Eclipse и Remote System Explorer

emacs or vim.

> 1) Можно ли запустить проект на выполнение (на удаленной тачке, естественно) командой меню Project -> Build project? Как настроить окружение для этого?

Это зависит от удалённой системы, наверное :) Если ssh доступен, то в свойствах запуска можно указать запуск по ssh

> 2) Во встроенном терминале действительно не работают функциональные клавиши и мышь? И как с этим бороться, если есть такая возможность? А то очень уж неудобно.

Закодить поддержку и того и другого.