Сумма всех натуральных чисел 1/12?

комплексных

других не бывает. Действительные числа — частный случай комплексных, не более того.

«2 комплексных корня с учетом кратности» и «0, 1 или 2 вещественных корня» - это непротиворечащие утверждения. Для уравнения второй степени с вещественными коэффициентами верны оба.

точно также плоскость(пространство) с не нулевой кривизной является общем случаем для плоскости(пространства) с нулевой кривизной. Просто у частного случая есть частные свойства, например наличие только одной и единственной параллельной прямой в геометрии Евклида. Ну либо уравнения второй степени, у которых «один корень».

по определению. Евклидово пространство - это Риманово пространство с нулевой секционной кривизной. не небольшой, не локально нулевой, не какой-нибудь ещё

однако, если устремить кривизну к нулю, пространство стремится к Евклидовому. Причём нетрудно показать, что порядок малости ошибки «на кривизну» меньше, чем эта кривизна. Т.о. в пределе пространство с бесконечно малой кривизной является евклидовым.

Нет, не так же. Число, равное нулю, не является частным случаем числа, не равного нулю.

можно совершить предельный переход в рамках рациональных чисел

Нельзя, предела в рамках рациональных чисел может не существовать. Но ты понимаешь это узко, типа, на каждом шаге дроби. Ну дроби, только для введения понятия предела дробей недостаточно, поэтому когда ты ставишь понятия «предельный переход» и «рациональные числа» в одной фразе, это ересь.

Если бы все так было просто, так бы и поступали. Но поступают по другому, как — я написал выше. А обсуждать вот эти если бы да кабы без пруфов не хочется.

Действительные числа — частный случай комплексных, не более того.

Ты бредишь? У действительных есть отношение порядка, у комплексных — нет.

Не разочаровал, спасибо, диагноз гумика с говном вместо мозга подтвердил полностью.

Так ведь и ты меня не разочаровал. Специалисты по говну именно такие.

> Какой результат получит Ахиллес в момент, когда догонит черепаху? Неужели 1/2?

конечно. Каждая итерация не только вдвое короче по расстоянию, но ещё и вдвое _быстрее_. Потому, несмотря на бесконечное число итераций, для завершения процесса нужно конечное время(порядок малости у расстояния и времени одинаковый, имеем неопределённость вида 0/0, которую можно разрешить по правилу Лопиталя).

Скорость тут не так интересна. Главное - что в этом мысленном эксперименте процесс бесконечного суммирования завершится. Но вот как будет получен результат 1/2 я до сих пор не понимаю. Если я модифицирую метод Чезаро и буду использовать не среднее промежуточных сумм, а какой-то процент от этого среднего (например 30%), то мой новый метод тоже будет работать, но результат будет другим. Почему этот метод хуже метода Чезаро? Без доказательства этого не скажешь.

Почему этот метод хуже метода Чезаро?

Потому что не выполняется условие регулярности.

у уравнения второй степени может быть 0, 1, или 2 корня.

Либо мы можем разложить полином на множители (x-a)(x-b), либо нет (над R, школьники не умеют в комплексные числа), одного корня не бывает.

Но поступают по другому, как — я написал выше.

Ты написал

в пространстве 4 - epsilon измерений

А это и есть

В таком случае комплексная размерность это аналитический метод получить контр-терм для действия который бы устранял полюс проявляющийся при d = 4.

То есть произвольная комплексная d вместо d = 4 с аналитическим продолжением интегралов (ты учитываешь в т.ч. d != 4), так чтобы различать полюс в d = 4. Оно же dimensional regularization. Пруфы искать не надо — они хотя бы в сообщении на которое ты отвечал (как и в любых книжках и лекциях по КТП) :)

И это метод решающий

В эффективной КТП нужно не залезть в UV области -> ввести cutoff на верхнюю энергию -> модифицировать параметры действия зависимым от этой энергии образом -> получить сходимость.

В книжке по второй ссылке у Gross о физической природе такой «эффективности» КТП поясняется (как и в любых книжках и лекциях по КТП, у Zee, например, на эту тему), ввести cutoff на верхнюю энергию / dimensional regularization это регуляризация, нужна она для (вычислений, разумеется, и) модифицирования параметров действия (coupling constants) зависимым от энерго-масштаба (energy scale) образом / получения конечного количества контр-термов для действия -> получения сходимости интегралов из коробки для такого действия, то есть для ренормализации.

