Сумма всех натуральных чисел 1/12?

этого делать нельзя даже в сходящемся ряде. Только в том случае, если ряд сходится абсолютно. В противном случае перестановкой можно получить любое наперёд заданное число.

А как же коммутативность сложения? От перемены мест слогаемых сумма не изменяется.

Сумма бесконечного ряда - это предел последовательности частичных сумм. То что этот предел называется сумма и записывается через знак плюс не дает тебе права вольно с ним обращаться. Все свойства по перестановке элементов, сложении двух рядов, умножении ряда на число и т.п. для этой суммы надо доказывать и обосновывать, а не брать с потолка потому что тебе кажется что сумма таким свойством должна обладать.

Сумма бесконечного ряда - это предел последовательности частичных сумм.

Тоесть на самом деле это вообще не сумма, а нечто другое, непонятно почему названное суммой.

То что этот предел называется сумма и записывается через знак плюс не дает тебе права вольно с ним обращаться. Все свойства по перестановке элементов, сложении двух рядов, умножении ряда на число и т.п. для этой суммы надо доказывать и обосновывать, а не брать с потолка потому что тебе кажется что сумма таким свойством должна обладать.

Коммутативность сложения прекрасно доказывается. Если тут это не работает, то очевидно, что это не сумма, а что-то совсем другое.

очевидно, что это не сумма, а что-то совсем другое

Да, это не сумма двух чисел, а сумма бесконечного ряда, то есть совершенно другое понятие. О чем и речь тут уже пятую страницу.

А как же коммутативность сложения? От перемены мест слогаемых сумма не изменяется.

коммутативность сложения работает для конечного числа слагаемых.

По теме: Теорема Римана об условно сходящихся рядах.

Сумма бесконечного ряда - это предел последовательности частичных сумм.

Тоесть на самом деле это вообще не сумма, а нечто другое, непонятно почему названное суммой.

this. Ну а названо суммой потому, что вполне таки имеет к этому отношение.

Каким образом бесконечное количество слагаемых делает из этого «совершенно другое понятие»?

Если я изменю порядок ряда уменьшающейся геометрической прогрессии, это изменит результат? Например вместо
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...
я могу поменять местами чётные и нечётные слагаемые
1/4 + 1/2 + 1/16 + 1/8 + 1/64 + 1/32 + ...
И что, теперь это уже не равно единице?

Если я изменю порядок ряда уменьшающейся геометрической прогрессии, это изменит результат?

нет. Так как этот ряд сходится абсолютно. Нужен условно сходящийся, например

1-1/2+1/3-1/4+1/5...

Каким образом бесконечное количество слагаемых делает из этого «совершенно другое понятие»?

таким, что

бесконечная сумма это по факту - конечная сумма засунутая в предельный переход. [latex]\sum_{k=1}^\infty:=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n[/latex]

http://rghost.net/59199190

this. Ну а названо суммой потому, что вполне таки имеет к этому отношение.

Отношение имеет, но суммой не является. Тоесть разоблачение, которое я приводил выше, таки верно?
http://plus.maths.org/content/infinity-or-just-112
Зета функция Эйлера не равна S(x) при x=-1?

this. Ну а названо суммой потому, что вполне таки имеет к этому отношение.

Отношение имеет, но суммой не является.

оно является суммой, заключенной в предельный переход. Что из этих двух слов тебе неизвестно?

Тоесть разоблачение, которое я приводил выше, таки верно?

разоблачение чего?

Каким образом бесконечное количество слагаемых делает из этого «совершенно другое понятие»?

Вот именно таким.

Определение прочитай. Сумма чисел, та которая коммутативна - это бинарная операция. На вход два элемента, на выход один. И точка.

Сумму даже трех чисел уже надо во-первых отдельно определять. А во-вторых про неё надо _доказать_, что она не зависит от порядка этих чисел.

Если я изменю порядок ряда уменьшающейся геометрической прогрессии, это изменит результат?

Не надо гадать. Надо доказывать.

Каждый раз, каждый переход в рассуждениях надо делать не по аналогии, как ты делаешь, а строго доказывая каждый переход.

Математика вообще не работает «по аналогии».

нет. Так как этот ряд сходится абсолютно. Нужен условно сходящийся, например

1-1/2+1/3-1/4+1/5...

Почему это нельзя представить как разность двух абсолютно сходящихся рядов?

