Колебание струны -> амплитуда звука

>>Загугли «некорректная задача».

Загугли «поесть говна Москва». Не о чем с тобой спорить-то.

Ты вздумал выебнуться и приплести обобщенные функции. Я утверждаю что тут они нахер не нужны.

А после того как ты гавкнул «Да ты в какое уравнение не ткни - в нем остаются только гармоники, потому что мы решение разложим в ряд Фурье. И что дальше?» ты полностью утратил статус вменяемого человека.

Повторяю: по координате x будут гармоники из-за фиксированных концов и накладываемой искусственной периодичности профля-среза по t=const.

Но срез вдоль координаты вовсе не обязан обладать периодичнсотью, её мы можем принести руками, задав искусственно затухание либо периодичность.

Только в таком случае у нас будут волны. И не всякий ряд Фурье даст стоячие волны, а только тот у которого коэффициенты при навсречу бегущих одинаковых волнах равны. А это равенство возможно лишь из-за конечности длины струны c зафиксированными концами.

> Ряда по какой переменной, чудень малограмотный?

По обеим, неуч.

Там две переменных, дубина, причем по одной заведомо периодические условия (координата x), а по времени периодичность откуда возьмется?

По времени периодичность берется оттуда, что это не просто какая-то произвольно взятая функция, а решение определенного уравнения, которое обязано быть периодичным в силу самой структуры этого уравнения, и это очевидно для любого, кто хоть раз видел формулу Д'Аламбера. А вот если у нас есть затухание, то никакой периодичности по времени нету и быть не может.

К тому что это естественный способ избавиться от необходимости учесть негладкие начальные условия и просто применить метод стоячих волн.

А это не избавляет от необходимости учитывать негладкие условия, только усложняет саму задачу.

> Я утверждаю что тут они нахер не нужны.

Да необразованный балбес вроде тебя может все что угодно утверждать, а вот для всего научного сообщества до появления обобщенных функций проблема была открытой.

Но срез вдоль координаты вовсе не обязан обладать периодичнсотью, её мы можем принести руками, задав искусственно затухание либо периодичность.

Если мы зададим затухание, то периодичность сразу отменяется, а без затухания периодичность задается самим уравнением.

А это равенство возможно лишь из-за конечности длины струны c зафиксированными концами

А без конечности длины струны и ряда бы никакого не было.

>>обязано быть периодичным в силу самой структуры этого уравнения, и это очевидно для любого, кто хоть раз видел формулу Д'Аламбера

Ну вот ты хуйню опять сказал. Как из вида уравнения Д'Аламбера следует его периодичность?

Всем известные собственные функции оператора Лапласа периодические лишь принудительно, но ничего не мешает подставить в уравнение мнимые частоты - а это как тебе, недоучке, невдомек, будет означать затухающие колебания.

> Ну вот ты хуйню опять сказал. Как из вида уравнения Д'Аламбера следует его периодичность?

С того, что уравнение Д'Аламбера - это сумма двух функций (берем простейший случай для удобства), каждая из которых периодична в силу граничных условий (закрепленных концов струны). А сумма двух периодичных функций - сама периодичная функция.

> Всем известные собственные функции оператора Лапласа периодические лишь принудительно, но ничего не мешает подставить в уравнение мнимые частоты - а это как тебе, недоучке, невдомек, будет означать затухающие колебания.

Я даже не знаю, что можно ответить на этот бред. У тебя шизофазия?

>>что решение уравнения Д'Аламбера - это сумма двух функций (берем простейший случай для удобства), каждая из которых периодична в силу граничных условий (закрепленных концов струны). А сумма двух периодичных функций - сама периодичная функция.

Ты кретин? Решением нашего УвЧП является функция двух переменных, и периодичность возможна по двум направлениям, и лишь периодичночть по х нам обеспечивают граничные условия закрепленных концов. Периодичность по t вводится искусственно, неграмотный ублюдок.

