решение линейных уравнений с операторами в матрице

Верно ли хотя бы, что операторы действуют на конечномерных пространствах?

Пусть операторы, которые стоят в матрице — это a_ij. Верно ли, что они все — это решение одного и того же линейного уравнения?

Потому что если верно, то тогда в матрице записано тензорное произведение двух операторов, а его определитель считается элементарно...

Верно ли хотя бы, что операторы действуют на конечномерных пространствах?

нет. пространство гильбертово

Кваты такие кванты...
А можешь записать систему в максимально компактном виде? Операторами как-нибудь...

a = \sum_{n,s} \alpha^n \rho_{n,s} \x_s

Откройте уже для себя mathb.in

// Парсить это и думать пока лень

Или хотя бы сказать, что происходит с точк и зрения физики..

Это финиш, ребята. Отрендеренное, это выглядит хорошо, но пихать везде этот свой тех, это неправильно

С точки зрения физики происходит вот что:

Во-первых: у нас есть динамические переменные x и p.

Мы их разлагаем в ряд по \alpha из x_i и p_i. А затем мы немного переопределяем умножение рядов.

Во-вторых:

мы видим, что произвольная линейная комбинация из x_i и p_i во времени развивается неправильно - результаты разные в зависимости от метода счета.

потому возникает система уравнений, задающая независимость от метода счета.

Но очевидно (см уравнение, положив \rho дельта символом), что полные x и p при любом гамильтониане развиваются во времени правильно.

Дальше я говорю, что гамильтониан должен быть постоянен, а значит состоит из величин, правильно развивающихся во времени.

Тепеь я хочу найти такие комбинации a и b величин x_i и p_i, и составленный из них гамильтониан, чтобы они (а значит и гамильтониан) развивались правильно во времени.

большой проблемой является то, что при разложении x и p в ряды, мы получаем произвол в выборе коммутационных соотношений.

Еще один произвол сидит в выборе переопределения умножения.

Формулы не читал, но в чем может быть проблема? Алгоритмически реши систему ЛУ привычным методом, но если где-то возникает деление на оператор, то помни, что его может и не быть — эти случаи отработай отдельно.

Дело в том, что явно я эти операторы не знаю.

Дело в том, что явно я эти операторы не знаю.

Зачем явно? Реши символьно, но ветвись когда начинается деление на оператор. Если все будет обратимо, то решение естественно есть при точно таки же условиях, что и для обычной СЛУ.

Очевидно, оно будет сразу же, это деление. На неизвестный оператор, про который я знаю, что некая сумма этих операторов равна 0.

А зачем тебе координатная запись, если ты все равно конкретных координат не знаешь?

Можешь уравнение на \rho и условие на H записать в инвариантном виде?

Очевидно, оно будет сразу же, это деление. На неизвестный оператор, про который я знаю, что некая сумма этих операторов равна 0.

Тебя интересует только равенство 0, а не функции от этого оператора.

1. не ноль -> след. шаг очевиден

2. ноль -> а) можно на это забить и просто система лишается одного уравнения, б) нельзя на это забить, т.к. получается что-то типа A*0=2.

В итоге ты получаешь, что то типа система имеет решение, если определитель такой матрицы из операторов не ноль + все вот эти операторы обратимы ИЛИ определитель вот такой другой матрицы не ноль, вот этот оператор необратим, а вот эти операторы обратимы и т.д.

Можешь уравнение на \rho и условие на H записать в инвариантном виде?

потому что задача не инвариантна относительно изменений операторов. Результат зависит от того, как я их выберу.

Т.е. ты предлагаешь сперва устроить перебор всех возможных операторов, удовлетворяющих условию (а их континуум как минимум), а затем для каждого проверять, когда можно обращать, а когда нет?

Я предлагаю тупо воспользоваться теорией линейной алгебры (для этого она и нужна, для решения любых СЛУ в принципе лучше ничего быть не может) и отдельно отработать случаи, когда какие-то шаги некорректны.

Отрендеренное, это выглядит хорошо, но пихать везде этот свой тех, это неправильно

Читаешь и рендеришь в уме, сложно что ли

Какой такой определитель?
Они даже не коммутируют. Придётся думать про то, как модифицировать определение определителя.