• 1/1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n - 1)
  
• 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/(2n)

Равзе первоначальный ряд не тождественен следующему?
-1/2 + 1/1 - 1/4 + 1/3 - 1/6 + 1/5 +- ...

Сумму даже трех чисел уже надо во-первых отдельно определять. А во-вторых про неё надо _доказать_, что она не зависит от порядка этих чисел.

Это давно доказано - ассоциативность.

разоблачение чего?

Что сумма всех натуральных чисел равна -1/12

Это давно доказано - ассоциативность.

Не важно, давно или недавно. Про ряды тоже все давно доказано, тебе же это не мешает. Главное что это необходимо доказывать, и необходимо определять.

И нельзя просто так говорить «ну для двух элементов верно, значит и для трех должно быть». Нет, не «значит». Вот если ты докажешь для трех - то будет верно и для трех. При том заметь, даже не просто докажешь:

Сначала определишь что такое сумма трех чисел. Причем определишь двумя способами, начиная слева и начиная справа. Получишь два понятия «сумма трех чисел начиная слева» и «сумма трех чисел начиная справа». Потом докажешь используя ассоциативность суммы двух чисел, что эти два понятия эквивалентны, и можно определить одно понятие «сумма трех чисел», не зависящее от выбора конкретного способа. И для него, этого последнего понятия докажешь что оно не зависит от порядка слагаемых.

И вот когда ты все это проделаешь, только тогда ты можешь утверждать что переставлять слагаемые в сумме трех чисел можно.

Заметь сколько _разных_ понятий суммы ты при этом должен использовать.

Сначала определишь что такое сумма трех чисел. Причем определишь двумя способами, начиная слева и начиная справа. Получишь два понятия «сумма трех чисел начиная слева» и «сумма трех чисел начиная справа».

Ты это серьёзно? :-))
Сумма всегда слева направо. Для изменения порядка суммирования изобрели скобки и при помощи ассоциативности доказали, что сумма от этого не меняется.

надо _доказать_, что она не зависит от порядка этих чисел

Не надо, если операция коммутативна, то она коммутативна всегда, при любом количестве операндов. Это очевидно из определения, но можно строго показать индукцией.

Ты это серьёзно?

Абсолютно.

Сумма всегда слева направо

Сумма не зависит от того слева или справа. Именно потому что можно провести доказательство по схеме описанной выше, и только поэтому.

Почему это нельзя представить как разность двух абсолютно сходящихся рядов?

потому что сумма (разность) пределов равна пределу разности только если существуют и не равны бесконечности оба из них.

если операция коммутативна, то она коммутативна всегда, при любом количестве операндов

Это теорема

Это очевидно из определения, но можно строго показать индукцией.

которую _нужно_ строго доказать индукцией.

разоблачение чего?

Что сумма всех натуральных чисел равна -1/12

где-то я читал про это. Там фишка в том, что просто по-другому определяют сумму. Это уже не та сумма, о которой мы говорим.

А в статье че-то про аналитическое продолжение Зета-функции, ну и правильно там замечено, что ее продолжение совершенно не связано с общепринятой суммой ряда.

Вот если определять сумму ряда через Зета-функцию, то ок. Но толку от этого?

Это теорема

Да, но это очевидная, прямо вытекающая из определения теорема.

давайте мы тут еще о степени очевидности поспорим. Введем процент очевидности и на основании этого выведем новые теории с процентом достоверности.

Это же основы: изменяя порядок членов условно сходящегося ряда, можно получить любой предел. Т.е., для условно сходящегося ряда порядок членов менять нельзя.

Сумма всегда слева направо.

Нет. Не путай свой язык программирования и математику.

У нас в группе парень был один, вундеркинд.

Он прибегал на семинар со взглядом горящим и говорил «да все очевидно! Очевидное решение этой задачи очевидно следует из теоремы Абра-Кадабра об обобщенных функциях, которую мы изучали вчера на спецкурсе!»

И ничего, что задача вполне решается в лоб вычислением интеграла по определению. И более того, собственно она и иллюстрирует на простом примере тот шаг рассуждений, который позже используется в доказательстве той самой теоремы Абра-Кадабра.

Вот если определять сумму ряда через Зета-функцию, то ок. Но толку от этого?

Толк в том, что у тебя будет аналитическая функция. И в качестве суммы расходящегося ряда можно взять значение аналитического продолжения. // Ролик не смотрел.

