего), или ничего не знаю из-за отсутствия упоминания о них в курсе.

Плюсую :)

Мне, например, сейчас проще плясать от того, что преобразование Фурье это (2*pi)^(-1/2) <e^(iwx)|f>

Правда не понимаю, что сразу мешало написать, что x сверху ограничена значением Pi.

У вас проблемы не с рядами Фурье а с определением функции. x ограничена параметром «а»!. «a» - это параметр, иными словами функция зависит от переменной x и параметра «a». Это же так здорово, Вы решили один раз задачу для любого «a» (в пределах от - pi до pi), а на самом деле множество: нашли фурье образ функции f(x) которая отлична от нуля только на промежутке от - pi/2 до pi/2 или функции которая отлична от нуля только на промежутке от - pi/3 до pi/3. и так далее....

Это скобки Дирака так записаны? Тогда плюсую, самый удобный способ воспринимать разложения всякие.

а что там что то решает принципиально по какому базису разложение? ну кроме для совета по защитам :)

Если нужна общая теория разложений, то базис может быть даже не ортогональным (все равно в общей теории восстанавливать 1-в-1 никому не нужно)! А так — разница большая: вейвлеты ограничены в пространстве, а синусоиды/косинусоиды — нет.

Ага

Когда я попытался разобраться с вейвлетами, то долго не мог въехать, что это такое, и с чем их едят. Фурье - это очень просто, а вот вейвлеты - посложнее.

Как я понял, в вейвлетах главное - это базис, на который раскладывают. У фурье базис - это синусы/косинусы с различной длиной волны. Но можно выбрать и другой базис, и тогда разложение в этот базис будет обладать другими свойствами. Прикол в том, что выбор базиса - это большое шаманство, никак не формализованное. Второй момент, который я понял про вейвлеты - это то, что они определены на ограниченном промежутке. Фурье, заметим, работает на всей оси от минус бесконечности до плюс бесконечности, а не на каком-то определённом интервале. Если разложить в фурье какой-то отрезок сигнала, то на спектрограмме получится искажение в виде колокола - последствия обрезанности сигнала. В статье http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function расписывается стопицот способов обрезать сигнал, чтобы он был не бесконечным по времени, но и не сильно искажался. А всё из-за того, что у фурье базис - это бесконечные синусоиды разной длины волны. Вот у вейвлетов базисы такие хитрые, что они сами по себе конечные, из-за чего их удобно прикладывать к сигналам конечной длины.

С теорией всё более-менее можно понять, а вот вменяемого прикладного материала я найти не смог.

а почему тогда базис вообще не брать индивидуально для конкретного сигнала. например простой pca дает оптимальное ортогональное разложение для любого выбранного окна.

Действительно, есть проблема с пониманием: с Фурье все просто (обычные гармоники), а вот у вейвлет--разложения физического смысла почти нет (т.к. в реальной жизни ограниченные базисы есть разве что у волновых пакетов).

Прикол в том, что выбор базиса - это большое шаманство, никак не формализованное.

Если взглянуть на автокорреляционную функцию, можно прикинуть, какой базис выбрать. Но вообще, конечно, выбор базиса обычно действительно совершается «методом тыка».

вменяемого прикладного материала я найти не смог

Надо самому попробовать. Я когда-то, анализируя спектры, очень даже хорошо въехал в пользу вейвлетов. Пропиарюсь (стр. 51).

Ну так в вейвлетах обычно и выбирают конкретный базис для конкретного сигнала.

Если разложить в фурье какой-то отрезок сигнала, то на спектрограмме получится искажение в виде колокола - последствия обрезанности сигнала.

этот прикол проявляется не столько из-за обрезания сигнала, сколько из-за несовпадения дискретизации ДПФ со спектром сигнала.

Ну ни у того, ни у другого нет про преобразование Фурье. Помимо этого господин Смоленцев упоминает пространства L1(R) и L2(R), о которых я или ничего не помню (вероятнее всего), или ничего не знаю из-за отсутствия упоминания о них в курсе.

линейную алгебру помнишь? помнишь как раскладывается вектор s по ортонормированному базису? Проекции на каждый вектор-координату базиса - это просто скалярное произведение <s,базис-вектор> так и получишь координаты вектора в данном базисе.

Тут то же самое. Только у тебя не пространство обычных векторов, а пространство функций. А в качестве единичных векторов выступают функции exp(inx) (а синусы и косинусы вылазят лишь из формулы Эйлера, и даже для правильного восприятия дела мешают).

То есть по-аналогии: У тебя есть, допустим 100-мерное векторное пространство. В обычном базисе единичные вектора - это (1,0,0,....), (0,1,0,....),(0,0,1,....) и т.д.

А в пространстве функций вместо них исполняют роль:

exp(ix), exp(2ix), exp(3ix) и т.д.

Единственная существенная разница, что пространство функций бесконечномерно. То есть таких единичных векторов вида exp(inx) бесконечно много.

А вместо скалярного произведения выступает интеграл:

например

<f(x),exp(ix)> = int(f(x),Conjugate(exp(ix)),x=-pi..pi)

Интеграл - это в нектором роде бесконечная сумма по компонентам функции-вектора. То есть если ты представишь функция f(x) как таблично определенную: то есть каждому значению x соответствует значение y. И точно так же представишь функцию exp(ix), то скалярное произведение - это просто сумма по произведениям компонент, все как и в обычной геометрии. Ну а такая бесконечная сумма и есть интеграл :)

вот и получаешь таким образом с помощью интеграла коэффициенты разложения по базисным векторам пространства L²[-pi; pi]. Это пространство L² - пространство всех интегрируемых по Лебегу функций, определенных на промежутке [-pi; pi]. Если не хочешь париться с Лебегом, можешь считать, что это пространство всех обычных интегрируемых функций на [-pi; pi]. Все такие функции входят в L² (но припоминай, что кроме них туда так же входят и более странные функции :)

Получилась простыня, но я надеюсь, что она тебе поможет.

Кстати, а что сейчас годнотой считается в качестве теории и практики? Демидович? Нам по Шипачеву читали лекции. Сам иногда Куранта листаю.

в общем - учить ряды Фурье без понимания того, что же это _по-настоящему_ такое, то есть без понятия, что такое пространство функций, ортогональность, скалярное произведение, проекция — впустую потраченное время.

Можешь попробовать взять Бугрова, Высшая математика, 3-й том, параграф «Пространство функций со скаларным произведением» и начать читать именно оттуда. Постарайся к каждой формуле найти аналогии из линейной алгебры.

преобразование фурье на пальцах и с примерами надо искать в теории сигналов

Плюсую. Можно, например, Сергиенко почитать. А насчет 2D — Гонсалеса и Вудса.

Лорчую. Неплохо у Сато написано. Доступно для понимания даже на школьном уровне.