длина sin(x) за полный период

На экзамене сидишь?

линии нарисованной чем? пикселями? карандашом? какой такой линии? что ты несешь?

ехал сёдня на велике у которого спидометр и линейка сбилась обнаружил что он намерил 2.5 круг как 4.

это если считать что я ехал по прямому кругу . а если я ехал по синусоиде по кругу . при какой ширине трека(и возможной амплетуде) и частоте колебание колеса вокруг средней линии по синусоиде спидометр может быть исправным?

пусть масштаб x1 y1

есть синусоида от 0 до 2pi

в каком отношении длина участка синусоиды( образованой y=sin(x) ) от 0 до 2pi к отрезку абцисы от 0 до 2pi

это единичная окружность, не?

её развёртка при равномерном прокрутке ленты когда карандаш движется по окружности равномерно.

pi^2

Можно дать оценку 7.6400

примерно 7.64

считается элементарно: длина участка кривой f(x) при приращении dx равен по теореме Пифагора sqrt(dx^2+f'(x)^2dx^2) = sqrt(1+f'(x)^2)dx. теперь интегрируй данное выражение от 0 до 2pi.

получится int(sqrt(1+cos(x)^2),x=0..2*Pi);

И да, интеграл неберущийся.

не единичная, а с диаметром pi

т.е такая элементарная задача не по зубам школьному году когда знакомят с синусоидой/косинусоидой (5-6 класс) и основным уравнением s**2+c**2=1

????

http://funkyimg.com/i/Dcsb.jpg

оно?

это единичная окружность, не?

Лол. А ничего, что период 2pi, минимум -1, максимум 1.

а если я ехал по синусоиде по кругу
спидометр может быть исправным

но тебя посадят не за превышение, а за пьянство!

т.е такая элементарная задача не по зубам школьному году когда знакомят с синусоидой/косинусоидой (5-6 класс) и основным уравнением s**2+c**2=1

не по зубам совершенно. это матан первого курса инженеров.

Если дать википедию, то по зубам: ищем график синуса, затем эллипс, затем периметр эллипса.

ехал сёдня на велике у которого спидометр и линейка сбилась обнаружил что он намерил 2.5 круг как 4.
это если считать что я ехал по прямому кругу . а если я ехал по синусоиде по кругу . при какой ширине трека(и возможной амплетуде) и частоте колебание колеса вокруг средней линии по синусоиде спидометр может быть исправным?

циклическая частота будет равна ~1.85. А значит обычная 0.29Гц.

//fix короче, ты двигался по синусоиде sin(1.85 x). А какая это частота - сами разбирайтесь :)

Если дать википедию, то по зубам: ищем график синуса, затем эллипс, затем периметр эллипса.

агащаз. Чтобы посчитать интеграл надо хотя бы какой-нить CAS уметь пользоваться. Ну или современным калькулятором.

http://funkyimg.com/i/Dcsb.jpg
оно?

я выбил себе челюсть об стол.

7.64040

----------------------

L = \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\cos(\arctan(\cos x))} \, dx

(и wolfram integrator)

Не надо считать интеграл, надо найти приближенную формулу. Очевидно же, что там не эллипс, но примерно, с погрешностью, можно считать, что это эллипс и, опять же, с погрешностью, юзать приблизительную формулу периметра эллипса.

На самом деле там вот такая штука.

я затупил :) пардон

я к тому , что когда придумываеш задачку из «реальной жизни» оказывается что школьных трюков не всегда достаточно.

т.е неберущийся т.е длина синуса не элементарная функция??? хм.

а может как нить школьным курсом можно обойтись для получения аналитически ответа?

Не надо считать интеграл, надо найти приближенную формулу. Очевидно же, что там не эллипс, но примерно, с погрешностью, можно считать, что это эллипс и, опять же, с погрешностью, юзать приблизительную формулу периметра эллипса.

если уж считать руками этот интеграл, то с помощью ряда Тейлора. А-то вы еще «яйцами» измерять начнете.

это график длины(алгебраической т.е отрицательные значения вычитаются) графика синуса от нуля до x?

хм тока ведь длина то монотонно растёт так что график должне тоже «неубывать»

Да ладно, погрешность всего порядка 2%.

ну если приближённо , как её оценить?

а может как нить школьным курсом можно обойтись для получения аналитически ответа?

