Пространства дробной размерности (продолжение)

> Тогда могут ли физически существовать пространства с дробной размерностью Хаусдорфа?

Вспомни историю открытия фракталов.

Длина береговой линии _действительно_ бесконечна, и размерность ее фрактальная.

Насчет того, что наш мир трехмерен (ок, 3+1 локально псевдоевклидов) -- это эмпирический факт, но справедлив этот факт только в рамках определенной шкалы по пространству и времени. На слишком маленьнких или больших пространственных дистанциях размерность, скорее всего, другая. То же про временнЫе интервалы: например, распространенная модель с инфляцией требует, чтобы в далеком прошлом мир был евклидов, а не псевдоевклидов, как сейчас, а еще "раньше" пространства вообще не существовало.

А теории Калуц-Клейна мир 5-мерен, но по одной координате простпранство цилиндрическое или циклическое с планковским периодом. Наиболее распространенные модели (супер)струн требуют таких же периодических многомерных пространств ("компактифицированных на тор", например). То есть, если бы мы были достаточно маленькими, мы бы увидели еще много измерений.

Первым, кто догадался измерить размерность пространства физически, был Галилей. Систематически исследовал статус трехмерности пространства первым, наверное, Эренфест. Теперь напридумывали много свидетельств трехмерности вплоть до планковских масштабов. У Горелика есть околофилософски-математическая книжка про это. В МГУ есть такой Ю.С. Владимиров, который долго занимался тем, что пытался построить многомерныю теорию поля, попутно выяснив, почему же мы наблюдаем 3-мерность. Сейчас этим все струнщики заняты, только более систематически: компактификацию лишних измерений пытаются получить как естественный вывод из теории.

Помимо Хаудсдорфовой размерности есть еще и более экзотические звери. Например, самая распространенная система борьбы с расходимостями в квантовой теории поля основана на т.н. размерной регуляризации, когда все объекты живут в d-мерии, где d -- КОМПЛЕКСНОЕ число!

Всё зависит от определенй, т.е. что именно мы понимаем под размерностью. Если следовать определению размерности как показателю зависимости объёма шара от радиуса, то да, можно получить дробную размерность. Однако, ИМХО под размерностью более реалистично понимать размерность базиса, т.е. количество параметров, однозначно определяющих положение геометрической точки в пространстве. Ведь, хотя размерность береговой линии выведена дробной, не следует забывать, что сама береговая линия например или фрактал построены и существуют в пространстве целочисленной размерности. И когда говорят, что чем больше точность инструмента, тем больше длина линии, почему-то дипломатично опускают, что длина эта меряется в двумерном пространстве. В привязке к самой береговой линии же любое расстояние безконешно, в т.ч. и инструмента, независимо от ево точности. Пока мы не получим геометрию, действительную в пространстве дробной размерности, без оглядки на вместилище этово пространства, т.е. непротиворечивое понятие координат точки, расстояния меж точками, плоскости как геометрического образования, однозначно описываемого N точками, замкнутой фигуры, состоящей из плоскостей и тд и тп, о пространствах дробной размерности можно говорить только как о математическом фокусе.

> Например, самая распространенная система борьбы с расходимостями в квантовой теории поля основана на т.н. размерной регуляризации, когда все объекты живут в d-мерии, где d -- КОМПЛЕКСНОЕ число!

Ambjorn рассказывает, что в его теории квантовой гравитации (спектральная) размерность пространства-времени на малых расстояниях уменьшается с четырёх до двух -- в результате раcходимости исчезают

Я тоже думал над размерностью базиса, но вспомнил еще и тот факт, что некоторые координаты могут быть несущественны (сколь угодно мало влиять на геометрию), например координаты по измерениям, замкнутым самим на себя (см. выше). В таком случае выбор размерности базиса зависит от требуемой точности. Вспомним тех же муравьев на бумаге, не сосзнающих третьего измерения. Если бумагу согнуть, геометрия на ней не изменится, а если обернуть ей сферу или замкнуть ее в цилиндр, получим Риманову геометрию (ОТО) или замкнутое само на себя измерение соответственно (другие теории).

На счет возможности (физического) существования пространост с бОльшим числом измерений, интересно было бы их рассмотреть при равноправии измерений (т.е., например, если в 2d фронт световой волны, испущенной точечным источником, является кругом, то в 3d он являлся бы сферой, 4d - гиперсферой и т.д.).

