Теория параболического зеркала для э/м излучения

… математически строго находим ответ - уравнение отражённой волны, позволяющее узнать напряженность поля в любой её точке?

Борн М., Вольф Э., Основы оптики ©.

Ты уверен что там решаются уравнения Максвелла для граничных условий параболического зеркала и плоской падающей волны, или тем более второй вопрос? Если да, то в каком месте искать?

И я наверно зря не уточнил, в вопросе идёт речь про длины волн сравнимые с диаметром зеркала, может быть даже большие этого диаметра, хотя по-моему словосочетание «короткая антенна» и так на это намекает.

Ты уверен что там решаются уравнения Максвелла для граничных условий параболического зеркала и плоской падающей волны

Там уравнения Максвелла решаются для граничных условий (полу)плоскости, емнип в главах о дифракционной теории аббераций.
А для параболического зеркала и длин волн сравнимых с диаметром зеркала готовых решений нету, ибо задача не учебная, нужно численно считать интегралы Френеля, возможно вариационным методом.

И второе, кажется посложнее

Глянь некоторые частные случаи для фокусировки параксиальных гауссовских пучков ©

Нафига я бы тему про учебную задачу стал создавать? Для любой учебной задачи ответ на «Где-нить есть уже сделанный честный расчёт?» очевидный ответ будет «да» и незачем было бы это спрашивать с моей стороны.

решений нету, ибо задача не учебная

Но логика странная - как будто решения только у учебных задач бывают.

нужно численно считать

Я так понял что уравнение отражённой волны из этого не получить, и вообще его не существует в аналитическом виде?

Ну если так, то может где-то есть тот расчёт, который сделать всё-таки можно? Задача то вполне очевидно возникающая, неужели никто её не считал? В неё любая попытка научно рассчитать параболическую антенну для любого радио упирается. Собственно такие антенны уже давно массово производят - не хочется верить что все их делали методом тыка и подгонов а не нормального расчёта.

вообще его не существует в аналитическом виде?

Ага, ибо аналитического решения интеграла Френеля нету, используют аппроксимации, например ©.

Задача то вполне очевидно возникающая, неужели никто её не считал?

В разных диапазонах ЭМ волн разные методы, например САПР СВЧ (PDF) ©.

P.S. Ещё попробуй поискать в журнале «Оптика и спектроскопия» ©.

речь про длины волн сравнимые с диаметром зеркала

Тогда скорее всего только численно, либо на основе FDTD (например программный комплексы meep или emtl, их много) либо через фурье (тоже есть какие то коды, надо гуглить).

Если интересует поле на бесконечности то все ещё хуже, см. расчёт дальнего поля через интеграл Кирхгофа.

у меня получается что отражённая волна будет иметь разную интенсивность на разных угловых направлениях

Так и должно быть:-)

отражённая волна будет иметь разную интенсивность на разных угловых направлениях

по памяти, ещё из советского института: так оно так и есть на самом деле. И внезапно даже за зеркалом

Вопрос интересный, и даже кажется, чуть более хитрый, чем сперва кажется.

Нужные фразы для гугла называются computational electrodynamics (в википедии есть прям длинная статья) и antenna modeling. По обеим фразам материалов куча, как и готовых программ для антен.

Но хочу отметить что уже даже фразы «плоская волна» и «сферическая волна» либо являются решением уравнений Максвелла без граничных условий, либо предполагают дальнюю зону.

В ближней зоне всё весьма хитро, например при Mie scattering поле раскладывается по сферическим (?) гармоникам. Как выглядит в зависимости от размеров например здесь на Wikipedia

Все правильно. Я бы посоветовал книгу Тафлова «вычислительная электродинамика», там есть все что нужно. Но, в общем случае, задача довольно тяжелая, особенно если нужно считать поле в дальней зоне.

Но хочу отметить что уже даже фразы «плоская волна» и «сферическая волна» либо являются решением уравнений Максвелла без граничных условий, либо предполагают дальнюю зону.

Я, конечно, имел ввиду не математически строгие смыслы этих слов. Возможно, это было неправильно в контексте того, что я хотел математически строгое решение. Имелось ввиду что на зеркало, в границах его площади, падает E0*sin(k*r-|k|*c*t), с вектором k параллельным оси зеркала и направленным в сторону зеркала, из чего по условию нулевого поля в проводнике находим напряжённость поля отражённой волны на зеркале (которая должна занулять падающую) и используем это как граничное условие для её расчёта. Под сферической волной имелось ввиду просто что-то, у чего амплитуды поля движутся по радиусам к фокусу зеркала и в каждый момент времени находятся на одинаковом расстоянии от него.

