Про интеграл Лебега

Зачем нужны вещественные числа, если есть рациональные? Полнота (в смысле сходимости последовательностей Коши). Хочешь не иметь проблемы с предельными переходами, со сходимостями функций и интегралов, иметь всякие клевые штуки, типа нормального распределения и пр., то тебе нужно нечто больше, чем просто интеграл Римана. Вот интеграл Лебега несколько улучшает ситуацию.

Примеры — ну, возьми функцию, которая задана на отрезке [0,1] и принимает значение 1 везде, за исключением рациональных точек — в них ее значение 0.

Ну еще можешь взять канторово множество — пусть на нем значение 1, в др. точках значение 0.

Помогите понять суть.

Если по-простому: у интеграла Лебега область определения — произвольное множество, у интеграла Римана — числовая прямая.

Вот где-то в этих книжечках видел обещание примеров функций, интегрируемых по Лебегу, но не интегрируемых по Риману и так и не нашел.

Пример: функция Дирихле.

Зачем нужны вещественные числа, если есть рациональные?

Может ёрничать не надо?

Полнота (в смысле сходимости последовательностей Коши)

Ну так я и спрашиваю, разве нельзя сделать пространство L([a,b]), например, используя интеграл Римана, а не Лебега? Разве оно не будет полным?

Примеры — ну, возьми функцию, которая задана на отрезке [0,1] и принимает значение 1 везде, за исключением рациональных точек — в них ее значение 0.

Ну функция Дирихле, да. А она так важна, что ради неё стоило создавать теорию? И всякие «сложные» измеримые множества, отличающиеся от объединения нескольких отрезков так часто встречаются?

иметь всякие клевые штуки, типа нормального распределения и пр

Вапще не понял, к чему это тут

Может ёрничать не надо?

А это прямая аналогия. Если не понял — извини.

Ну так я и спрашиваю, разве нельзя сделать пространство L([a,b]), например, используя интеграл Римана, а не Лебега? Разве оно не будет полным?

Нет, полным не будет.

Ну функция Дирихле, да. А она так важна, что ради неё стоило создавать теорию? И всякие «сложные» измеримые множества, отличающиеся от объединения нескольких отрезков так часто встречаются?

Ты просил примеры — я тебе их дал. Сложные измеримые множества состоящие из объединения СЧЕТНОГО числа отрезков встречаются очень часто, как предельные переходы вполне обычных штук.

Вапще не понял, к чему это тут

Жаль. Это очень хороший пример. Попробуй построить плотность распределения случайной величины из ЦПТ (откуда оно собственно и появляется в жизни).

Вот где-то в этих книжечках видел обещание примеров функций, интегрируемых по Лебегу, но не интегрируемых по Риману и так и не нашел. Бида-печаль.

плохо искал. Туча их. Например функция Дирихле:

f(x)=1, если x - рациональное число, и f(x)=0, в другом случае.

Пространства L^p и с интегралом Римана можно построить, разве нет?

нет. в частности из-за того, что в случае интеграл Римана не обладает тем свойством

[latex]\int f(x)dx[/latex] существует, то существует и [latex]\int |f(x)|dx[/latex]

Ах да, есессно интеграл Лебега не делает интеграл Римана ненужным. Есть достаточно случаев, где интеграл Римана является более «тонким», чем интеграл Лебега.

Подводя итог, можно сказать, что физического смысла у интегрирования по Лебегу нет.

Подводя итог, можно сказать, что физического смысла у интегрирования по Лебегу нет.

физического? Не более и не менее, чем в интеграле по Риману.

Интеграл Лебега определен на множестве, имеющем меру Лебега, емнип. Это намного более широкое понятие, чем числовая прямая.

Расскажи мне про физический смысл операторного исчисления. Что, его нет? А тем не менее в квантах без него никуда.

Там есть состояния, операции суперпозиции и т.п. Вполне физический смысл.

А у интеграла по Риману тоже есть смысл — площадь фигуры.

Ты мне сейчас привел примеры. Примеры не определяют физический смысл. Можно приводить второй закон Ньютона как пример диф. ур-ния. Но смысл диф. ур-ов не сводится к второму закону Ньютона.

А у интеграла по Риману тоже есть смысл — площадь фигуры.

а ты никогда не думал почему у Ряда Фурье есть такое свойство, что если он сходится, то он сходится и абсолютно?

надеюсь тебе не надо объяснять зачем это нужно физикам?

Не думал. И что ты имеешь в виду под "сходится абсолютно"? Я уже матан за ~12 лет забыл напрочь!

А можно пример - чтобы функция интегрировалась, а её модуль - нет?

А можно пример - чтобы функция интегрировалась, а её модуль - нет?

sin(x)/x на интервале (0,inf).

Не думал. И что ты имеешь в виду под «сходится абсолютно»? Я уже матан за ~12 лет забыл напрочь!

на вики все это написано. Не будь лентяем. Но если не хочешь вообще думать, то просто скажу, что без этого свойства ты не получишь метода решения краевой задачи с помощью рядов. Ну например, задано начальное положение натянутой струны и надо посчитать как она будет колебаться, с какими гармониками.

А с чего бы это не интегрировался |sin(x)/x|? Ну, будет бесконечность. Но интеграл-то существует и очень даже интегрируется!

А с чего бы это не интегрировался |sin(x)/x|? Ну, будет бесконечность. Но интеграл-то существует и очень даже интегрируется!

в моем посте, на который ссылался Xellos, я под понятием «интегрируется» понимал существование интеграла в смысле «конечности».

А. Тогда вопрос снимается.

Подводя итог, можно сказать, что физического смысла у интегрирования по Лебегу нет.

Есть: математическое ожидание случайной физической величины - это интеграл Лебега этой величины по вероятностному пространству.

P.S. В некоторых учебниках дают пример «физического смысла» для домохозяек:
«Ну представьте, есть у вас гора денег разного достоинства, которая в стопку сложена. Как считается по Риману? Подряд. А как по Лебегу? У меня есть 5 бумажек по 5 рублей, т.е. 25 рублей, 2 бумажки по 3 рубля, т.е. 6 рублей, а потом эти числа складываете. Результат-то такой же получится, но способ подсчета отличается радикально!» :)

для абсолютной сходимости таки да, надо, чтобы функция f(x) была липшиц-непрерывной, тогда да.
Но так или иначе - это имеет ключевое значение в данном случае.

Я строил когда-то содержательный пример такой функции. Извините, что не ТеХом - не освоил его.

Пусть q_n - n-е рациональное число. Рассмотрим функцию f(x) := sum [n=1..inf, 2^-n * sin(1/(x-q_n)) ]. В рациональных точках она не определена - дополняем 0 (непринципиально). В иррациональных точках значение есть, потому что ряд сходится абсолютно. Функция вообще ни в одной точке не непрерывна. А интеграл Лебега на любом отрезке есть.

Если мы в наше пространство функций включаем хоть что-то разрывное, то и вот таких кадавров оно должно принимать в свои ряды. Иначе при каждом предельном переходе придётся доказывать, что не верблюд. Зачем?

Кстати, интересно, где-то в численных алгоритмах применяется тактика «сначала сортируем по кучкам, потом суммируем»? По идее, это должно уменьшать накопление ошибок в некоторых случаях...

Мне хочется просто написать «спасибо за пост». Многое со времен мехмата забывается. А без таких напоминаний, когда кому-то действительно интересна идея, кажется что математика больше ненужна. Сейчас я просто почитал вики и немного освежил знания. Пока еще не начал искать конспекты.

Но, все же, математика - это прекрасно!