аналитический ответ получить нельзя. Интеграл этот неберущийся не в смысле для школьников неберущийся, а в смысле, что вообще неберущийся. Его можно считать только приближенно.

школьным курсом тут, увы - не обойтись. Хотя бы потому, что даже если ты посчитаешь каким-то раком длину линии sin(x) (например ниткой померяешь), то потом же тебе все равно надо решить задачу по нахождению такого параметра k в sin(kx), чтобы int(sqrt(1+k^2*cos(x)^2),0..2*pi) был равен нужному числу.

А это уже численные методы, ряды Тейлора и другой матан.

это график длины(алгебраической т.е отрицательные значения вычитаются) графика синуса от нуля до x?

Это я разрезал полный период синусоиды на две половины и одну сместил влево на pi, чтобы получилось подобие эллипса. Затем посчитал по формуле для эллипса с погрешностью в пару процентов =) Чит, да.

ну если приближённо , как её оценить?

А вот задача оценки погрешности уже не для школьника. Здесь без интегралов будет сложно. Так что только на глазок.

оказывается что школьных трюков не всегда достаточно

Программировать учат в 5 или в каком там классе. На бейсике посчитать примерную длину этой линии несложно.

Нарисовать и пробежаться по картинке в поисках пикселей линии? :D

Программировать учат в 5 или в каком там классе. На бейсике посчитать примерную длину этой линии несложно.

прочти собственную задачу в начале треда. Подсчет интеграла - это далеко не самое сложное там.

Это где про велосипед и пьяного велосипедиста? Там два параметра (амплитуда и частота), тут уже с BASIC будет трудно.

Так что берём VisualBasic, пишем весьма похожую программу и двигаем два слайдера, пока 2.5 не превратится в 4.

ах да, натупил: 1.85sin(x) надо. или sin(1.89x) например.

я затупил

Подумал, что это такая шутка.

Так что берём VisualBasic, пишем весьма похожую программу и двигаем два слайдера, пока 2.5 не превратится в 4.

не отличается от измерения нитками :)

лучше взять octave и сделать одну команду:

octave:29> fzero(@(k) quad(@(x) sqrt(1+k^2*cos(k*x)^2),0,2*pi)/2/pi-1.6,1)
ans =  1.8926
octave:30> 

я понял что функция длины синусы не имеет аналитической записи подобно интегралу exp(x**2).

но может для полного периода из каких других соображений можно получить ?

т.е у нас же начальная задаче не получить функцию по которой для любого момента знать путь .

а всеголиш получить длину полного периода(ну или четверти /половины) ?

sqrt(1+k^2*cos(k*x)^2),0,2*pi)/2/pi-4/2.5,1)/2/pi

Если не вглядываться, похоже на программу на Malbolge.

но может для полного периода из каких других соображений можно получить ?

нет.

как доказать?

через Гамма-функцию емнип как-то. Мне реально лень лазить искать сейчас :)

а всеголиш получить длину полного периода(ну или четверти /половины) ?

Задача как раз не в этом, а в том, чтобы найти параметр k в sin(kx) или в k*sin(x). А тут уже числа могут быть совершенно потолочными.

Вот вам очень точное приближение для длины дуги синусоиды для любого расстояния: y = 1.21601586016669*x + 0.103124670820249*sin(2.00011089891195*x) - 0.000168863395023369.

Я не понял, тебе что надо? Криволинейный интеграл dl по синусоиде?

Дык, это вроде как получается \int_0^{2\pi} \frac{dx}{\cos\atan\cos x }

Лень упрощать.

т.е длина синусоиды полного периода длиней прямой в 1.216 раз. хм.

формула через интерграл разложения в ряд косинуса двойного угла?

я анализ универского курса если и знал то уже и забыл , ибо дискретка и прочая конкретная.

удивился обнаружив , что предположение о синусоидальном движении относительно разделительной(произвольной прямой паралельной краям дороги) приводит к недостаточности школьного курса математики для решения - какое было перемещение.

т.е вот это вот очередное подтверждение, что школьный набор не замкнут :)

Да, в 1.216 + небольшая погрешность. Формула получена с помощью генетического программирования.

Есть ещё одна, если хотите: y = 1.216*x + 0.1032*sin(2*x) - 0.002204*sin(4*x). Действительно очень похоже на какой-то ряд.