LINUX.ORG.RU

Учебник по геометрии под свободной лицензией

 , , ,


14

6

Пользователем jemmybutton выложена оригинальная вёрстка учебника геометрии Оливера Бирна (на английском языке).

Оформление книги сделано в (La)TeX и доступно для повторного использования в производных работах. Все иллюстрации книги параметризованы и генерируются автоматически.

>>> Основная ссылка на журнал автора

★★★★★

Проверено: jollheef ()
Последнее исправление: sudopacman (всего исправлений: 5)
Ответ на: комментарий от sulevaz

Аксиоматика основывается на человеческих представлениях

Аксиоматика ни на чём не основывается. Это аксиоматика.

ugoday ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от ugoday

Аксиоматика - это совокупность аксиом. Аксиома - это утверждение, принимаемое без доказательств. Или что ты подразумеваешь под аксиоматикой?

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

Школьное определение, но сойдёт. Итак, из чего следует нелепица, будто аксиомы должны на чём-то основываться?

ugoday ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от ugoday

Итак, из чего следует нелепица, будто аксиомы должны на чём-то основываться?

Аксиомы основываются на здравом уме и на опыте поколений. Напрмер, вечно не живут — аксиома, круглое катится — очевидно, же! Прямые параллельные никогда непересекутся — это очевидно.

anonymous
()
Ответ на: комментарий от ugoday

Как тебе выше анон сказал, основываются на человеческих представлениях и со временем эти представления изменяются вместе с аксиомами, а мир всё тот же.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от ugoday

Ты не согласен что аксиомы основаны на человеческих представлениях? Откуда же они берутся и где и в каком виде существуют?

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от Evgueni

Да хоть Римана. Что я должен был из этого уяснить?

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от Evgueni

Что такое аксиома, кстати? Потому что, если, как сказал анон, аксиомы «основываются на здравом уме и на опыте поколений», то аксиома Лобачевского «на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную» явно не подходит в эту категорию.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от ugoday

Я спрашиваю, что называет аксиомой Evgueni?

По-твоему, что такое аксиома?

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

он чисто по Евклиду рубится.

Интересный выбор выражения. Вам, наверное, легче будет понять с помощью сравнения:

Теорема --- это такая предъява, которую нужно обосновать или непацан.

А аксиому обосновывать не нужно. Предъявил и бей в табло кто вякает против.

P.S. А чем определение из википедии не устраивает?

ugoday ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от ugoday

А аксиому обосновывать не нужно. Предъявил и бей в табло кто вякает против.

По-моему, моё более удачное:

Аксиома - это утверждение, принимаемое без доказательств.

И я больше соглашусь с аноном, что

Аксиомы основываются на здравом уме и на опыте поколений.

а не «Предъявил и бей в табло кто вякает». То есть, должно быть эмпирическое обоснование, если мы говорим о некой «аксиоматике мира», если о воображаемом мире, то тогда да, эмпирическое обоснование не важно.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от ugoday

Ну если ты отвергаешь эмпирическое обоснование аксиом, то тут ты хотя бы последователен, да, тогда у тебя действительно ни в чём.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от ugoday

Вот Аристотель, как я или анон, считал что аксиомы - это то что является очевидным и общепризнанным, а постулат - это то, что не является аксиомой (то есть очевидным и общепризнанным), но всё же принимается без доказательств. Анализ состава перечня аксиом и постулатов Евклида, как бы намекает, что и Евклид из нашей банды.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от Evgueni

Прямые параллельные никогда непересекутся — это очевидно.

Чё, правда?

Evgueni в козырях держит Лобача с его неевклидовщиной, и хитро ухмыляется. Но анон то знает геометрия Лобачевского неприменима к реальному миру.

anonymous
()
Ответ на: комментарий от anonymous

А он, негодяй, достанет из широких штанин Римана и пошлёт анона в школу доказывать непересекаемость долгот.

aedeph_ ★★
()
Ответ на: комментарий от ugoday

В оригинале, то что в нынешних переводах идёт как аксиомы

Κοιναί έννοιαι (koinai ennoiai) (греч.) — общие убеждения. Понятия, непосредственно почерпнутые из опыта и предшествующие науч. знанию (стоики).

А то, что ныне постулаты:

αἰτήματα - просимое, просьбы Ελληνικά-Ρωσικά λεξικό στα κείμενα της Καινής Διαθήκης (Греческо-русский словарь к текстам Нового Завета). 2014.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

То есть, перевод должен быть вроде такого

Все мы из опыта знаем что... (список аксиом) и давайте считать, что... (список постулатов).

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от aedeph_

Но анон то знает геометрия Лобачевского неприменима к реальному миру.