находим напряжённость поля отражённой волны на зеркале (которая должна занулять падающую) и используем это как граничное условие для её расчёта.

Если размер зеркала много больше длины волны то будет геометрическая оптика, дальше как то можно поучитывать волновую природу.

Но поскольку у Вас длина волны сравнима с размером зеркала, то на бумаге скорее всего решить это не получится.

Да я понимаю, и, возможно, постановка вопроса и задачи правильные…

Только, опять же, в деталях черт ногу сломит. Например, некоторые методы computational electrodynamics могут предполагать дальнюю зону (кажись RCWA); при этом они еще и скалярные. Например, очень-очень многие разделы оптики рассматривают скалярные поле (не B & E; когда-то quickquest указал что Mie scattering использует именно векторное поле и это для меня чуть ли не первый раз); а ты непременно просил векторы.

Если важна точность, то нужно принять во внимание как тарелку закрепили (наверняка ж металлическими стойками), где и как закреплен приемник-передатчик.

Скорее всего там еще масса тонкостей, о которых я понятия не имею.

У тебя нет измерительного оборудования. Даже если ты всё посчитаешь, то никак не сможешь проверить. А на глазок можно и без расчётов.

Я для усиления сигнала модем-свисток подвешивал в металической тарелке. Пять минут на поиск хорошего положения и готово. Матан ненужён.

https://www.youtube.com/watch?v=v0cZjOIfwos
https://www.youtube.com/watch?v=hVs6YLW5L9c
https://www.youtube.com/watch?v=UHVAP5sZV4g

А есть вообще разница кривое зеркало, плоское, да вообще произвольной формы? Можно же рассматривать зеркало любой формы как плоское, а его кривизну перевести в угол падания на него волны в конкретном участке на его поверхности (отражающей) и всё. Берёшь зеркало, кидаешь апстену мысленно разделяешь его по сетке на квадратики, в каждого квадратика будет некая кривизна, мысленно делаешь этот кусочек плоским, а к волне падающей на этот кусочек всегда под углом 90 прибавляешь кривизну зеркала. И всё. Зачем считать для всего зеркала, когда можно посчитать для любой его произвольной области, а потом как-то обобщить результаты

Но основная суть про что я говорю именно в том чтобы рассматривать не кривизну зеркала (это неудобно), а угол падения волны, который мы изначально считаем всегда равным 90, но с прибавкой того что мы отняли у зеркала, кривизны переведённой в угол

Закидайте меня какашками если я фигню несу хехе

Потому что есть интерференция, дифракция и прЫнцип Гюйгенса;-)

Все что Вы пишете в рамках геометрической оптики именно так и работает. Да и в рамках волновой тоже так работает (с точностью до некоторых нюансов), у-я Максвелла то линейные. Основной вопрос как именно складывать поле от этих кусочков и во что это встанет с вычислительной т.з.

Ну, я тут уже как наивное дитё могу только сказать.

А давай, не будем вычислять бесконечность, ну типа вот падает «объём» света на «кривое» зеркало, всё отразилось и начался ужос, ой чво происходит, всякое многое, в том же пространстве в котором и падающий свет и отражённый и всё с друг другом по разному дружит.