Вот ещё была ссылка на лекции http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic521209.files/QFT-Schwartz.pdf (у Schwartz на их основе книжка тоже есть), там ренормализация и её невозможность (конечным числом контр-термов) рассматриваются. Например, немного в другую сторону, чисто ради интереса:

There is nothing inconsistent about general relativity and quantum mechanics. Gravity is the only consistent theory of an interacting spin 2 particle. It is a quantum theory, just as solid and calculable as the 4-Fermi theory. It is just non-renormalizable, and therefore non-perturbative for energies E > M_P, but it is not inconsistent. At distances r ∼ 1/M_P ∼ 10^−33 cm, all of the quantum corrections, and all of the higher order terms in the Lagrangian become important. So if we want to use gravity at very short distances we need a UV completion.

String theory is one such theory.

Einstein quantum gravity is the low energy theory of gravity. It is perturbative for E < MP ∼ 10^19 GeV. It is extremely predictive at low energies, including predictive quantum corrections. One possible UV completion is string theory.

Теперь понятно, это как вместо ряда 1 + 1/2 + 1/3 + ... рассмотреть z + z^2/2 + z^3/3 + ..., который сходится в круге |z| <= 1 за исключением z = 1. Тоже, надо сказать, хак.

(x - k)^2 <=> x^2 - 2kx + k^2 <=> D = 0 — имеет один корень x = k.

хак

Ну да

Chapter 16 Regularization Schemes and Tricks

16.5 Dimensional Regularization

The most important regulator you will encounter is dimensional regularization, invented by ’t Hooft. The basic idea is that an integral like ... is divergent only if d > 4, when there are more powers of k upstairs than downstairs. But if d < 4, then it will converge. If it’s convergent we can Wick rotate, and the answer comes from just analytically continuing all our formulas above to d dimensions.

The main advantage of dimensional regularization is that it preserves gauge invariance, since we can have gauge fields in any dimension. Note that Pauli-Villars breaks gauge invariance because a massive gauge boson, ghost or not, cannot be gauge invariant. On the other hand, Pauli-Villars works nicely for fermions, while fermions in d dimensions can be messy because we have to analytically continue the γ matrix algebra. When you have fermions and gauge bosons in the loop, people generally use dimensional regularization. In fact, dim reg is practically the only regulator used for serious computations these days.

You will also encounter other regulators from time to time, such as

...

Lattice regularization. Breaks translation invariance and Lorentz invariance. But it is possible to construct a lattice such that translation and Lorentz invariance are restored at large distances.

Если теория (лагранжиан) задана так, что существует верхняя энергия Λ по которой нужно отрезать (теория эффективна и независима (decoupling) от более фундаментальной теории более высоких энергий и коротких дистанций, например, в теории струн нет UV расходимостей более менее), то нужны «tricks», математически с ними нет никаких проблем. С другой стороны

The program of systematically making testable predictions about long-distance physics in spite of formally infinite short-distance fluctuations is known as renormalization. Because physics at short and long distance decouples, we can deform the theory at short distance any way we like to get finite answers – we are unconstrained by physically justifiable models. In fact, our most calculationally efficient deformation will be analytic continuation to d = 4 − ε dimensions with ε → 0. The beauty of renormalization is that the existence of a physical cutoff is totally irrelevant: quantitative predictions about long-distance physics do not care what the short-distance cutoff really is, or even whether or not it exists.

The core idea behind renormalization in quantum field theory is:

Observables are finite and in-principle calculable functions of other observables.

Most of the conceptual confusion, both historically and among students learning the subject, stems from trying to express observables in terms of non-observable quantities, such as coupling constants in a Lagrangian. In practice:

Infinite results associated with high-energy divergences may appear in intermediate steps of calculations, such as in loop graphs.

Infinities are tamed by a deformation procedure called regularization. The regulator dependence must drop out of physical predictions.

Coefficients of terms in the Lagrangian, such as coupling constants, are not observable. They can be solved for in terms of the regulator and will drop out of physical predictions.