Из статьи с мембраны (ссылка в первом посте) видно, что магнитное поле в нашем пространстве может стать двумерным, хотя для остальных полей это неизвестно. Допустив такую возможность, можно предположить, что наше пространство локализовано в четырех- (или более) мерном пространстве с равноправными измерениями...

На счет дробности измерений, береговая линия все-таки физически не является пространством, хотя ветвистое дерево - является, для ползающей по нему гусеницы, не представляющей объем. Но интереснее было бы рассмотреть геометрию двумерного (топологически) пространства, которое образует, например, вытянутая вдоль Z кривая Коха...

> В таком случае выбор размерности базиса зависит от требуемой точности. Вспомним тех же муравьев на бумаге, не сосзнающих третьего измерения.

В этом случае ИМХО зависит не от точности а от представлений жителей. Если тебя например поместить в тор, это будет аналогия двумерного мира, свёрнутого в цилиндр. Геометрия покажет, что ты, блуждая возвращаешся в исходную точку, потому что идёш непрямо - тор искривлён в одном из трёх измерений, про который ты ведаеш. Любая прямая, проведённая в этом торе, не будет замкнута. Жители свёрнутого в цилиндр двумерного мира, не осознающие третьего измерения, не смогут понять, почему некоторые из прямых замкнуты. Те же прямые, которые мы видим как спирали после сворачивания в цилиндр, для них будут оставаться прямыми. Линия геометрически может выражаться как зависимость прямого расстояния между двумя лежащими на ей точками. Для них расстояние одной точки до другой лежащей на этой прямой будет линейным а для тя - циклическим. Потому что ты знаеш как спрямить расстояние через третью координату а оне - нет.

> Если бумагу согнуть, геометрия на ней не изменится, а если обернуть ей сферу или замкнуть ее в цилиндр, получим Риманову геометрию (ОТО) или замкнутое само на себя измерение соответственно (другие теории).

Не совсем так. В промежуточном состоянии будет некоторые локальные изменения в геометрии, после замыкания на себя произойдёт скачёк в глобальной геометрии - для объектов, чьи размеры сравнимы с размерами пространства, а локальные изменения геометрии не будут скачкообразны.

anonymous (*) (16.06.2006 20:39:01):

> Ambjorn рассказывает, что в его теории квантовой гравитации (спектральная) размерность пространства-времени на малых расстояниях уменьшается с четырёх до двух -- в результате раcходимости исчезают

Ну, довольно известный факт, кстати, иногда используемый для спекуляций вокруг обоснования трехмерности нашего пространства, что расходимостей нет в размерности < 3 и они неустранимы в размерности > 3.

bugmaker (16.06.2006 20:06:54):

> Однако, ИМХО под размерностью более реалистично понимать размерность базиса, т.е. количество параметров, однозначно определяющих положение геометрической точки в пространстве.

Не так все просто.

Чисто математически, даже минимальные многообразия могут иметь _переменную_ размерность. Фоменко любил иллюстрацию с мыльной пленкой, схлопывающейся в ниточку.

А скока параметров определяют точку на горизонте событий в черной дыре?

Словом, проблема старая, почтенная и копий сломано немало. Общепринятым является определение топологической размерности именно через покрытия. При этом даже физическое пространство (в рамках ОТО) может иметь геомертические особенности, приводящие к локальным изменениям размерности.

И, однако, существует отображение Пеано... ЛЮБОЙ континуум можно параметризовать отрезком!

AiLr (16.06.2006 21:08:01):

> Если бумагу согнуть, геометрия на ней не изменится, а если обернуть ей сферу или замкнуть ее в цилиндр, получим Риманову геометрию (ОТО) или замкнутое само на себя измерение соответственно (другие теории).

Во избежание недоразумений, в этой фразе Риманова геометрия относится только к обернутой сфере, а замыкание в цилиндр оставляет геометрию плоской. Это т.н. компактификация одного измерения, локальная геометрия при этом не страдает.

> А скока параметров определяют точку на горизонте событий в черной дыре?

ахез. Вполне возможно что Чорная Дыра - редуцированое до 0-мерности, т.е. внутри себя является точкой. Достоверно всё одно никто не знает.

> Чисто математически, даже минимальные многообразия могут иметь _переменную_ размерность. Фоменко любил иллюстрацию с мыльной пленкой, схлопывающейся в ниточку.

> И, однако, существует отображение Пеано... ЛЮБОЙ континуум можно параметризовать отрезком!