Короче, сначала как выше, разбиваем зеркало на части размером адекватные для значимости вычислений, от сантиметров до микрон, и так далее, трррр и сделали расчёт для каждого кусочка (с учётом ещё времени того как до какого кусочка дойдёт волна, отражать то во времени они тоже будут по разному от краёв к центру, пока до центра долетит, от краёв уже на улетит) затем замораживаем как бы время (мысленно) теперь, берёшь и разбиваем (хотя бы) пространство объёма внутри кривого зеркала на кубики, зеркало было у нас плоскими квадратиками, а пространство перед ним кубики, и делаем кубики размером ну каким-то, каждый кубик имеет позицию XYZ и теперь мы берём ВСЁ-ВСЁ-ВСЁ что рассчитали в квадратиках зеркала и смотрим что из этого вообще попало в объём кубика и считаем всё только для этого объёма, а дальше самое важное, теперь берём ещё и ВСЕ-ВСЕ-ВСЕ кубики что есть (для некоторых может ещё даже не быть расчётов поэтому их влияние нулевое) и делаем расчёты с тем кубиком с которым сейчас работаем, короче лавинообразно вычисляем всё. Ну и всё, затем мы буквально квантуем время, тик, лавинообразный расчёт, тик, лавинообразный расчёт и итогом мы имеем некую взятую нами пространственную область разбитую на кубы и у каждого куба есть состояние, сумма этих состояний и есть искомое, вся разница в «разрешении» насколько мы разобьём пространство. Может быть это не есть красива формула, в которую просто сунул вводные, и по произвольной координате взял результат, но будет типа приближение которого не хватит для так сказать теории, но может быть хватит для тупо практики, типа вот в этой области пространства перед зеркалом размером кубический сантиметр, напряжённость поля от сих до сих, пусть разброс будет грубым, но достаточным если мы один хрен имеем дело не с размерностями там молекул, а реально с сантиметрами и метрами, опять же, что там по волнам, они могу быть и милипузерными и много километровыми.
Это никак не перечит ни Гюйгенсам, ни интерференции, дифракции, мы лишь огрубляем результаты, делая расчёты состояния волны (и всех волн) в объёме пространства в «квант» или тик времени.

Основной вопрос как именно складывать поле от этих кусочков

А никак, ну в смысле как, но не для произвольной точности в произвольной точке пространства, а в конкретном объёме пространства учитывая всё что туда могло попасть исходя из расчётов каждого кусочка отражения и всех объёмов пространства вокруг текущего рассчитываемого.

Но так и останется всё по отдельности, общая же картина это лишь возможность узнать что вот в этих координатах XYZ пространства вот такие данные в объёме размером в N. Чем выше разрешение тем точнее результаты. Например для метровых волн нам бесполезно и в теории и на практике знать какая разница в напряжённости поля в двух точках пространства с расстоянием между ними в сантиметр.

Фух, всё сказка закончена, как смог так и навыдумывал :D

Поздравляю, Вы изобрели метод конечных разностей! Та-дааам, возьмите с полки пирожок… нет пирожка? А его уже взял господин Эйлер:-)

Вопрос именно в том что бы считать это все за разумное время на разумных мощностях. Причём поле в т.н. ближней зоне считается так как Вы сказали, а поле в дальней зоне считается через интеграл Кирхгофа (иначе уж больно много кубиков брать придется).

Ну и есть ещё всякие приближенных методы, когда на геометрической оптику пытаются натянуть волновое уравнение. Но дифракция при этом мне выходит толком

Вух какой я умный ыгыгыг, значит дело за малым, осталось придумать компуктер который всё это просчитает, они есть, но у них одна общая проблема, это тепло. Так что для расчётов нужно использовать не электроны, а фотоны, и не транзиторы, а переломление света. Берём значит типа свет, аля лазеры/мазеры/фигазеры у которых мы можем динамически менять волну излучения произвольно, затем берём куб, метр на метр, из спец стекла или иного силиката, затем в пространстве куба из стекла путём фокусировки внутри него нужной волной, плавим точку которая в зависимости от волны поглощения не просто плавится, а поляризует своё преломление и в добавок к этому переизлучает, итого в объёме куба появляется точка, которая преломляет в заданную сторону свет (считая проводник) и в добавок ещё переизлучает 1/2 в ином спектре (считай переключатель), вот этих двух штук хватит для трёхмерного выжигания в объёме любого логического элемента, конечно надо будет классическим способом направлять в куб данные изучая из в входные точки и классическим способом снимать через светочувствительные сенсоры, но это можно делать на террагерцовой частоте, охлаждая лишь приёмник и передатчик, а сам куб, сам вычислитель будет просто холодным (ну не совсем, но можно пренебрегать) и сколь угодно сложные вычисления теперь зависят лишь теперь от физически возможной скорости светоприёмников, светоизлучателей, а куб хоть в объёмной структуре своей построен из логических элементов, по сути чисто аналоговый.

За дело! Всё я больше не буду чушь тут пороть, но фанатазировать весело =)))

А когда надо очень быстро провести Фурье трансформацию, ну очень быстро, то отказываются от этих тормозных электронных компьютеров и берут старую добрую аналоговую оптическую линзу: Fourier transforming property of lenses.