Вот если определять сумму ряда через Зета-функцию, то ок. Но толку от этого?

Толк в том, что у тебя будет аналитическая функция. И в качестве суммы расходящегося ряда можно взять значение аналитического продолжения. // Ролик не смотрел.

можно конечно, но про то и вопрос, какой в этом толк?

Нет. Не путай свой язык программирования и математику.

Я ничего не путаю. Запись a + b + c это всегда (a + b) + c. Дальше, при помощи ассоциативности и коммутативности, можно доказать, что скобки и слагаемые можно поставить как угодно.

А другие, думаешь, поступают лучше? Я давеча предложил решить задачу, но вместо того, чтобы подумать, товарищ нашел общий метод коэффициентов Лагранжа, нашел один экстремум. А дальше ступор: это максимум или минимум? а если экстремум на границе? Интересно, что это можно буквально на пальцах показать. Но! Он лезет в интернет, а там про это ничего не сказано! Занавес :)

Запись a + b + c это всегда (a + b) + c

Я этот момент, честно говоря, не знаю. Сумма и сумма, я даже не вникал. Пусть математики рассудят.

Есть вещи, о которых в самом деле не говорят, которые только подразумевают. Хотя польза от «разжевывания» есть и не малая, если мы говорим о формировании математического мышления.

Запись a + b + c это всегда (a + b) + c.

Почему?

можно конечно, но про то и вопрос, какой в этом толк?

Есть толк, но не для этой частной задачи. Лучше всего посмотреть работы того же Рамануждана, для чего он этот вид суммирования применял. Всему нужно сопоставить число — в этом смысл. До Декарта об этом тоже никто не думал, а как каждой точке начали ставить в соответствие числа, тут-то и оказалось, что это очень даже полезно.

Сумма не зависит от того слева или справа. Именно потому что можно провести доказательство по схеме описанной выше, и только поэтому.

Сумма вообще не зависит от порядка. Доказывается ассоциативностью и коммутативностью. Таким образом, если изменение порядка приводит к изменению результата суммирования, виновато не изменение порядка, а метод суммирования. Что и требовалось доказать.

Почему?

По определению. Выражение a + b + c записывается слева направо и изначальный порядок выполнения складываний тоже слева направо. Тоесть a + b + c = (a + b) + c опять же изначально.

какой в этом толк?

Дело в том, что задача математики - это не вычисление интегралов и производных, и не решение уравнений. Глобальная задача математики - это структурирование и классификация, поиск зависимостей и поиск характеристик.

Если мы берем классическую сумму ряда, мы получаем две категории рядов, сходящиеся и расходящиеся. Но это слишком крупные куски. Мы хотим различать больше оттенков. Поэтому мы кроме предела вводим в игру еще какие-то характеристики. Например, скорость расхождения ряда(это та самая ренормализация). Или например хотим различать ряды которые уходят на бесконечность от рядов которые скачут вокруг какой-то точки.

Разные методы суммирования позволяют описать и измерить разные «оттенки расходимости», приписать им какие-то числовые характеристики, выделить «похожие» ряды и «сильно разные».

При этом какие-то из этих оттенков уже имеют физическое толкование, какие-то еще нет, но могут получить в будущем.

Нет такого изначального определения.

Если ты возьмешь книги по теории групп к примеру, то ровно в половине из них для некоммутативной операции будет использоваться соглашение слева направо, а в другой половине справа налево. Это не некое изначальное знание данное нам в десяти заповедях, это соглашение, которое было разным в разных математических школах в разное время.

То что я написал выдало такой же результат как у тебя, т.к. эти суммы совпадают в первых 6-7 знаках после запятой

А твоя прибавка к единице находится на девятом знаке после запятой - лажа внесённая ею не добралась до шестого знака, только и всего. И ежу понятно, что столь малые прибавки к единице находятся где-то очень далеко на периферии восприятия и могут проявляться не скоро. В реале следует избегать таких форм данных лежащих в зоне погрешностей.

Я не букинист и такое исследование провести не могу. Поэтому тебе лучше назвать сами эти математические школы.

Попробуй поправку в 3, 2, 1 знак.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=HarmonicNumber(100, 1.001), HarmonicNumb...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=HarmonicNumber(100, 1.01), HarmonicNumbe...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=HarmonicNumber(100, 1.1), HarmonicNumber...