>>Я даже не знаю, что можно ответить

А ты ничего и не должен отвечать, упиздень, ты должен уткнуться в учебники и не вякать пока не поймешь что периодичность решения введена нами искусственно, а затем погуглить про мнимые частоты и затухающие решения волнового уравнения.

> Ты кретин? Решением нашего УвЧП является функция двух переменных, и периодичность возможна по двум направлениям, и лишь периодичночть по х нам обеспечивают граничные условия закрепленных концов.

Меня это уже начинает утомлять. Назови мне функцию f(x + at), которая периодична по х, но непериодична по t. Не можешь? Я так и думал. Так вот, периодичность по х нам гарантируют граничные условия, а периодичность по t следует сразу из того, что если y(x,t) = (f(x + at) + f(x - at))/2 и f периодичная по х, то f периодичная и по t. А значит y периодична по t как сумма периодичных по t. Доходчиво?

> А ты ничего и не должен отвечать, упиздень, ты должен уткнуться в учебники и не вякать пока не поймешь что периодичность решения введена нами искусственно, а затем погуглить про мнимые частоты и затухающие решения волнового уравнения.

Уебок, ты сперва бы узнал смысл баззвордов, которыми пытаешься бросаться. Мнимые частоты связаны с затуханием только в твоем упоротом мозгу. Я уж не говорю про то, что только полный наркоман может не понять, что затухающая функция не может быть периодичной по определению. Она ЗАТУХАЕТ, блять, какая тебе, нахуй, периодичность?

>>Она ЗАТУХАЕТ, блять, какая тебе, нахуй, периодичность?

Берем и клонируем участок от нуля до полного затукания. Первый раз слышишь?

Назови мне функцию f(x + at), которая периодична по х, но непериодична по t.

Таких и нет - разумеется решение периодично по времени, только в случае принудительного внесения периодичности у нас полноценные синусы-косинусы, а в случае мнимой частоты - экспоненциальное затухание на том же промежутке. Но оба решения периодические. Разница в том что в первом cлучае мы принудительно ищем решения в виде действительных частот, отбрасывая затухания.

>>Мнимые частоты связаны с затуханием только в твоем упоротом мозгу.

Бесишь, сука, подставь мнимую омега в нормальную моду. Скажешь, что оно не удовлетворяет волновому уравнению??

> Берем и клонируем участок от нуля до полного затукания. Первый раз слышишь?

И при ненулевых НУ тоже копируем? А разрыв потом куда деваем? Просто скопировать не получится.

Таких и нет - разумеется решение периодично по времени

Так чего за бред ты нес о том, что оно периодичным быть не может?

>>Так чего за бред ты нес о том, что оно периодичным быть не может?

Периодичным - имелось в виду в виде синусов-косинусов. Затухающая экспонента тоже периодична, только за один её период мода с действительной частотой совершит кучу колебаний. Соглашусь что строгость терминологии в этом месте оставляет желать лучшего. Но речь шла о том что этот выбор собственных функций приносится руками, отбрасывая затухания.

И при ненулевых НУ тоже копируем? А разрыв потом куда деваем? Просто скопировать не получится.

Любой разрыв устраняем бесконечно малой подшпаклевкой.

> Бесишь, сука, подставь мнимую омега в нормальную моду. Скажешь, что оно не удовлетворяет волновому уравнению??

Удовлетворяет. Но это не делает его периодичным.

>>Удовлетворяет. Но это не делает его периодичным.

Так а я про что? Поэтому и приходится вводить надпериодичность. размножая участок затухания.

Но эта периодичность нужна нам лишь для применения Фурье, и при желании участок затухания можем выбрать сколь угодно большой, делая частотный спектр сколь угодно плотным.

> Периодичным - имелось в виду в виде синусов-косинусов.

Так раз оно периодично как по х, так и по t, как мы уже выяснили, то раскладываем его в ряд и нате периодичность в виде синусов-косинусов.

