Задачки на вероятность

очевидно, испытуемый СНАЧАЛА выбирает монетку, а ЗАТЕМ смотрит, орёл там или решка.

Ну конечно, он сначала выбирает а потом смотрит. Только это все - одно испытание (второе). А первое испытание - это тот момент, когда монетки положили под салфетку.

Не важно, с двух сторон орёл, или просто какую-то монетку положили заранее вверх орлом. В любом случае, из условия следует два независимых испытания.

Да.Первое испытание - «бросок» двух монеток (из которых одна обязана выпасть орлом), второе испытание - выбор монетки.

Когда испытующий доставал монетки, это было второе испытание, причём очевидно, оно не зависит от первого. В итоге имеем 4(четыре) исхода, как бывает всегда, когда испытания случайны, независимы, и имеют два исхода каждое.

4 исхода - если считать орел+решка и решка+орел одним исходом. Если разными - 6 исходов, т.к. три исхода в первом испытании и два исхода - во втором.

а вот ты попробуй доказать, что исходы зависимы? Я не вижу никаких зависимостей в условии.

Вероятности исхода второго испытания зависят от исхода первого. Если результат первого испытания - два орла, то _условная_ вероятность выбрать орла во втором испытании - 1, если результат первого испытания - орел+решка, то _условная_ вероятность выбрать орла - 1/2. Сравни, например, с поочередным подбрасыванием двух монеток - когда мы бросаем вторую монетку, то _условная_ вероятность выпадения орла/решки 1/2 _независимо_ от того, как выпала первая монетка. Вот в последнем случае мы имеем независимые события (вероятность результата второго испытания не зависит от первого). В задаче ситуация обратная - вероятность второго испытания зависит от результата первого.

результаты опытов никому не известны.

Почему же? Испытующему известны. Он выбрал монетку и указал на нее.

нет. Это далеко не одно и то же.

Что значит не одно и то же? В чем разница между «есть две монеты, одна из них лежит орлом» и «есть два ребенка, один из них - мальчик»?

Второй случай тоже имеет выборку из четырёх исходов, но как я выше заметил, из выборки исключён один из четырёх исходов искусственно.

В обоих случаях есть 4 исхода, в обоих случаях один из них исключен искусственно. Оба случая вообще идентичны, стоит только «мальчик» поменять на «орел» а «дети» на «монетки». Почему у тебя монетки ведут себя не так как дети? С точки зрения теорвера это совершенно одинаковые объекты, которые подвержены одинаковым вероятностным законам.

Для монеток условие второй задачи выглядит так:
1. испытующий кидает две монетки
2. испытуемый смотрит обе, и если там две решки сразу, то переигрываем.

Именно! Это и есть условие третей задачи! Наконец, ты понял.

В третей задачи никто ничего не перебрасывает, а просто кладут одну монетку вверх орлом.

С чего ты взял? Именно что перебрасывают (или не перебрасывают , а просто сами броски делаются так хитро, что решка+решка выпасть не может, это не важно уже, важно что бросают _обе_ монетки, а не одну). Нигде там в задаче не сказано, что вторая монетка не бросается. Известно лишь, что в результате броска, цитирую задачу: «Известно, что одна из них лежит кверху орлом.». Никто тебе не говорил, что ее положили кверху орлом изначально и не бросали. Переформулируем третью задачу с детьми: «3. В семье (Под листом бумаги) есть (лежат) 2 ребенка (монеты). Известно, что один (одна) из них является (лежит) мальчиком (кверху орлом)». Тебе никто не говорит, что мальчик уже изначально был, и его никто не рожал. Как никто и не говорит, что монетка уже изначально лежала орлом, и ее никто не бросал. Ясно так?

было уже. Это в том случае, если мистер Смит схватит за ухо своего сына. Тогда да, ½, см. выше. Твоя(или автора условия) ошибка в понимании слова «любой».

Ни во второй, ни в третьей задаче нету слова «любой». Там есть слова «один из»/«одна из». В обоих случаях - слова одинаковые. Но ты почему-то трактуешь их по-разному. С чего вдруг?

На практике я привык извлекать из условия лишь то, в чём я уверен.

Но почему во второй задаче ты извлек не то, что в третей, если формулировки в точности совпадают?

Хотя ответ ½ тоже допустим, если ты наивный, и думаешь, что мальчика действительно схватили за ухо.