The continuum renormalization group

Observables are independent of the renormalization conditions, in particular, of the scales {p_0} at which we choose to define our renormalized quantities. This invariance holds after the theory is renormalized and the cutoff is removed (Λ = ∞, d = 4). In dimensional regularization with MS, the scales {p_0} are replaced by μ, and the continuum renormalization group comes from μ independence.

Он прав, что все действительные числа - частный случай комплексных. Объяснения, надеюсь, не нужны, сам догадаешься, почему. Но если не сможешь - я подскажу.

все действительные числа - частный случай комплексных

откуда никак не следует, что множество действительных чисел обладает свойствами множества комплексных. в частности, алгебраической замкнутостью

других не бывает

бывает, конечно. можно рассмотреть множество решений подобного уравнения над телом кватернионов, например. рекомендую попробовать, это достаточно увлекательно

Бесконечных спичек тупо не бывает.

Но это не значит что к бесконечности можно приклеивать любую лажу.

Корня-то два, просто одинаковые.

а накопление погрешностей ты учёл?

При таком малом целом значении, после запятой погрешности находятся в «конце хвоста» числа. При желании, вместо типа double можно использовать extended и точность снова увеличится - где-то 15 знаков после запятой будут точными.

Или один корень кратности два — одна точка (k, 0) пересечения вещественных и мнимых нулевых изолиний в комплексной плоскости. Для третьей степени с коэффициентами над R может быть одна точка в R и один простой корень.

И? Какой смысл ты подразумеваешь под данным кодом?

Еще раз, не частный. Мы тут обсуждаем предел суммы, но смею вас заверить, что ничего подобного не было бы, не обладай вещественные числа отношением порядка. Ни один бесконечный ряд нельзя было бы просуммировать, найти предел. А вот у комплексных чисел нет отношения порядка, и ничего в этом страшного нет.

Подмножество элементов, входящее в множество элементов может обладать дополнительными свойствами, не свойственными всему этому множеству элементов.

Доступно: ряд всех четных чисел, больших 0 входит в ряд натуральных чисел и обладает свойством, что при делении на 2 любого элемента этого ряда в остатке будет 0. Но это не значит, что все элементы натурального числового ряда при делении на 2 будут давать в остатке 0.

Теперь доказательство:

5=5+i*0

Так что случай частный.

Что нельзя делать никаких выводов на основании твоих «экспериментов», это банальное невежество и дилетантство.

Про твои эмоции не подкреплённые логикой и разумом никто не спрашивает, вопрос про сишный код без коментов. Какой в нём вообще толк и чем он круче? Если что, впихнуть всё в один цикл мог и сам, если было бы зачем-то нужно.

О, да ты ещё и простейший код не понимаешь. Совсем красота! Тебе показывают частичные суммы ряда 1/x^1.000000001. От твоих результатов выше не сильно отличается, однако этот ряд, внимание, сходится. Я всё ещё жду твоё доказательство сходимости/расходимости гармонического ряда.

О, да ты ещё и простейший код не понимаешь. Совсем красота! Тебе показывают частичные суммы ряда 1/x^1.000000001.

Ну и где здесь правильный код? Для совсем дубов в программировании уточняю: для чисел типа 1.000000001 необходимо использовать как минимум тип переменных extended а не double. Знаешь между ними разницу? Хотя для математиков все переменные резиновые а лишние деления, как и вообще использование дробных чисел программу совсем не портят.

Я всё ещё жду твоё доказательство сходимости/расходимости гармонического ряда.

А вот не надо заниматься подменой понятий. На конкретно тот вопрос ответил а ты мне шьёшь свою формулировку под которой я не подписывался.

Ну и где здесь правильный код?

Господи, какой же ты тупой.

для чисел типа 1.000000001 необходимо использовать как минимум тип переменных extended а не double

Если ты откроешь стандарт IEEE 754 или хотя бы http://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format, то для тебя станет открытием, что в 64 бита double влезает 15-17 значащих разрядов (в 32-битный float всего 6-9).

На конкретно тот вопрос ответил а ты мне шьёшь свою формулировку под которой я не подписывался.

Нет, не ответил. Ты всего лишь привёл говнокод, который абсолютно ничего дельного не показывает. Ну да, числа разбегаются, но это вообще ни о чём не говорит. У товарища выше они так же себя ведут, а его ряд сходится.