Затухающая экспонента тоже периодична, только за один её период мода с действительной частотой совершит кучу колебаний.

А можно пример такой периодической затухающей экспоненты, которая будет ф-ей времени, с указанием ее периода?

Любой разрыв устраняем бесконечно малой подшпаклевкой.

После того, как мы сделаем бесконечно-малую подшпаклевку, мы получим уже другую задачу (решение которой конечно будет б/м отличаться от оригинального, но это еще надо доказать), но остается открытым вопрос - как мы решаем ОРИГИНАЛЬНУЮ задачу? Да и с подшпаклевками там некоторые вопросы. В частности - вообще у нас за какое время происходит ПОЛНОЕ затухание? Уж не за бесконечно большое ли?

Так а я про что? Поэтому и приходится вводить надпериодичность. размножая участок затухания.

Нахуя, простите? У нас и так есть решение, зачем его куда-то размножать?

>>Так раз оно периодично как по х, так и по t, как мы уже выяснили, то раскладываем его в ряд и нате периодичность в виде синусов-косинусов.

А вот это хороший вопрос. Ты задумывался ли, почему в ряде Фурье используются лишь действительные частоты?

А можно пример такой периодической затухающей экспоненты, которая будет ф-ей времени, с указанием ее периода?

Аналитически - нет, но ничто не мешает размножить затухание.

После того, как мы сделаем бесконечно-малую подшпаклевку, мы получим уже другую задачу (решение которой конечно будет б/м отличаться от оригинального, но это еще надо доказать),

Дай угадаю. Линейность уравнения?

Нахуя, простите? У нас и так есть решение, зачем его куда-то размножать?

Для формальной применимости разложения в ряд Фурье.

Тихонов, Самарский «уравнения математической физики» - что-то там было про колебания муз инструментов

> А вот это хороший вопрос. Ты задумывался ли, почему в ряде Фурье используются лишь действительные частоты?

Если честно, нет. Но, по-моему, тут нету другого ответа кроме очевидного «базис будет не торт».

Аналитически - нет, но ничто не мешает размножить затухание.

То есть это уже не сама экспонента, а именно размноженная экспонента.

Дай угадаю. Линейность уравнения?

Не-а :( Чтобы воспользоваться линейностью нам надо сперва записать оригинальное решение, а без обобщенных функций мы не знаем, что это вообще такое - негладкое решение. То есть его как буд-то бы и нет.

Для формальной применимости разложения в ряд Фурье.

У нас и так периодическая часть разложена, зачем велосипед велосипедить?

>>Чтобы воспользоваться линейностью нам надо сперва записать оригинальное решение, а без обобщенных функций мы не знаем, что это вообще такое - негладкое решение. То есть его как буд-то бы и нет.

Есть теорема, которая сводится к тому что «малое изменение начальных условий» => «малое изменение решения» и доказывается лишь через формулу Даламбера.

Ты тот самый анонимус или вас тут много?

> Есть теорема, которая сводится к тому что «малое изменение начальных условий» => «малое изменение решения» и доказывается лишь через формулу Даламбера.

Так для того, чтобы существовало такое понятие, как «малое изменение решения», надо чтобы _было_ два решения - возмущенное и невозмущенное. Гладкое возмущенное у нас есть, а вот негладкого невозмущенного - нет. Так что возмущенное нам тупо не с чем сравнивать.

итт я пока один

не, ну уравнение-то точно будет d^2 U / dt^2=a^2*лапласиан(U) ... начальные условия там две функции какие-то, а вот граничные хз.. ну вот в краях допустим U|_(x=0)(x,y,z,t) и U|_(x=L)(x,y,z,t) по нулям, а что там с z происходит? только если в начальный момент ноль

Ты хочешь сделать вид что мы не знаем ничего про свойства решений и обязаны выботать обобщенные функции.

