Пространства дробной размерности

ИМХО, фракталы, как таковые, и есть структуры, существующие в мирах дробной размерности. но наш мир, мир, доступен нашему пониманию - трехмерный. смирись с этим...

пи-мерное пространство существует разве что в головах фантастов. В частности у Гаррисона я впервые столкнулся с таким понятием. Кажется...

> В частности у Гаррисона

прочитал все "Эдемы" Гарисона, но не сталкивался... какая книга?

Просто интересно, чем наш трехмерный мир отличается от 3.01-мерного? ;) Возможно ли в них существование материи (теоретически)?

А вот хрен его знает. Или не у Гаррисона, а у Головачева... я стоко фантастики прочитал что все путается в голове :)

А почему нет? мы существуем в 3х координатах, почему кто-то не может существовать в 3.01?

Тогда интересно, в чем будут отличия, если разница в размерности будет порядка 0.1? ;)

Нивчем. Ты их просто не заметишь - сам будешь такой же мерности :)

Тогда по идее все тела должны иметь какую-то форму в новом измерении... Вчера кстати долго разглядывал вращение четырехмерного куба в заставке Polytopes xscreensaver'а, и решил что мосг не в состоянии понять 4-d мир, хотя картинка вполне предсказуема и легко рисуется...

> Препод в универе сказал что в таких теориях определение размерности дается подругому

если для покрытия множества шарами малого радиуса $r$ требуется порядка $r^(-d)$ шаров, говорят что множество имеет хаусдорфову размерность $d$.

снежинка коха например имеет хаусдорфову размерность больше чем 1 но меньше чем 2, а траектория броуновского движения -- размерность 2.

линейных пространств дробной размерности не бывает.

Да, вот нашел еще в википедии ("Фрактал")

В евклидовой геометрии есть понятие размерности: размерность линии — единица, размерность круга — два, шара — три. Например, если мы будем измерять длину прямой, то, например, метровых отрезков в ней будет N, полуметровых 2N, дециметровых — 10N и так далее. В данном случае наблюдается прямая пропорциональная зависимость. В случае измерения площади мы уже получим следующие значения: 4N, 100N, то есть здесь зависимость уже квадратичная. Объём трёхмерных фигур пропорционален кубу их линейных размеров.

Если попытаться применить эти правила к фрактальным объектам, возникает парадоксальная ситуация — их размерность окажется дробным числом. Так как фрактал состоит из бесконечного числа повторяющихся элементов, невозможно точно измерить его длину. Это означает, что чем более точным инструментом мы будем его измерять, тем большей окажется его длина. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное. Таким образом, фрактальная размерность кривой Коха или «колбасы» Минковского будет находиться между 1 и 2.

Самым удивительным оказывается то, что и многие природные объекты обладают как бы дробной размерностью, хотя, строго говоря, для природных объектов такую размерность вычислить невозможно. Правильнее сказать, что в определённых диапазонах наблюдения природные объекты, возникшие в результате долгой диффузии и абсобции, похожи на фрактальные множества. Например, размерность побережья лежит между 1,01 и 1,6, а кровеносной системы человека — между 2,4 и 2,6.

Насколько я понял, понятие "пространство дробной размерности" вообще не определено, а эта самая размерность Хаусдорфа — Безиковича определена для любого множества. И если физически размерность (Лебега) любого тела равна размеру пространства в котором оно находится, то если попытаться придать физический смысл пространству дробной размерности, поулчится глупость, т.к. в таком пространстве должны существовать только объекты _точно_ такой же размерности, а дробная размерность объекта зависит от его "степени извилистости"...

Надо подумать...головой. ;)

Что-то вроде этого ;)

> в таком пространстве должны существовать только объекты _точно_ такой же размерности

точка -- объект размерности нуль -- и может существовать в пространстве любой размерности.

а если к точке приблизиться, окажется что она вовсе не точка а волновая функция -- волновая функция на фрактале вполне может быть определена.

Значит, если вспомнить про к.-в. дуализм, в пространстве могут физически существовать объекты меньшей размерности? Тогда выходит, что если размерность нашего пространства 3.01, то тела могут иметь очень простую форму в новом измерении...

Примеры размерностей для различных фракталов - http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension

Ладно, пойду посплю, может к утру новые мысли придут =)

Из литературы порекомендую Б. Мандельброт "Фрактальная геометрия природы" //nebm51

Интересно она еще осталась в магазинах? Нашел только http://www.kdu.ru/description.aspx?product_no=62424 ...

а есть у кого-то рисунки этих самых фракталов?

Гугл. Множество Мандельброта.

Вот пакетики

>> apt-cache search fractal                                               ~
cl-typesetting - a Common Lisp typesetting library
fractxtra - Fractint extras collection
caps - C* Audio Plugin Suite
electricsheep - screensaver showing collective dream of sleeping computers
gpe-julia - Julia/Mandelbrot set generator for GPE
junior-math - Debian Jr. educational math
libnoise-dev - a portable, coherent noise-generating library for C++
libnoise0 - a portable, coherent noise-generating library for C++
synfig - vector-based 2D animation package
terraform - A height field manipulation program
wmmand - a dockable Mandelbrot fractal browser
xaos - real-time interactive fractal zoomer
xmountains - fractal landscape generator for X
lg-issue10 - Issue 10 of the Linux Gazette.

Считается, что например плоскость - двумерное. Возмём лист бумаги. Нарисованое на этом листе будет двумерное. Представим живущих там двумерных существ, которые не ведают про третье измерение. Они ползают по ему и не могут представить ни верха ни низа, только стороны. Изогнём лист. Для нас он перестанет быть плоским и сделаецо объёмным, трёхмерным. Существа, ползающие по ему, этово не заметят, Патрик не дал им видения другово измерения. Но при желании они смогут догадаться, плоский лист или нет. Если построят треугольник и с большой точностью измерят сумму ево углов, она будет отличяться от 180 когда лист изогнут. ,

Хм, а если они жывут на вытянутой кривой Коха? Ее размерность где-то 1.2, плюс еще одно измерение (за счет вытягивания)? ;)

Ну, жывут так жывут. Не понял вопроса.

В смысле чем их геометрия будет отличаться от Евклидовой? ;)

А прикольная геометрия получицо. Ничё общего с Евклидовой. Расстояние меж любыми двумя точками - бесконешность :/ Так жыть нельзя ИМХО.

Ну почему же ;) Для того чтобы получить это бесконечное расстояние нужны приборы с бесконечной точностью, а с обычной линейкой все будет очень даже конечным ;)

Кстати наткнулся вчера на интересную заметку в одном быдложурнале - "Воздействовав на кристаллы сверхсильным магнитным полем, исследователи сделали вещество двухмерным"... Буду гуглить по "Лаборатории сильных магнитных полей в Лос-Аламосе", "Нейл Харрисон"...

Есть еще желание про размерность пообщаться? Заведи новую тему. Я этим систематически занимался...

Ок, как приеду из универа - сделаю.

Любой предмет будет иметь безконечную длину, и расстояние между любыми двумя метками на линейке тоже, так что с приборами будет явный напряг :D.