А как 0 записать?

А никак. Разве что влепить специальный битик, который будет обозначать что это ноль.

Это называется «факторизация».

Можно вести счет от нуля с соглашением, что 0^0 = 1. Но костыль, да

Только вот простые числа растут медленней чем степени чего-то, поэтому у тебя уже 977 будет занимать дофига памяти.

Я знаю что такое факторизация. Только тут уже не совсем факторизация получается. В этой системе счисления можно представлять в том числе дробные числа 1/2 = {-1 0 0 0}, и всякие там неизвлекаемые корни, например sqrt(2) = {1/2 0 0 0}(для этого надо чтобы вектор мог хранить в себе рациональные числа)

Решается через https://ru.wikipedia.org/wiki/Разрежённый_массив

https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_арифметики

И что?

Так вот, наверняка я не первый, кто такое придумал. Как такая система счисления называется

Если ты не заметил, я предлагаю в качестве степеней простых чисел использовать в т.ч. отрицательные и дробные числа. Там речь идет только о натуральных степенях простых чисел

Значит теорема нарушается.

Теряется единственность. Будут 2 вектора, (0,1,...) и (log(3),0,...) определять одно и то же число. Ладно, R+ смоделируешь. Отрицательные числа по аналогичной причине нельзя (показательная функция для отрицательных чисел на R не определена). Придется залазить в C

это из серии алгоритма Эвклида - всякое число можно представить в виде комбинации произведения степеней простых чисел ...

В теореме, ссылку на которую ты дал, говорится о том, что таким способом можно представить только натуральные числа. Моим способом можно представлять еще рациональные (если допускать отрицательные в векторе) и всякие неизвлекаемые корни (если допускать дроби в векторе)

лучше придумать как несколькими числами записать произвольный ряд чисел ;)

Как выше заметили, это работает не для всех действительных чисел, не уверен насчёт всех алгебраических.

И, главное, одно число можно определить бесконечным количеством способов.

Потом, ты определил только для действительных чисел. Кури факториальные кольца.

Да, ты «придумал» факторизацию.

Насчет засовывания логарифмов в степени я как-то не думал. Представление рациональных чисел и неизвлекаемых корней получается вполне однозначным, если допускать в векторе степеней рациональные числа. Все множество иррациональных чисел так не представить, это очевидно

В итоге, разрешив все вопросы с однозначностью, вернешься к представлением N, что и есть вышеупомянутая теорема арифметики :)

Вышеупомянутая теорема арифметики позволяет представлять через себя только натуральные числа.

Я вообще хотел не обсуждение того, какие числа тут представимы или не представимы, а где подобная система счисления может эффективно использоваться и как в ней эффективно реализовать сложение и вычитание?

Сложения не будет - это группа по умножению исключительно. Ну а применение (с определенным извращением) - все, что завязано на факторизацию и простые числа, в т.ч. криптография.

Векторное пространство

Кстати, вместе с операцией сложения векторов (умножения представимых чисел) и существ. 0-вектора (единица) - вполне линейное пространство выходит.

Векторное пространство

Обратные элементы - 1/a, т.е. рациональные дроби. Теперь допускаю дроби, был неправ.

Я вообще хотел не обсуждение того, какие числа тут представимы или не представимы, а где подобная система счисления может эффективно использоваться и как в ней эффективно реализовать сложение и вычитание?

Ты поставил тег «математика».

А про эффективность, нету быстрого алгоритма разложения числа на простые множители, ЕМНИП. Ну и всё.

Думаю, тут может помочь какая-нибудь таблица поиска. А учитывая периодичность(самоподобность) этой таблицы поиска, можно придумать какой-нибудь эффективный метод ее сжатия и распаковки в рантайме

Я тут примерно прикинул в голове. Некоторые свойства числа можно определить. В частности, если мы складываем или вычитаем два числа и у них есть общие простые делители, то результат тоже будет иметь те общие простые делители. Если одно из чисел имеет какой-то простой делитель, другое не имеет, то получившееся число точно не будет иметь такой простой делитель. Если ни одно из чисел не имеет некоторого простого делителя, то получившееся число может иметь а может не иметь этот простой делитель. Это я без всяких доказательств, в голове прикинул. Доказывается вроде как достаточно просто, учитывая что числа, делящиеся на N повторяются на числовой прямой с периодом N, и при сложении или вычитании получившееся число может вписываться или не вписываться в этот период

Это уже кольцо вычетов будет (по модулю простого числа). А там и умножение, и вычитание/сложение. И группы Галуа (нек. расширение понятия кольца вычетов). Правда, там подобному векторному представлению числа не место. Мог накосячить, 2 часа ночи)

Это также будет включать переход в другую систему исчисления.