А я исхожу из того что мы все про них знаем и смело отбрасываем любые негладкости.

Короче про затухания если хоть кто скажет что полезное - буду только рад. Поднимать литературу неохота. Вроде есть мнение что мнимые частоты для волнового уравнения невозможны.

Да нет там ни y ни z. Только x и t.

вообще пренебрег бы колебаниями в двух плоскостях относительно третей, а такой пример вон даже в викижопии есть колебание струны

> А я исхожу из того что мы все про них знаем и смело отбрасываем любые негладкости.

Я уже об этом говорил. НУ у нас как раз всегда негладкие, а чтобы иметь право считать их гладкими, надо показать, что задача корректна, и эта малая погрешность ни к какой драме не приведет, а чтобы показать корректность, надо иметь невозмущенное решение. Которого без обобщенных функций в принципе нет. Вот как только мы это сделали, так сразу можно все негладкие решения подшлифовывать.

надо показать, что задача корректна

ну что тут показывать? века два уже как показали и корректность и единственность и существование решения, только книгу открыть и прочитать

>>НУ у нас как раз всегда негладкие

Спорно, электронные облака не в курсе ни про какую негладкость. Да и вообще модель сплошной среды во все поля.

> Короче про затухания если хоть кто скажет что полезное - буду только рад. Поднимать литературу неохота. Вроде есть мнение что мнимые частоты для волнового уравнения невозможны.

Ага, в классическом волновом уравнении затуханий нет, для затуханий надо вводить еще один член - первую частную производную по времени. Можно, конечно, того же добиться, вводя неоднородную часть нужного вида, но это через жопу.

> Спорно, электронные облака не в курсе ни про какую негладкость. Да и вообще модель сплошной среды во все поля.

А кто сказал, что пространство-время непрерывно? :)

запостулированно давно, вроде

>Посмотрю, но они наверняка большие и серьезные. Мне-же поиграться и бросить.
Дело не в этом. Просто они представляют из себя языки программирования для работы со звуком. Они предоставляют как примитивы типа синусоиды, так и более сложные источники звука, ну и плюс инструменты для разных видов синтеза - есть же не только аддитивный синтез, который здесь все обсуждают. То есть именно что на поиграться со звуком, с синтезом и всякими такими делами без унылого ковыряния с алсой или джеком.

Ну и флейм развели.

То есть именно что на поиграться со звуком, с синтезом и всякими такими делами без унылого ковыряния с алсой или джеком.

Я совершенно не уныло ковыряюсь с матлабом и выводом результатов через wavwrite(). И матлаб тоже дает нормально так возможностей по генерации синусов и фильтров :)

Что мешает учесть динамику весовых коэффициентов в этой сумме?

После нескольких экспериментов возник вопрос: как эти коэффициенты вычислить, имея только запись сигнала.

Что делал я: брал кусок (3-4 периода, где амплитуда меняется незначительно), считал БПФ, брал только отсчеты на основном тоне + 9 обертонов. После чего восстанавливал сигнал как sum(a_n * sin(2*pi*n*F*t + ph_n)).

F - частота основного тона, a_n - амплитуда n-ого обертона, ph_n - фаза.

Это работает если сигнал обрезан четко, то-есть нельзя взять произвольный кусок. На произвольном куске восстановленый сигнал напоминает оригинальный, но очень отдалено.

Что тут можно сделать?

Так и должно быть - если отрезать неровно то получим скачок в зависимости смещения струны/мембраны от времени, а любой скачок сразу дает ненужные высокие частоты в Фурье-разложении.

>>Ага, в классическом волновом уравнении затуханий нет, для затуханий надо вводить еще один член - первую частную производную по времени.

Я знаю что затухание в явном виде в простом уравнении отсутствует. Речь о комплексной частоте для обычного синуса - разве это не решение волнового уравнения?

После нескольких экспериментов возник вопрос: как эти коэффициенты вычислить, имея только запись сигнала.

