нет. Вот взять, например, аксиому выбора - ее можно принимать или не принимать. Получатся 2 разные математики.

да. Аксиому выбора все математики принимают. Наверное потом, что без неё второй альтернативной математики у них НЕ получается. Однако если её принять, то и первая математика получается населённой разнообразной НЁХ, смысл которой в принципе не определён. Что делоть с этой НЁХ решительно непонятно. Так то.

http://5terka.com/covers/geometriya-7-11-klass-a-v-pogorelov.jpg

Каким бы то ни было.

Аксиомы и постулаты нельзя «принять» или «не принять», их можно только установить и сформулировать. Логическая возможность альтернативы или сомнение в корректности эксперимента автоматически переводят их в разряд тезиса либо гипотезы.

Ты говоришь об эмпирическом методе — о том что не имеет прямого отношение к математике, точнее к тому что в ней понимают под «логика», «аксиома», «теорема», «теория», «модель» и т.п.

Любые высказывания про AC при этом не могут иметь смысла — так как твоё понимание и то откуда AC это несвязанные вещи.

Поэтому используй слова «постулат», «опыт», «тезис», «гипотеза» в контексте эмпирического метода, но никак не «аксиома» в контексте математики (этот тред), даже «физическая теория» нельзя использовать с таким видением вещей (потому как тут сразу примешивается математика с её аксиоматическими методами и теориями для моделей физической природы — таки косвенная связь).

То, что мы называем «Аксиомой выбора», не является аксиомой.

да ладно! Очень даже является, ибо любой математик смело выбирает какой-то объект из какого то множества. Даже не на секунду не сомневаясь в правильности своего решения! Вон выше наш математик уже применил, без всяких вопросов, ИЧСХ, никто и не возразил: в силу аксиомы рефлексивности отношения _=_, то есть ∀ x. x = x взял и выбрал из ЛЮБОГО множества X ЛЮБОЙ эл-т x. И запостулировал, что этот x равен самому себе. Для него очевидно, что каково-бы не было X, она всегда сможет придумать некий способ выбора x, такой, что этот выбор будет работать дважды, при этом выдавая оба раза равные (ПО ЛЮБОМУ) эл-ты.

Самое смешное, что это не верно. Если x не определено, то и отношение не определено. Доказать это очень просто, из любой пары {x,y} следует, что x*0 === y*0 === 0. Поделив на ноль, мы получаем высказывание ☣ == ☣, если равенство верное, то получается, что делить на ноль можно и нужно, и при этом любое x равно любому y, что естественно не так. Но если высказывание ложное, тогда любое x не равно любому y, что также является абсурдом(например если любое x равно любому y, и скажем равно нулю. Или не равно). Таким образом, высказывание не имеет смысла, и не является верным, как и не верным.

Однако, наш математик с лёгкостью не только выбрал откуда угодно что угодно (хрен пойми как), но ещё и постулирует равенство. Которое как минимум в одном случае вообще не имеет смысла(наш математик забыл добавить, что «любое» оно не просто любое, а определённое любое. Но тогда ему-бы пришлось ответить, кем и как это любое ВЫБРАНО из любого множества? Этот вопрос он ловко обошёл, угодив в соседнюю ловушку — любое таки может быть вовсе не определено).

Т.о. аксиома выбора настолько глубоко сидит в мозгах математиков, что они даже о ней не задумываются. Ну а поиск функции выбора оставляют как всегда программистам.

∀ x. x = x

Давай ты пройдёшь по всем ссылкам тут Зачем нужны аксиомы? (комментарий) и увидишь что квантификация без указания множества используется повсеместно. А почему — потому что domain/carrier/underlying set L-структуры известно, структура на него завязана, конкретно оно доставляется моделью. Так же как domain бинарного отношения (тут отношение эквивалентности _=_) известно — ∀ всегда квантифицирует только по нему. Более того, я речь вёл про конкретную модель натуральных чисел, то есть действие ∀ распостраняется только на них, можно его вообще выкинуть и понимать свободные переменные как универсальные квантификации.

Ещё скажи почему ты называешь структуру с отношениями алгеброй.

Потом посмотри как квантифицируют в ZF и прокомментируй.

Ещё подумай почему тут Зачем нужны аксиомы? (комментарий) всё работает (hint — ∀ это сахар).

никто и не возразил

Один умник нашёлся :)

С удовольствием читаю то, что вы пишете у себя в блоге и здесь. Вы молодец.