Как ты на взгляд собираешься определять сходимости всего класса медленно сходящихся / медленно расходящихся рядов?

Как ты на взгляд собираешься определять сходимости всего класса медленно сходящихся / медленно расходящихся рядов?

А я и не собираюсь пока заниматься такой задачей - не нашёл в ней практического применения, а загружаться балластом ради балласта, спасибо, не надо. Всё что надо и можно посчитать, и так вроде бы считается через ПК. Утром деньги - вечером стулья. Сначала смысл и применение к реалу - потом математические дебри. Тем более что более-менее сложная математика имеет под собой философскую основу с которой я могу быть не полностью согласен.

В near-ring и строках _+_ не коммутативна, в IEEE 754 — не ассоциативна.

А порядок разбора слева это просто конвенция — раз читаем выражения слева (не как арабы, например), то неоднозначное a - b + c разбираем слева. С другой стороны — есть конвенция читать и разбирать композиции функций справа — h . g . f, оно ассоциативно, но начинаем применять с f, альтернативная запись — f ; g ; h, тут может быть смысл разбирать слева.

А если мы находимся в кольцах, полях, модулях, векторных пространствах, то, по определению, _+_ это операция абелевой группы — порядок расставления скобок не важен. На самом деле, если бы он был важен, то у нас были бы не последовательности, пределы, ряды, частичные суммы и суммы, а деревья и т.п.

Тем не менее — в архимедовом поле R есть условно сходящиеся ряды, в неархимедовом его расширении такой вещи уже нет, так что твоя перестановка в них возможна, можно формально вычитать разные бесконечности (которые уже не расходимости, а элементы поля), но в R она невозможна — ты выходишь за R когда после перестановки что-то расходится (вся исходная сумма при этом условно сходится), то есть коммутативность коммутативностью, но она безотказно работает только на финитных рядах, на инфинитных ты можешь перестановкой вылететь за R.

Скорость тут не так интересна.

скорость тут принципиально важна: Т.к. скорость стремится к бесконечности, то время каждой итерации стремится к нулю. Именно потому Ахилес и догонит черепаху за конечное время.

Главное - что в этом мысленном эксперименте процесс бесконечного суммирования завершится.

да, завершится за конечное время. Хотя итераций и бесконечно много, но они бесконечно короткие.

Но вот как будет получен результат 1/2 я до сих пор не понимаю.

говорят же тебе: по определению суммы Чезаро. Естественно, IRL получить такой результат невозможно, мы смертные, не доживём.

а какой-то процент от этого среднего (например 30%), то мой новый метод тоже будет работать

не будет.

А как же коммутативность сложения? От перемены мест слогаемых сумма не изменяется.

это если у тебя ДВА слагаемых. А если их бесконечно много, то это правило неприменимо. Далеко не все правила верны, если речь идёт о бесконечности. Например по правилу Лопиталя можно(иногда) делить на ноль, если это не ноль, а бесконечно малое.

Тоесть на самом деле это вообще не сумма, а нечто другое, непонятно почему названное суммой.

конечно. Это совершенно другая сумма. Некоторые свойства таки сохраняются, например в ряду сходящимся абсолютно можно переставлять как угодно члены.

Но, однако, не все действия могут иметь смысл для частичных сумм и их предела. Мало того, сам предел может не иметь смысла(ряд не обязательно сходится, и значит сумма ряда не имеет смысла как предел частичных сумм).

Коммутативность сложения прекрасно доказывается.

докажи. Для бесконечного ряда.

Каким образом бесконечное количество слагаемых делает из этого «совершенно другое понятие»?

потому что это не сумма, а предел частичных сумм. Не удивительно, что предел частичных сумм обладает(иногда) (некоторыми)свойствами обычной суммы. Ведь частичная сумма — самая обычная сумма.

я могу поменять местами

это абсолютная сходимость, поэтому можешь.

Сумму даже трех чисел уже надо во-первых отдельно определять. А во-вторых про неё надо _доказать_, что она не зависит от порядка этих чисел.

а вот это как раз не сложно, если число слагаемых конечно.

Сумма не зависит от того слева или справа.

разложи ln(2) в ряд(1-½+⅓-…), и посчитай на компьютере первые 10000 членов ряда в одном направлении, и в другом. ВНЕЗАПНО: получишь совершенно разные результаты.