1. Режем образец на окна фиксированной длины W с шагом H много меньшим ширины окна. Ширина окна и шага подбираются опытным путём. Т.е. если у нас образец состоит из N семплов, то должно получиться (N - W)/H окон. Здесь сэмпл это один дискретный отсчёт. замер.

2. Умножаем каждое окно на оконноую функцию (см. window function, Hann, Hamming и т.п. Тоже подбирается опытным путём). Получам набор рядов W(n, t), n - номер окна, t - индекс сэмпла относительно окна.

3. Берём ДПФ от окна для действительного (R) ряда, извлекаем из ДПФ только модули значений. G(n, f) = |F[W(n, t), t]|, где F[Ф(t,...),t] - одномерный оператор ДПФ. Здесь длина каждого ряда G будет примерно в два раза меньше длины исходного окна W (ряд из модулей элементов образа фурье симметричен для исходного R ряда если W = 2**n)

4. Тепрь у нас есть «сонограмма». Если удачно подобрали ширину окна и шаг, то из неё можно будет выделить основные гармоники и зависимость коэффициентов от времени.

5. Как получить гармоники? Можно, например, посчитать среднее для каждого f по n из рядов G(n, f) и выделить из них все f(k) локальных максимумов.

6. Зная индексы гармоник f(k) можно найти зависммость коэффициентов C(k, t) во времени. Например, С(k, n) = G(n,f(k)), где n - дискретное время в единицах шага H из п.1

7. Далее есть смысл пропустить все ф-ии C(k. n) через фильтр нижних частот: частоты «осциляций» любой C(k, n) должны быть много меньше её несущей частоты f(k)

Как-то так это делается.

Как-то так это делается.

C(k, t) получились, похожи даже на правду, но дальше проблема - нужны еще начальные фазы. Так как если принимать их равными 0 для всех гармоник, то получается очевидная лажа.

Лажа получается в смысле неправильного звучания (восприятия) или формального несовпадения исходного образца и синтезированного?

И звучание и несовпадение. Сейчас картинок выложу.

Хотя нет, это я не отмасштабировав в файл вывел. Звучит более или менее похоже, нужно поиграться со всемс константами.

Незнаю только это из-за фаз или из-за чего-то еще, но в оригинале запись всегда не симметрична относительно 0, при синтезе всегда симметрична.

Звук пока как на самых дешевых синтезаторах :)

По идее, от фазы не должно зависеть звучание. Но можно и попробовать играть с фазами (например, рэндомно раздать всем несущим) если обеспечить плавный начальный рост C(k, t) от нулевого времени.

Какие брал параметры в семплах? Частота дискретизации, окно, шаг, оконная функция.

Незнаю только это из-за фаз или из-за чего-то еще, но в оригинале запись всегда не симметрична относительно 0, при синтезе всегда симметрична.

Это не тривиальные случаи типа константного сдвига и низкочастотной составляющей?

Снимаю с C4, Fs=44100, длинна оригинальной выборки около 200000 отсчетов. Окно Хэмминга, пробовал W=8192, H=256 и W=1024, H=64. На слух разницы нет.

Только атака получается мгновенной, сейчас добавлю быстрый рост от 0, а то щелчек в начале.

Это не тривиальные случаи типа константного сдвига и низкочастотной составляющей?

Это из-за фаз. Я у себя добавил случайную фазу и получмлось визуально как и в оригинале.

Вот как сейчас выглядят грфики:

Настоящее: http://dl.dropbox.com/u/6121480/synth/real_piano.png

Синтезированное: http://dl.dropbox.com/u/6121480/synth/synth_piano.png

У синтезированного звук искусственный, не такой яркий как у записанного. Видимо это как-то связанно с тем, что огибающая такая «рванная».

Больше частот задействовать - выйдет супер. От разницы фаз по разным частотам по идее звучание зависеть не должно, хотя черт его знает - лучше учеть и его.