Если аксиома не входит в противоречие с другими аксиомами, как же тогда понимать «теорему о неполноте»

это у тебя риторика такая? Или ты ответ услышать решил? Или пытаешься используя факт наличия ☣ доказать какое-то утверждение? Не нужно так делать. Проблема в том, что если принять возможность доказательства хоть любого утверждения используя ☣, то ты автоматом получишь доказательство ЛЮБОГО другого утверждения. К примеру 2*2=17.

Теорема о неполноте доказывает только одно: ☣ это не какая-то абстракция, которая не имеет отношение к реальности. Это свойство данной вселенной. Да, не радостное. Неудобное. Можно багом назвать. Но разработчик это не я. На самом деле, формулировка таки не совсем такая: всякая система не является _замкнутой_, т.е. существуют некоторые утверждения, доказать или опровергнуть в рамках данной теории невозможно. Т.е. истинность этого заключения можно формально «приравнять» ☣. Мало того, истинность суперпозиции аксиом также ☣. Конечно в том случае, если они не являются действительно противоречивыми.

А аксиома выбора не входит в противоречие. Она ещё и независима от других аксиом. ☣ в этой аксиоме в том, что несмотря на свою кажущуюся логичность, аксиома выбора попросту не имеет никакого смысла. Нет, она правильная, просто бессмысленная.

истинность твоей формулы я могу обозначить значком ☣. Является-ли такое обозначение истинности твоей формулы? Очевидно нет. Просто ещё один смешной значок в юникоде.

Хоспаде, ты опять яростно слился. Такой злой, ужас.

выбрал из ЛЮБОГО множества X ЛЮБОЙ эл-т x

4.2. ещё раз. Только из множества конкретных натуральных чисел. А вообще нормальное отношение _=_ технически тебе не позволит этого сделать (считай что это такой вывод типов), только если ты не работаешь в ZF (такая динамика).

Доказать это очень просто, из любой пары {x,y} следует, что x*0 === y*0 === 0

Этого я не понял. Если хочешь поговорить про квантификацию по всему ВООБЩЕ, то пусть будет ZF и https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionality. Откуда выводим ∀ x. x = x.

делить на ноль можно и нужно

Да, так же как уметь делать sqrt(-1), только делить нужно в определённом расширении (полу)кольца.

☣

Эк тебя прёт.

Да, хочешь принимай истинность, хочешь занимайся конструктивизмом и специфицируй все секции сюрьекций и прочие существования явно (написанием алгоритма/whatever).

т.е. существуют некоторые утверждения

Примеров! Что конкретно тебе не даёт доказать неполнота?

Здравый смысл не может быть у каждого своим. Это медиана. Вот Иванову Сидору Петровичу совершенно очевидно, что инопланетяне облучают его посредством кастрюли Софьи Николаевны. И какой же это здравый смысл?

У Петровича очевидная паранойя. Петрович может проверить свою гипотезу несложным экспериментом, и если он сохранил остатки здравого смысла, то он убедиться, что проблема не в кастрюле. Здравый смысл и должен быть своим, ибо он по определению не идеален, а лишь является упрощённой моделью действительности. Степень упрощения, и вектор упрощения у каждого свой. Например Петрович упростил вот таким вот очевидно неверным способом. Наш способ упрощения должен быть более близким к действительности, по той простой причине, что согласуется с нашими опытами. А Петрович опыты не ставит, либо ставит неправильно.

А интуитивизм (http://ru.wikipedia.org/wiki/интуитивизм) - очень спорная штука.

спорная, я и не предлагал интуитивизм. Не предлагал отвергать логические рассуждения. Как раз наоборот. Интуитивист это Петрович, который из своего опыта делает вывод совершенно не подчиняющийся формальной логике. С т.з. логики, чем проще гипотеза, тем её легче доказать и проверить. Например: нажрался палевой водки -> болит голова. Не нажрался -> не болит ЧиТД. Однако Петрович выдвигает мало того что очень сложную, дык ещё и заведомо не подтверждаемую гипотезу высокотехнологичных инопланетян. Его профит в том, что он может смело бухать, а головную боль валить на инопланетян. Логика понятна, ибо бухать он всё равно будет.

Судя по вики интуитивная логика сосет, так как не удовлетворяет тезису Чёрча, принципу Маркова, закону двойного отрицания и закону исключенного третьего.

