[матан] топология, классы эквивалентности

> только вот одна из них гаусдорфова

Может все-таки хаусдорфова?

У той, у которой рога вниз, рассмотрим вертикальные линии, примыкающие к области с рогами, т.е. края рогатой области.

Считаем, что линия A принадлежит некоторой окрестности линии B, если ее захватывает некоторая окрестность точки из B.

Тогда окрестности левой граничной линии это некоторая полоса слева, состоящая из вертикальных линий и «арка» из линий, захватываемых окружностью с центром на левой линии. При этом захватываются все линии лежащие выше некоторой, касательной к окрестности точки на левой линии.

У правой граничной линии то же самое. Т.о. _все_ окрестности правой и левой граничных линий пересекаются. Т.о. это не T2.

В другом случае окрестность левой граничной линии это некая полоса слева + линии, лежащие _выше_ некоторой, а окрестность правой - это линии, лежащие _ниже_ некоторой. И выбрав малые окрестности точек на линиях, мы найдем тем самым некоторые окрестности правой и левой линии, которые не пересекаются

>У правой граничной линии то же самое. Т.о. _все_ окрестности правой и левой граничных линий пересекаются. Т.о. это не T2.

Спасибо!

а я искал точки, которые и в R² близко к друг-другу расположены.

По-видимому, эти 2 линии - единственные неотделимые элементы.

я вот сейчас думаю дальше:

есть утверждение, что если отображение f: X->X/~ является открытым отображением (если A \in X открыто, то f(A) тоже открыто в X/~) и отношение «~» закрыто, то тогда X/~ \in T₂ (то, что X \in T₂ - принимаем также за условие).

и вот я сейчас ищу, в каком месте отображение f: R²->R²/~ не является открытым в примере с рогами вниз.

> отношение «~» закрыто

не совсем понял

>> отношение «~» закрыто

не совсем понял

пусть отношение ~ == R.

тогда ~ на X закрыто (по определению) <=> R \in XxX, закрыто в XxX.

границы в интервале

> в каком месте отображение f: R²->R²/~ не является открытым

Вроде как оно открыто. Как мы вводим топологию в X/~:

у нас есть линия. Мы берем точку на ней, берем ее окрестность в R2, смотрим все линии, захватываемые этой окрестностью и объявляем это окрестностью в R2/~.

При таком подходе R2 -> R2/~ открыто изходя из самого определения окрестности в R2/~

>>Как мы вводим топологию в X/~:

у нас есть линия. Мы берем точку на ней, берем ее окрестность в R2, смотрим все линии, захватываемые этой окрестностью и объявляем это окрестностью в R2/~.

не совсем. Мы говорим, что можество A \in X/~ открыто (то есть принадлежит топологии) если множество точек, входящих в классы эквивалентности, захватываемые A также открыто.

так. что-то я не понимаю:

1) возьмем окресность точки, расположенной точно посередине. соответствующие классы эквивалентности будет множество рогов (допустим B). Правильно ли я понимаю, что это множество не является ни закрытым, ни открытым.

Так как с одной стороны оно закрыто: возьмем точку на конце любого рога, окресность такой точки будет захватывать вертикальные линии. Теперь возьмем множество X\B в нем мы так же можем найти точку (например, как раз посередине), любая окресность которой будет захватывать рога из B.

=> множество B не является открытым в топологии X/~.

А значит отображение f: X->X/~ не является открытым.

Но теперь мы можем совершенно так же доказать, что и отображение f на втором примере (где рога вверх и вниз) так же не есть открытым! Но в этом примере X/~ как раз есть T₂.

Где моя ошибка?

> Где моя ошибка?

Ну например A -> B не значит, что из !A -> !B

>> Где моя ошибка?

Ну например A -> B не значит, что из !A -> !B

Чорд! Вроде ж я как раз об этом думал. А таки недодумал :)