всё правильно. Это только вопрос представления. Отрезок вмещает столько же точек, сколько и куб с длиной ребра, равной длине этого отрезка. Но это не будет либо непрерывным либо взаимно однозначным, а размерность сохраняется только если оба этих выполнены. Брауэр про это пишет. Вот, только при сохранении непрерывности, сохраняется понятие расстояний и направлений, которое и зависит от размерности базиса. Посему, невозможно создать отображение например двумерного на трёхмерное, если изначально трёхмерное отсутствует, а только "увидеть" что трёхмерное "вмещает" двумерное. Точно так же и с любой размерностью - меньшая будет только означать что описываемый объект "не использует" все параметры размерности, а не то, что он имеет меньшую размерность, и о дробной, как и о любой другой размерности имеет смысл говорить только в рамках редуцирования размерности, а не отображения.

Наткнулся тут на философско-околонаучную статейку по сабжу - http://psylib.ukrweb.net/books/uspen01/txt02.htm

Что-то в этом есть...

> что именно мы понимаем под размерностью

под размерностью давайте понимать любое разумное обобщение, которое на простых примерах совпадает с целочисленной размерностью.

> т.е. непротиворечивое понятие координат точки

почему обязательно для геометрии вводить координаты?

> размерность базиса, т.е. количество параметров, однозначно определяющих положение геометрической точки в пространстве

почему не может быть так, что Н параметров определяют не однозначно, а Н+1 -- уже избыточно, т.е. либо не всегда корректно, либо для одной точки несколько вариантов?

> не следует забывать, что сама береговая линия например или фрактал построены и существуют в пространстве целочисленной размерности

тоже не обязательно. например чтобы определить спектральную размерность, достаточно определить диффущию (случайное блуждание) на фрактале, и существование какого-то конкретного объемлющего пространства здесь не предполагается

вообше должно быть очевидно, что если всё сводить к линейному, никакой дробной размерности никогда не получится

> почему обязательно для геометрии вводить координаты?

вообще-то может и не обязательно. Однако попробуй постулировать геометрию без координат.

> почему не может быть так, что Н параметров определяют не однозначно, а Н+1 -- уже избыточно, т.е. либо не всегда корректно, либо для одной точки несколько вариантов?

потому что это отрицательное определение было бы, а нужно положительное чтобы юзать.

> чтобы определить спектральную размерность, достаточно определить диффущию (случайное блуждание) на фрактале

да, это так. Но попробуй постулировать само построение фрактала не прибегая к целочисленным координатам.

> вообше должно быть очевидно, что если всё сводить к линейному, никакой дробной размерности никогда не получится

это пока не доказано, является ли целочисленное пространство единственно возможным, или мы неспособны выразить дробномерное иначе чем через целочисленное.

bugmaker:

> невозможно создать отображение например двумерного на трёхмерное, если изначально трёхмерное отсутствует, а только "увидеть" что трёхмерное "вмещает" двумерное.

Как-то сложно все это...

Размерность принято определять через покрытия. При этом размерность оказывается топологическим инвариантом.

Если многообразия не паталогичны, размерность оказывается целочисленной.

Для дифференцируемого многообразия все вообще инвариантно: касательное пространство -- линейное векторное пространство, размерность которого задается базисом.

Для нехаудсдорфова многообразия все немного сложнее, но идеи те же...

> Размерность принято определять через покрытия

да, принято. Вопрос только, полученый результат имеет чёнибудь общее с размерносью, или это математический формализм?

2bugmaker:

Ну хорошо -- а площадь фигуры имеет чёнибудь общее с площадью фигуры, или это математический формализм?

Про фигуры можно сказать, что площадь имеют только КВАДРИРУЕМЫЕ фигуры,

Похоже про размерность многообразий! Если хочешь, можешь принять, что имеет смысл говорить про размерность только у тех многообразий, в которых она целая.

Математика, ей же все равно, что описывать... Почему ты непременно хочешь, чтобы трехмерное линейное векторное пространство моделировало именно пространство твоей комнаты, а не какую-нибудь векторную модель релевантности поиска, или, скажем, RGB модель? Ты знаешь, что такое обобщенные координаты Лагранжа? А про фазовое пространство слыхал?

Конечно, можно все это объявить мат. трюками. Однако, в свое время Тарталья проиграл поединок Феррари именно потому, что не понял, что ими были открыты мнимые числа. И поэтому мы помним про формулу Кардано и метод Феррари, а вот кто такой Тарталья? -- а он все эти формулы вывел, BTW! Но не понял их.

Еще пример -- Эйнштейн и Пуанкаре.

ИМХО к математике надо относиться серьезно. Если че получается, оно обычно неспроста...