она не то-что-бы «не удовлетворяет», она не принимает этот матан в качестве пруфов. Т.е. по её мнению как раз тезис Чёрча сосёт и не нужен. Не является неправильным, а является ненужным, как systemd по мнению лоровских СПВ. При этом СПВ не отрицают того факта, что ОС c systemd иногда даже загружается, ИЧСХ с SSD даже быстрее чем Windows с HDD.

Серьёзно, ну, со времён Евклида ведь много чего произошло. «Начала» не актуальны ни насколько.

ЩИТО?

марш в школу, двоечник!

за то есть «часть не больше целого».

Нет.

что «нет»? Упоролся? Думаешь, что часть больше целого?

Ну вот скажем есть аксиома «целое больше части».

Подели бесконечность пополам. То-то.

половинка бесконечности очевидно не больше бесконечности. А если подумать, то очевидно, что половинка бесконечности _меньше_ бесконечности. Ровно на ☣.

Вообще говоря, бесконечность умноженная на константу только от константы отличается ровно настолько-же. Правило поглощения ☣ в данном случае работает только по отношению к целому. А вот отношение бесконечно больших в данном случае вполне определено, 2*x/x == 2 в случае если x стремится к бесконечности. Это доказывает, что бесконечность вдвое больше своей половинки.

«In a non-Euclidean space, parallel lines are those that intersect only in the limit at infinity.»

в сфере нет и не может быть бесконечно удалённой точки. Сфера конечная, и её поверхность ограничена. Потому «прямые» там получаются окружностями, и различные «прямые» максимального радиуса просто не могут не пересекаться. По этой причине такое определение для сферы не подходит, и надо использовать иное.

Ты нагуглил цитату про геометрию Лобачевского, а я говорил за геометрию Римана. Разница в кривизне пространства: при отрицательной кривизне равнобежные прямые всегда расходятся, и потому действительно не пересекаются. А вот при положительной они всегда сходятся, потому и всегда пересекаются.

Тут и lvl не слишком нужен, ибо положительная кривизна _заворачивает_ пространство, и оно всегда замкнуто само на себя, а отрицательная кривизна всегда _разворачивает_ пространство. В итоге, если в первом пустить два луча света в одном направлении, то они неизбежно встретятся, а во втором неизбежно разойдутся в стороны. Естественно это касается лишь лучей на сфере, которые идут по большому кругу

Вот чтобы не было такого впечатления и нужно регулярно кормить математиков сырыми данными.

они их не едят.

Давай ты пройдёшь по всем ссылкам тут Зачем нужны аксиомы? (комментарий) и увидишь что квантификация без указания множества используется повсеместно

я и не спорил. Да вы повсеместно используете такую запись.

Так же как domain бинарного отношения (тут отношение эквивалентности _=_) известно — ∀ всегда квантифицирует только по нему. Более того, я речь вёл про конкретную модель натуральных чисел, то есть действие ∀ распостраняется только на них, можно его вообще выкинуть и понимать свободные переменные как универсальные квантификации.

вот хотелось-бы узнать: может быть x равен бесконечности? И если да, то равна ли бесконечность бесконечности? Насколько я знаю, множество натуральных чисел бесконечно, потому ∀ может выбрать и бесконечность. С другой стороны, самого большого числа не существует, и потому всегда можно найти число большее бесконечности. По этой причине бесконечности не равны и равны, или я чего-то не понимаю?

hint — ∀ это сахар

угу. Работает твой сахар. Только я не понял как.

Хоспаде, ты опять яростно слился. Такой злой, ужас.

кто «злой»?

4.2. ещё раз. Только из множества конкретных натуральных чисел.

ну если только натуральных

А вообще нормальное отношение _=_ технически тебе не позволит этого сделать (считай что это такой вывод типов), только если ты не работаешь в ZF (такая динамика).

ну значит какой-то технический глюк в твоей программе. Мой bash вот тоже пишет

$ (( Z = 2**77 )); echo $Z
0

Этого я не понял. Если хочешь поговорить про квантификацию по всему ВООБЩЕ, то пусть будет ZF и https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionality. Откуда выводим ∀ x. x = x.

ZF описывает логику лишь для вполне ОПРЕДЕЛЁННЫХ множеств. Это НЕ любые.К неопределённому множеству аксиома объёмности не применяема. Мы не можем «взять первый элемент первого множества и доказать, что он принадлежит второму, и так для всех». Т.е. множества совсем не «любые», а полностью и на 146% детерминированные.