Эту фразу следует понимать как «анон не знает/не может применить геометрию Лобачевского к реальному миру». В таком варианте фраза скорее всего абсолютно истинна.

ugoday ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от anonymous

Прямые параллельные никогда непересекутся — это очевидно.

Кстати, Евклид отнёс это в постулаты, а не в аксиомы.

То есть, ещё раз, у Евклида

аксиомы - это недоказанное утверждение, основанное на общепризнанном опыте;

постулат - недоказанное утверждение (или скорее необходимое для обоснования теории допущение), основанное на фантазии, воображении.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

И он в постулатах оперирует чисто абстракциями - точкой и прямой.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

таки нет. аксиомы - это набор взаимно-неисключающих произвольных логических утверждений. в общем, аксиомы - это как выбранный репер в подпространстве логических утверждений. что-то вроде. и от их выбора зависит построение теории. но выбор может быть произвольным. главное, чтобы они друг другу не противоречили и не являлись дублирующими (хотя второе не страшно, просто немного избыточно).

Iron_Bug ★★★★★
()
Последнее исправление: Iron_Bug (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от Iron_Bug

Если мы говорим об аксиомах Евклида, они же Κοιναί έννοιαι, то в контексте времени и места, они именно что опирались на эмпирическое знание, общепризнанный опыт.

набор взаимно-неисключающих произвольных логических утверждений.

А вот это вот у него постулаты.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

то есть, ты выбрал произвольный единичный случай и теперь пытаешься распространить это на всю аксиоматику? по крайней мере, это выглядит как-то так.

Евклид жил очень давно. тогда и представления о математике были очень примитивными. его нельзя в этом обвинять, для своего времени он немало сделал.

Iron_Bug ★★★★★
()
Последнее исправление: Iron_Bug (всего исправлений: 2)
Ответ на: комментарий от Iron_Bug

Ну да, евклидова геометрия - произвольный единичный случай. И, кстати, именно переводчики с математиками, использовавшие замену Κοιναί έννοιαι и αἰτήματα на «аксиомы» и «постулаты» в переводах и мульёнах производных произведений и дали им такое значение. Я тут вообще ни при чём.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от Iron_Bug

Евклид жил очень давно. тогда и представления о математике были очень примитивными. его нельзя в этом обвинять, для своего времени он немало сделал.

Ну вот, случайная выборка из интернета XXI века:

Самые принципиальные различия:
1. В отличие от аксиомы постулат может быть опровергнут опытом.
2. Если постулат может быть принят как совершенно произвольное утверждение, то аксиома - то, истинность чего очевидна (см. доказательные свойства очевидности).

Всё тоже самое.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

1. В отличие от аксиомы постулат может быть опровергнут опытом.

И всё же нюанс есть: у Евклида постулат - это не то что может быть опровергнут опытом, у него, как бы, вообще постулаты лежат вне опыта, вне эмпирического, чистая абстракция. Поэтому лучше даже перевести не как

Все мы из опыта знаем что... (список аксиом) и давайте считать, что... (список постулатов).

а

Все мы из опыта знаем что... (список аксиом) и давайте вообразим, что... (список постулатов).

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от ugoday

аксиоматикой

Если я тебя правильно понял, то ты подразумеваешь, что если мы, вооружённые определённым набором эмпирических представлений о мире (набором аксиом), столкнёмся с чем-то, к чему этот набор будет не применим, будет противоречить, то это будет означать, что мы столкнулись с «другим миром»?

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

это всё игра слов. тем более странно базироваться на понятии «очевидного». потому что очевидность у каждого своя.

Iron_Bug ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от Iron_Bug

Я согласен, что эта формулировка не очень, но мне понятно что автор хотел сказать: аксиома сама основана на опыте, а постулат - произвольное утверждение.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от ugoday

Так объясни, что ты хотел сказать, я твои мысли читать, пока, видать, не очень умею.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от Iron_Bug

тем более странно базироваться на понятии «очевидного». потому что очевидность у каждого своя.

А есть хоть одна геометрия которая попёрла против аксиом Евклида? Не против постулатов (пятого там или любого из пяти), а против аксиом?

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

А есть хоть одна геометрия которая попёрла против аксиом Евклида?

Твой любимый Лобач попёр, Рима сюда же запиши. И все те, кто тащится от кривых поверхностей. Предупреждаю вас, идти против Евклида — это отрицать ОЧЕВИДНОСТЬ.

anonymous
()
Ответ на: комментарий от anonymous

Подразумеваются, аксиомы, а не постулаты, в частности, вот эти:

Равные одному и тому же равны между собой
Если к равным прибавить равное, то суммы будут равны.
Если от равных отнять равное, то остатки будут равны.
Целое больше части.