поясню на примере:

p1 + p2 + p3 + p4 = 0
p1*x + p2*y = 0
p3*x + p4*y = 0

надо решить систему. p1..4 - операторы, x,y - числа.

Давай применим линал с первого курса к матрице из некоммутирующих операторов! Не важно, что ничего не выйдет, мы все равно загоним более сложную конструкцию в формулу, аботающую только для прстых конструкций...

Сложно

Что в данном случае неизвестные, а что — исходные данные?

Непонятно.

У тебя есть [x,p] - это скобка пуассона. И она допустим задана в координатах, и A фиксированы.

А какой алгебраический смысл у последнего уравнения? Что там было до записи в координатах, скобка чего с чем и к чему примененная?

Кстати надо бы замену \rho на (\rho-\delta) сделать, чтобы вид упростить.

все - неизвестные. 0 - исходное число.

Давай применим линал с первого курса к матрице из некоммутирующих операторов! Не важно, что ничего не выйдет, мы все равно загоним более сложную конструкцию в формулу, аботающую только для прстых конструкций...

Не тупи. Возьми стандартный алгоритм обращения матрицы, метод Гаусса, например. Некоммутативность не помешает. Под «определителем» я подразумевал ту хрень, которая получится в «знаменателе» слева.

Ейейей, мы не договаривались о нелинейных системах!

Это ты про то уравнение, которое длинное?

Смысл там такой:

найдем производную a по времени двумя разными путями - коммутацией с H и через производную x_i по времени, которая есть i-я компонента производной x по времени, которая есть i[H,x].

Не туплю.
Что будем делать, если _все_ элементы матрицы будут необратимыми операторами? Как же это мы метод Гаусса-то применим? Такое организовать очень легко, например, составить матрицу из операторов умножения на x^k и дифференцирования, действующих а пространстве бесконечно гладких функций.

ну как не договаривались. уравнения на x,y - линейные уравнения с параметрами p1..4.

эти параметры произвольные, но удовлетворяют неким соотношениям.

Все как в исходной задаче.

Всё, понял.

Что-то вроде [H,a]-i[H,x] =0 ?

То есть грубо говоря вопрос, имеет ли уравнение [H, smth]=0 решение кроме smth=0 ?

То есть грубо говоря вопрос, имеет ли уравнение [H, smth]=0 решение кроме smth=0 ?

Что-то здесь не так с этой интерпретацией. Последнее уравнение всегда будет иметь решение smth = H.

http://mathb.in/2601

Что будем делать, если _все_ элементы матрицы будут необратимыми операторами? Как же это мы метод Гаусса-то применим? Такое организовать очень легко, например, составить матрицу из операторов умножения на x^k и дифференцирования, действующих а пространстве бесконечно гладких функций.

Надо двигаться от простого к сложному постепенно получая формулы для все вариантов. Это крайний случай и он самый сложный. Тут придется разбивать на подпространства, где что-то обратимо а где нет (там оператор будет эквивалентен 0). И решение СЛУ будет собираться из решений в подпространствах... Если нужно универсальное решение, то другого пути в принципе нет. Другое дело если нужны какие-то частные случаи, для которых можно сделать какие-то удобные предположения и пр.пр.пр.

Что-то я не понимаю. Если мы приравняем первый ко второму, то получим: $([H,x])_n-[H, x_n]=0$

в котором \alpha и \rho вообще не играют роли, поскольку выносятся за скобки как коэффициэнты разложения по базису.

Пусть V_ij — подпространство, на котором обратим элемент a_ij нашей операторнозначной матрицы. Печаль в том, что сумма подпространств V_ij в интересном для наса случае может не дать всего пространства, где мы ищем решения.

Вообще операторно-значная матрица с коэффицентами числами - это как-то слишком сильно.

Даже если мы рассмотрим одно уравнение, как линейную комбинацию операторов с числовыми коэффициэнтами, то для наличия у него решения сами операторы должны быть очень специфическими.

Можно просто взять ортогональный базис из собственных векторов (а операторы там наверняка хорошие, самосопряженные и т.п.) и применить всю линейную комбинацию к каждому базисному элементу по очереди. Получить кучу уравнений на собственные значения.

нет

http://imageshack.us/photo/my-images/401/img2050z.jpg/