Да, так же как уметь делать sqrt(-1)

это как раз не сложно: любое уравнение второй степени имеет два корня. Если их «нет», то значит, что у них какой-то особый физический смысл.

только делить нужно в определённом расширении (полу)кольца.

что-бы уметь делить на ноль, надо хорошо умножать на ноль, так хорошо, что-бы при разных множителях получались РАЗНЫЕ НУЛИ. Тогда при делении на ноль нуля №17 получится 17.

давай отличать имя которое есть атом , от называемого свойства которое у объекта есть - а если ещё и допустить что объекты мутабельны то могут свойства(в виде чеков-ассертов) появляться и исчезать.

так вот пересекающиеся друг с другом прямые относительно друг друга не параллельны -

да есть лакуна - как отличать прямые которые пересекутся(где то в бесконечности) от тех которые никогда- тем более если это зависит от геометрии мира в котором мы это наблюдаем.

ох Ёперный театр.

нда, изьятие Евклида из всеобуча(тех кого учат) имело резоны.

Заметки о женской логике . Беклемишев — рулит

ты переносиш свойство из плоскости 0-кривизны.

ЕСЛИ у двух(1ой и 2ой) прямых найдётся такая(такое место где) секущая( третья прямая) что внутрении одностороние углы равны друг другу и прямы ТО прямые параллельны(т.е лежат в одной плоскости(т.е через любую пару(различных) точек 1ой прямой и через любую пару(различных) точек 2ой прямой можно провести плоскость) и не имеют общей точки) и наоборот.

для сферы(в частности) этого тождества нет

т.е вы расширяете контекст , и требуете (A== не A) и (A cуществует) на основе того что

если при B С==D ТОГДА при каком угодно B С==D

«прекратите читать „советские“ газеты» - ну блин сколько можно.

как тонко.

«мы(наше военное подразделение) разрабатываем танк который работет при -500 по целсию»

- Но позвольте «Ведь Учёные . ... абсолютный ноль и тп....»

«Танк секретный- Учёные могли и не знать»

PS. да при желании можно придать не противоречивый физический смысл температуре ниже абсолютной - как пример поглощение(изчезновение) массы из системы., что не отменяет афёры с танком.

вот хотелось-бы узнать: может быть x равен бесконечности?

Нет, потому что все натуральные числа конечны (их бесконечность потенциальна, бесконечно счётно всё множество, то есть «целое», конкретные элементы его конечны). Расширения натуральных чисел бесконечными образующие близкие к натуральным числам алгебраические и порядковые структуры это кардинальные и ординальные числа (с трансфинитной индукцией), при этом все x < ℵ₀, например, это как раз конечные аналоги элементов исходного ℕ.

Также можно <R, 0, 1, +, *> дополнить до <R ∪ {∞}, 0, 1, +′, *′> так что ∞ +′ x = ∞ и ∞ *′ 0 = 0, ∞ *′ x = ∞ (поведение как и у ℵ₀) и дальше в подкольце так же как было, то есть добавить значение для представления бесконечности в само кольцо.

По этой причине бесконечности не равны и равны, или я чего-то не понимаю?

Бесконечные которые кардинальные или ординальные числа устроены определённым образом (в силу того что так устроены сами множества и порядки которые они описывают) — и в плане типичных алгебраических операций, и в плане порядка, например, ℵ₀ + 100500 ≤ ℵ₀ + 25 ⇒ ℵ₀ ≤ ℵ₀ (а сокращать на ℵ₀ слева нельзя). Придти к противоречиям тут сложно.

Только я не понял как.

unsigned plus_one(unsigned x) { return x + 1; }

plus-one₁ : ∀ x → ℕ
plus-one₁ x = x + 1

plus-one₂ : (x : ℕ) → ℕ
plus-one₂ x = x + 1

-- pseudo Scala-like syntax
plus-one₃ (x : ℕ) : ℕ = x + 1

первый сишный plus_one функционального типа (unsigned -> unsigned) вполне ∀ для всех unsigned. Так что с точки зрения теории типов в ∀ нет какого-то особого содержания.

+много. боюсь не поймёт

Чёрч

вы реально жертва всеобуча(особенно единственно верного).

у вас МоноБожие в чистом виде.