Если ты откроешь стандарт IEEE 754 или хотя бы http://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format, то для тебя станет открытием, что в 64 бита double влезает 15-17 значащих разрядов (в 32-битный float всего 6-9).

А в extended влезает 19 значащих разрядов, следовательно баги проявятся позже.

Нет, не ответил. Ты всего лишь привёл говнокод, который абсолютно ничего дельного не показывает.

Окулист прямо по коридору.

Ну да, числа разбегаются, но это вообще ни о чём не говорит. У товарища выше они так же себя ведут, а его ряд сходится.

Тот деятель вообще пожмотился на более точный тип переменных, хотя учитывая наследие в Си 16 битных компиляторов, это не всегда легко делается. Кроме того, он выводил мало знаков после запятой. Почему его программа не умеет такую простую вещь, которая тут необходима - разбирайся сам, тебе этот код понравился больше. И в третьих - в этом коде использовано дробное число, то есть коэффициент порчи в вычислениях другого порядка чем в моих, поэтому их нельзя сравнивать в лоб.

Доступно: ряд всех четных чисел, больших 0 входит в ряд натуральных чисел и обладает свойством, что при делении на 2 любого элемента этого ряда в остатке будет 0.

Ну вот, ты выдаешь определение четных чисел в терминах целых. Потому что при делении на 2 ты из четного числа получаешь целое, и заметь, именно для целых есть понятие делимости на число. Поскольку ты не можешь дать определение четных чисел не прибегая к целым, то это и значит, что четные числа — всего лишь частный случай целых.

А вот действительное число может быть определено без обращения к комплексным, поэтому это никак не частный случай.

5=5+i*0

Это не определение вещественного числа. Не путай определение с представлением.

Ну вот, ты выдаешь определение четных чисел в терминах целых.

Ты знаешь дробные чётные числа? И да, где ты видишь определение чётных чисел в терминах целых?

А вот действительное число может быть определено без обращения к комплексным, поэтому это никак не частный случай.

Ты что-то совсем запутался. Не важно, как можно определить действительное число. Важно лишь то, что все действительные числа полностью входят во множество комплексных чисел. Больше ничего не требуется, чтобы можно было смело сказать, что все действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.

И да, где ты видишь определение чётных чисел в терминах целых?

«Четное число — это целое число, которое дает остаток 0 при делении на 2». Предполагая сперва, что это целое число, ты уже вводишь для подобных чисел понятие деления, которое определено на множестве целых чисел. Или у тебя свой, особый, вид деления, который годится только для четных чисел?

Важно лишь то, что все действительные числа полностью входят во множество комплексных чисел.

Ну хорошо, есть Евросоюз, в него полностью входит Финляндия. Финляндия — это частный случай Евросоюза? Нет, потому что государство обладает рядом других признаков: государственный язык, конституция и др. Так и тут — сущности разные.

Да, Финляндия - частный случай Евросоюза, т.к. если все страны, кроме Финляндии покинут Евросоюз, то весь Евросоюз на 100% будет соответствовать Финляндии.

Нет, не будет соответствовать, потому что у этого союза нет признаков государства. Нельзя ставить знак равенства только на основании равенства границ, потому что нельзя делать заключение о сути вещей только на основании внешних признаков. Вхождение вещественных чисел в комплексные — тоже всего лишь внешний признак, а суть у них разная.

Так я могу договориться до того, что число 13 не является частным случаем вещественных чисел, т.к. оно обладает свойством, которое не свойственно всем вещественным числам, а именно - делением на 13 нацело.

То что я написал выдало такой же результат как у тебя, т.к. эти суммы совпадают в первых 6-7 знаках после запятой (это дефолтное поведение %f, и ты extended тоже не использовал).

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main (void) {
    for (long double a = 100.L; a <= 10000000000.L; a *= 10.L) {
        long double s = 0.L;
        for (long double i = 1.L; i <= a; ++i) s += 1.L / powl(i, 1.000000001L);
        printf("%.21Lg\n", s);
    }
}

5.18737750708564409339
7.4854708367611659304
9.7876059937015528192
12.0901460636624601599
14.3927266275043670065
16.695311236036164744
18.997896244265976045

Теперь ты можешь видеть разницу. Ну и у gcc и __float128 есть.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=HarmonicNumber(1000000)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=HarmonicNumber(1000000, 999999918/999999...

