Как не давать пользователю запускать приложение 2-й раз?

Ничего не понятно.
Раз гейсбук то у них есть api для работы с пользователями. Если без акков, то можно попробовать evercookie.

Бить по рукам!

Ну или миллион методов, с сохранением факта запуска, как на стороне клиента, так и на стороне сервера.

Бить по рукам!

Точно. Тоже хотел предложить. Нужно, на самом деле, приставить рядом с пользователем - человека с палкой. Я нахожу этот способ самым эффективным.

А если человек с палкой будет хорошим, то и приложение никакое не понадобится. Профит во все поля.

Это вообще чего значит?

Я понял что тебе надо - чтобы в пределах 1го устройства сайт мог быть открыт только в одном экземпляре, при этом нужно учитывать все браузеры и прочий софт, который способен браузить веб.
Почему бы не реализовать в таком случае простую проверку - если пользователь залогинен, и таймаут активности не истёк - то логиниться не даёшь. Или в чем проблема?