(( Z = 2**77 )); echo $Z

Чтобы быть моделью для натуральных они не должны переполняться, иначе это что-то другое (partial model) — у них свойств ℕ повсюду и не будет.

ZF описывает логику лишь для вполне ОПРЕДЕЛЁННЫХ множеств.

Множеств универсума ZF, которые достаточно богаты на структуру, но да, определённых. Вообще было бы странно, если бы значок ∀ означал что-то вне HOL над структурой, вне PA, вне ZF и вообще непонятно что.

что-бы уметь делить на ноль

Имелось в виду http://www2.math.su.se/reports/2001/11/2001-11.pdf (я про wheels тебе как-то уже говорил), с ∞ ещё добавляется ⊥, так что 1/0 = ∞, 0/0 = ⊥, 0 * ∞ = ⊥ и т.п.

имхо Зачем нужны аксиомы? (комментарий) - это его «модус операнди » судя по всему

обобщение контекста где некоторое свойство уже перестаёт иметь константой(тождеством) после чего «из ложного всё»

а Зачем нужны аксиомы? (комментарий) его «поклоник» в «софистике»

котором это всегда подтверждается

man зелубой.

про дыра-реальне в выводе истиности на основе «всегда так делал»

меридианы не параллельны.

меридианы равно удалены друг от друга на «экваторе и „около“»

для плоской вселенной достаточно установить равноудалённость прямых , что бы с необходимостью следовала их(прямых) параллельность.

если мы знаем о кривизне вселенной допустим лиш её постоянность то равноудалённость прямых не исключает их параллельности.

что «нет»?

Нет такой аксиомы.

Потому «прямые» там получаются окружностями, и различные «прямые» максимального радиуса просто не могут не пересекаться. По этой причине такое определение для сферы не подходит, и надо использовать иное.

Отлично подходит. Просто на сфере нет параллельных геодезических, и всё.

равнобежные прямые

Это кто?

если в первом пустить два луча света

Понятие «свет» в математике отсутствует.

ЩИТО?

Ну, для тех, у кого минус восьмидесятый уровень по математике, это, может, и откровение. Для остальных это общее место.

Понятно.

половинка бесконечности очевидно не больше бесконечности.

Вот как раз за это ручаться нельзя. Особенно если вспомнить про физический смысл бесконечности. А «здравый смысл» без опоры на физический смысл ничем не отличается от параноидальной шизофрении.

Научный метод с аксиомами не работает. Научный метод работает с фактами и их обобщением.

у чела религия «Наука»

то-то у нас дома такие стены кривые

Я сильно сомневаюсь, что строители хотя бы видели книгу Евклида, так что не по адресу.

архитекторов геометрией(обычной) очень очень пытают.

давай отличать имя которое есть атом , от называемого свойства которое у объекта есть - а если ещё и допустить что объекты мутабельны то могут свойства(в виде чеков-ассертов) появляться и исчезать.

я вроде сразу сказал, что называю «параллельными» те прямые, которые идут в одном направлении. Т.е. углы между этими прямыми и любой секущейпересекающей равны. Например меридианы, которые под прямым углом к экватору. А вот сходимость этих прямых определяется кривизной пространства. Они не сходятся и не расходятся тогда, и только тогда, когда кривизна нулевая. И я не вижу тут ничего сложного, обычный здравый смысл.

Заметки о женской логике .

женская логика рулит. Но тут другая. Здравый смысл подсказывает мне, что наблюдать прямые я могу не «везде», а лишь в окрестности некой точки. Потому, в качестве определения я выбираю интуитивно понятное свойство прямых — однонаправленность. Если прямые однонаправленны и различны, то они параллельны. Обратное верно. Очевидно(Евклиду), что параллельные прямые не пересекаются. Однако, если плоскость кривая, то это не обязательно — при отрицательной кривизне они не только не пересекаются, но и расходятся, а при положительной — сходятся, и пересекаются. Что в этом сложного? Если скомкать газету, линии тоже пересекутся.

всё таки как ни странно полезно по возможности(при прочих равных)

открывать первоисточники

нет гарантии что это действительно то , что было написано тогда , но вот вагон переписчиков вычленил лиш понятное при переписке.

plus-one₁ : ∀ x → ℕ

ну тут уже x определён. Вполне определён для целых чисел. Тут все мои рассуждения силы не имеют. А изначально оно было «любое». С таким допущением можно из любой окружности собрать квадрат, и вам это должно быть известно.