Только какие выводы из этого ты сможешь сделать?

Как только ты сказал, что будешь 13 на что-то делить, ты уже сделал его частью множества чисел, на котором определена операция деления. Если после этого ты утверждает, что 13 не является частью этого множества, то ты получаешь противоречие. Если же я скажу, что действительное число не является частью комплексных, то никакого противоречия не будет: все свойства действительных чисел можно доказать не вводя даже понятия комплексного числа.

http://www.cis.twcu.ac.jp/~osada/thesis_osada.pdf

Convergent numerical sequences occur quite often in natural science and engineering. Some of such sequences converge very slowly and their limits are not available without a suitable convergence acceleration method. This is the raison d’ˆetre of the study of the convergence acceleration method.

Infinite integrals and improper integrals usually converge slowly. Such an integral implies slowly convergent sequence or infinite series by a suitable method.

Most popular slowly convergent sequences are alternating series as well as logarithmically convergent series.

A typical example of logarithmically convergent sequences is the partial sums of the Riemann zeta function

According to their origin we can classify practical logarithmic sequences into the following two categories:

(a) one from continuous problems by applying a discretization method.

(b) one from discrete problems.

There are many numerical problems in the class (a) such as numerical differentiation, numerical integration, ordinary differential equations, partial differential equations, integral equations and so on.

Ты вроде умный, зачем с дураком споришь?

«Не спорьте с дураком, сначала он низведет вас до своего уровня, а потом забьет опытом»

Как только ты сказал, что будешь 13 на что-то делить, ты уже сделал его частью множества чисел, на котором определена операция деления.

Лол, на остальных натуральных числах операция деления не определена? Либо излагай мысли четче, либо не пиши ерунду.

Если же я скажу, что действительное число не является частью комплексных, то никакого противоречия не будет.

Будет. Найди мне такое действительное число, которое нельзя записать в виде комплексного, т.е. то действительное число, которое не входит в множество комплексных чисел.

все свойства действительных чисел можно доказать не вводя даже понятия комплексного числа.

При чём тут это вообще? И да, не все свойства ты докажешь. Не выразишь ты связь числа e и числа pi. А они зависят друг от друга, как и тригонометрия зависит от числа e и числа pi. man формула(-ы) Эйлера.

Нет, не так же. Число, равное нулю, не является частным случаем числа, не равного нулю.

число может быть бесконечно малым. Тогда оно обладает почти всеми свойствами нуля.

Нельзя, предела в рамках рациональных чисел может не существовать.

это когда такое бывает?

Ну дроби, только для введения понятия предела дробей недостаточно, поэтому когда ты ставишь понятия «предельный переход» и «рациональные числа» в одной фразе, это ересь.

нет, не ересь. Да и предельный переход в условии задачи присутствует в явном виде.

Действительные числа — частный случай комплексных, не более того.

Ты бредишь? У действительных есть отношение порядка, у комплексных — нет.

а при чём тут отношение порядка? Зелёные собаки бывают более зелёные, и менее зелёные. Но кто зеленее, чёрная собака, и ли белая собака, сказать нельзя. Они обе не зелёные.

связь числа e и числа pi

связь числа e и числа pi не является свойством действительных чисел. в этом, собственно, и фишка

число может быть бесконечно малым

какое именно число? если говорить о вещественных числах, то утверждение, очевидно, ложно: для них справедлива аксиома Архимеда, и бесконечно малого среди них быть не может. чтобы их ввести, надо расширять R (см. гиперреальные числа)

Тогда оно обладает почти всеми свойствами нуля.

какими, например?

Не выразишь ты связь числа e и числа pi.

Ее и нет внутри множества вещественных чисел, потому что в эту формулу входит сущность, не определенная на множестве вещественных чисел, — мнимая единица. Можно ввести еще новую сущность, которая будет связывать любые два числа, и что?

P.S. Разговор окончен, у меня нет желания повторять одно и то же.

Можно было бы порассуждать про зеленых собак, но есть одно но: в отличие от тебя, ко мне они не являются.