В теорвере этот ответ недопустим, если в задаче не сказано, что мальчика «схватили за ухо» (или выбрали конкретную монетку) - значит не схватили и не выбрали. Вобщем-то не только в теорвере - это во всей математике так, додумывать за автора ничего не надо, надо решать ту задачу, которая есть, исходя из той и только той информации, что в этой задаче предоставлена. Так что получается 1/3 во 2 задаче и 2/3 в третьей.

Да.Первое испытание - «бросок» двух монеток (из которых одна обязана выпасть орлом), второе испытание - выбор монетки.

пусть так будет. Это не важно.

4 исхода - если считать орел+решка и решка+орел одним исходом. Если разными - 6 исходов, т.к. три исхода в первом испытании и два исхода - во втором.

таки два. Ибо испытующий либо одну монетку бросает, либо у него первая монетка с двумя орлами. Потому у испытующего два результата: ОР и ОО. Причём он прекрасно знает, где лежит монетка вверх орлом.

У испытуемого хотя вариантов полно можно придумать, но вот выбора всего на один бит — левая или правая монетка. Испытуемый совершенно независим от испытующего, и его выбор тоже.

Получается, что имеем двух людей, каждый из которых даёт свой бит, ответом на свой вопрос. В сумме получается два бита энтропии.

Т.е. мы можем полностью выяснить ситуацию, если знаем, как испытующий кладёт монетку (два варианта), и если знаем, как испытуемый берёт монетку (два варианта).

результаты опытов никому не известны.

Почему же? Испытующему известны. Он выбрал монетку и указал на нее.

указывает испытуемый. Он выбрал монетку, указал, но что там — он не видит по условию.

таки два. Ибо испытующий либо одну монетку бросает, либо у него первая монетка с двумя орлами.

Да нет, ты опять пытаешься выдумывать то, чего в задаче нет. Никто не говорил, что бросают только одну монетку. И никто не говорил, что у одной монетки - оба орла. Это уже были бы другие задачи. Кидаются две обычным монетки, одна из них выпадает орлом. Ну так же как обычная женщина рожает двух обычных детей и один из них получается мальчиком.

Потому у испытующего два результата: ОР и ОО.

А РО ты куда потерял? Условия задачи не запрещают выпадения РО. Они запрещают только выпадения РР. Запрет на РО - это твоя додумка.

Причём он прекрасно знает, где лежит монетка вверх орлом.

Испытующий прекрасно знает, где лежит каждая, да.

У испытуемого хотя вариантов полно можно придумать, но вот выбора всего на один бит — левая или правая монетка.

А динозавра на улице либо встретишь, либо нет. Тоже на один бит, видимо.

Получается, что имеем двух людей, каждый из которых даёт свой бит, ответом на свой вопрос. В сумме получается два бита энтропии.

Только проблема в том, что испытующий дает полтора бита (т.к. варианта три - РО, ОО, ОР).

Т.е. мы можем полностью выяснить ситуацию, если знаем, как испытующий кладёт монетку (два варианта)

Три варианта. Испытующий кладет _две_ монетки.

и если знаем, как испытуемый берёт монетку (два варианта).

ага. Итого 2*3=6.

указывает испытуемый.

Тьфу ты, испытуемый, конечно, я оговорился.

Короче, не надо выдумывать того, чего в задаче нет.

Что значит не одно и то же? В чем разница между «есть две монеты, одна из них лежит орлом» и «есть два ребенка, один из них - мальчик»?

тему перечитай.

уже говорил: есть два ребёнка, в красной шапке, и в синий шапке. Один из них мальчик. Я говорю: «ребёнок в красной шапке девочка». Вероятность правильного ответа равна ¼.Фишка в том, что я мог с шапками ошибиться. Энтропия больше. А вот вероятность одной девочки ⅔, вероятность намного больше, а энтропия намного меньше, ибо с шапками я не ошибусь, и одна из них наверняка девочка, разве что это два мальчика.

Вопрос разный.

Когда я беру монетку, я беру конкретную монетку, а не определяю, сколько там орлов. Да, два орла с вероятностью ⅓(если нам сказали, что какая-то монетка выпала орлом), а вот то, что ты вытянул решку таки ¼.

таки два. Ибо испытующий либо одну монетку бросает, либо у него первая монетка с двумя орлами. Потому у испытующего два результата: ОР и ОО.

То есть по твоей логике можно сказать, что во второй задаче первого мальчика усыновляют, либо используют искусственное оплодотворение, потому остается два варианта: ММ и МД. И ответ будет 1/2. Чего у тебя не так?

Вопрос разный.