Постулаты - это фантазия, не противоречащая вот этим эмпирическим аксиомам, каждый может свои придумать. Вроде того что параллельные прямые пересекаются, не пересекаются, завязываются в бантик и тому подобное.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

наверное, весь вопрос в том, что ты называешь геометрией. строго говоря, геометрия - это пространство, на котором определены некоторые подпространства («точки», «прямые» и т.д.). пространство может быть трёхмерным, или поверхностью сферы, или ещё чем-то, но оно должно быть полным. думаю, полнота в геометрии важна, чтобы все используемые подпространства были замкнуты. ты задал вопрос, есть ли топологические пространства, негомеоморфные евклидовому. наверняка есть, потому что, строго говоря, таких пространств бесконечное множество. но являются ли все они «геометриями» - это вопрос аксиоматики :)

Iron_Bug ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от Iron_Bug

Чёбы было понятно о чём я говорю:

Вот это аксиомы (Κοιναί έννοιαι, то есть эмпирические утверждения) Евклида

Равные одному и тому же равны между собой
Если к равным прибавить равное, то суммы будут равны.
Если от равных отнять равное, то остатки будут равны.
Целое больше части.

Есть расширенный список, но считается что это позднее какие-то хероманты дописали.

Вот это постулаты (αἰτήματα, то есть просимое, допустимое, воображаемое):

От каждой точки до другой можно было провести одну прямую.
Ограниченную прямую можно продолжить до бесконечности.
Из любого центра можно было описать окружность любым радуисом.
Все прямые углы равны.
Если прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, которые вместе меньше двух прямых, то эти прямые будучи продолжены неограниченно, пересекаются с той стороны, с которой лежат углы, которые вместе меньше двух прямых.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

это называется метрическое пространство.

бывает ли топология в неметрическом пространстве? говорят, что да: http://dxdy.ru/post488379.html

наверное, примером неметрического пространства можно считать работу по перемещению в силовых полях, когда в одну и ту же точку можно прийти разными путями, затратив при этом разное количество энергии.

наверное, можно придумать «геометрию» работы в поле (хыхы, я не про картошку, а про силовые поля, особенно когда поля какие-то хитрые). см. про неинвариантность вакуума. но будет ли это геометрией?

Iron_Bug ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от anonymous

Они не совсем попёрли против Евклида, а просто опустили аксиому о том, что через точку можно провести только одну прямую параллельную данной со статуса аксиомы до статуса обычной гипотезы, после чего с ней как с гипотезой и обошлись.

torvn77 ★★★★★
()
Последнее исправление: torvn77 (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от sulevaz

Целое больше части.

Не факт, например две больших волны в противофазе дадут ноль.
В общем как появится у тебя в геометрии (-1)^(1/2) так и начнутся всякие такие чудеса.

torvn77 ★★★★★
()
Ответ на: комментарий от torvn77

Не аксиому, а постулат. У Евклида аксиомы отличает эмпирическое обоснование и отсутствие абстракций в определениях. А вот постулаты Евклида (допутимое, воображаемое) - чистая абстракция. И к ним прилагается набор определений абстракций, начиная с точки и далее.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от Iron_Bug

Суть в том, что неправильно не различать недоказанное утверждение в основе которого лежит опыт, и недоказанное утверждение в основе которого лежит фантазия. Иначе тогда непонятно что изучает наука - эмпирически постигаемый мир или мир вымышленный, мир фантазий.

Пока нет противоречия с эмпирическими аксиомами, то всё в порядке, допустимы любые абстракции, придуманные постулаты, и основанные на них теории и гипотезы, которые возможно могут быть применимы к эмпирически познаваемому миру. Это не значит, что те или иные эмпирические представления обязательно соответствуют действительности, скорее всего, в лучшем случае, приближённо верные, а то и ошибочны, но если не опираться не на них, а на фантазии, то это будет не наука, а хренотень.

Так вот пятый постулат Евклида и его альтернативы от Римана или Лобачевского одинаково имеют право на существование, так все они сохраняют свою опору на эмпирические аксиомы, не противоречат им. Но нельзя сказать, что мы живём в евклидовом пространстве, римановом или лобачевского, потому что все они лишь абстракции, всего лишь инструменты познания.

sulevaz
()
Ответ на: комментарий от sulevaz

я остерегаюсь манипулирования понятиями типа «опыт». человечество не раз демонстировало разные совершенно не полезные заблуждения, которые культивировались веками. и это был «опыт». когда появилась релятивистская теория, все тоже уповали на «опыт» и активно сопротивлялись. но вот оказалось, что опыт был так себе... так что периодически полезно подвергать сомнению всякие догматы и разгибать скрепы. иногда можно нарыть что-то новое и интересное.

Iron_Bug ★★★★★
()
Вы не можете добавлять комментарии в эту тему. Тема перемещена в архив.