Ещё, про память. Любое простое число будет иметь вектор длинною с себя. Это плохо. Нет, не вижу преимуществ у такой системы.

нужно исходить из того, что само по себе число в виде натурального ряда 1 + N создает на каждом шаге потрясающие сущности, дающие намного больший суммарный эффект чем просто увеличение на единицу

Нет, в коде достаточно разреженного массива (выше ссылка была).

Причем тут другая система счисления? Узнать общие простые делители как раз можно в этой системе счисления

Насчет памяти я выше уже упоминал про https://ru.wikipedia.org/wiki/Разрежённый_массив

Похоже на каноническое разложение натурального числа.

Общие можно легко, прибавить остальные - нет.

algamest Про массив, не важно. Будет занимать минимум столько же памяти, сколько и в десятичной, для простых.

скорее это прогрессия, чем система счисления

Держите наркомана.

это называется факторизацией, а используется, к примеру, для длинной арифметики, в которой нет сложений-вычитаний и больших простых чисел.

Держите наркомана.

Не знаю в мой адрес, либо еще в чей, достопочтенный сударь данное высказывание, но скажу так, на всякий пожарный, это не система счисления, данное утверждение некорректно.

А что считать системой счисления? https://ru.wikipedia.org/wiki/Система_остаточных_классов это тоже не система счисления?

В твоей системе {10} = 2^10 - по какой системе счисления записано число 10?

Любое, скажем, вещественное число можно представить в виде произведения простых чисел в (пусть будет) рациональной степени. Уже похоже на формулу. Осталось причесать и доказать.

По ссылке модульная арифметика, и википедия врет.

Лови гумика.

системой счисления твое представление может называться в случае, если 2^10 = {2}{1,0,1}} будешь использовать только простые числа для представления всего множества чисел, при этом, для каждого простого числа нужен свой уникальный символ.

Только вот я не вижу простых путей делать сложение и вычитание чисел в такой системе счисления

sqrt(3) - sqrt(2) ты вообще так не запишешь

А запиши это в десятичной системе.

А запиши это в десятичной системе.

0.31783724519578205

теперь ты запиши в виде произведения степеней простых. ну, хотя бы с такой же точностью

В твоей системе {10} = 2^10 - по какой системе счисления записано число 10?

В моей системе счисления 10 это 2^1 * 5^1 т.е. {1,0,1,...}

Любое, скажем, вещественное число можно представить в виде произведения простых чисел в (пусть будет) рациональной степени.

Нет. Только некоторое подмножество чисел можно так представить. Такое представление позволяет например умножить sqrt(2) на sqrt(5) без каких-либо проблем с потерей точности. С обычной позиционной системой счисления такое перемножение привело бы к потере точности т.к. числа sqrt(2) и sqrt(5) там точно не представимы. Можно конечно извратиться и сделать систему символьных вычислений, которая бы хранила информацию что там квадратный кореть надо извлекать, но это уже точно не будет являться системой счисления.

То есть \sqrt3 - sqrt2 - это рациональная дробь.

Окей.

Перевернуть, факторизовать, записать вектор и все знаки поменять. Но еще раз, это группа только по умножению, сложения нету и не будет в ней

Да запросто

(%i5) solve(sqrt(3)-sqrt(2)=2^x,x);
                              log(sqrt(3) - sqrt(2))
(%o5)                    [x = ----------------------]
                                      log(2)
(%i6) float(%);
(%o6)                      [x = - 1.65363990062636]
(%i7) fullratsimp(%);

rat: replaced -1.65363990062636 by -74524725/45067082 = -1.65363990062635
                                      74524725
(%o7)                          [x = - --------]
                                      45067082

Эта штука, вообще говоря, не является системой счисления, потому что в ней нет единственности для не натуральных чисел (для натуральных однозначность факторизации гарантируется основной теоремой арифметики). Складывать или вычитать числа, записанные таким образом, у тебя в принципе не получится.

вектор

Зуб даешь?