Да при чем тут вопрос? Вопрос на распределение вероятностей не влияет. Оно задается еще до того как задан вопрос. «есть два ребенка, один из них мальчик» - вероятности заданы. «есть две монетки, одна из них орел» - опять вероятности заданы. Вопрос уже никак не поменяет эти вероятности.

уже говорил: есть два ребёнка, в красной шапке, и в синий шапке. Один из них мальчик. Я говорю: «ребёнок в красной шапке девочка». Вероятность правильного ответа равна ¼.Фишка в том, что я мог с шапками ошибиться. Энтропия больше. А вот вероятность одной девочки ⅔, вероятность намного больше, а энтропия намного меньше, ибо с шапками я не ошибусь, и одна из них наверняка девочка, разве что это два мальчика.

Ну так и то же самое с монетками.

Когда я беру монетку, я беру конкретную монетку, а не определяю, сколько там орлов. Да, два орла с вероятностью ⅓(если нам сказали, что какая-то монетка выпала орлом), а вот то, что ты вытянул решку таки ¼.

Ну наконец. Итак, мы выяснили, что вероятность двух орлов - 1/3. Ну и вероятность орел+решка - 2/3 (т.к. совокупная 1). Думаю, ты не станешь спорить, что вероятность выбора орла из ОО - 1, и РО - 1/2. Теперь возьми формулу полной вероятности и посчитай, каков ответ.

Только проблема в том, что испытующий дает полтора бита (т.к. варианта три - РО, ОО, ОР).

ага. Если он действительно даёт ⅔ бита, то да. Но IRL не даёт. В задаче с детьми как раз и даёт ⅔ бита, и там да, 3 варианта.

В задаче с монетками — вроде как даёт. Но нам-то не вероятность двух орлов надо узнать, а вероятность конкретной монетки, которую мы вытянули. И вот эти ½ бита для нас оказывается бесполезными.

Но IRL не даёт.

С чего ты взял? Дает.

В задаче с детьми как раз и даёт ⅔ бита, и там да, 3 варианта.

Так у этих задач формулировки полностью совпадают. Либо в обеих дает, либо в обеих не дает.

Но нам-то не вероятность двух орлов надо узнать, а вероятность конкретной монетки, которую мы вытянули.

Ну опять. Нам НЕ НАДО узнавать вероятность конкретной монетки, которую мы вытянули. Когда мы ее начали тянуть - она уже лежит конкретной стороной, с вероятностью 1. Нам надо определить с какой вероятностью мы можем вытянуть монетку с конкретной стороной.

Не надо додумывать задачу. И переделывать ее не надо. Сперва монетки положили под стол, потом начали тянуть. Никто не говорит что на монетке два орла. Никто не говорит что у какойто монетки фиксированная сторона. Никто не говорит, что мы сперва выбираем монетку, а потом ее бросаем. Это все другие задачи.

То есть по твоей логике можно сказать, что во второй задаче первого мальчика усыновляют, либо используют искусственное оплодотворение, потому остается два варианта: ММ и МД. И ответ будет 1/2. Чего у тебя не так?

у меня-то всё так, как и у мистера Смита, отца детей. Он точно знает, какого пола его дети. Ты не знаешь. Мало того, от тебя это не зависит. Используя ту инфу, что дал тебе мистер Смит, ты можешь сказать, что вариантов три.

В случае с монетками всё совсем не так, ибо тут хотя для испытующего действительно три варианта, но вот для _испытуемого_ всего два: левая монетка, и правая монетка. И испытуемый никак не может использовать вероятности, которые вычислил испытуемый. Он про них не знает. Т.е. вероятность его выбора левой монетки равна вероятности правой. На самом деле, тройке тут просто не откуда взяться, ибо одна из монеток детерминирована, она всегда орлом, и на вопрос «какая» отвечает именно испытуемый, по своему произволу.

Ну говорю-же, напиши сам код, который кидает 1 монетку случайно, вторую орлом, перемешивает их тоже случайно, а потом выбирает случайную монетку. Ну или как хочешь. Только так, как в условии, и не надо мне считать ⅓ методом Монте Карло.

Так у этих задач формулировки полностью совпадают. Либо в обеих дает, либо в обеих не дает.

формулировка одна, вопрос разный. Про детей будет как про монетки, если ты скажешь «ребёнок в красной шапке — девочка».

Ну опять. Нам НЕ НАДО узнавать вероятность конкретной монетки, которую мы вытянули. Когда мы ее начали тянуть - она уже лежит конкретной стороной, с вероятностью 1. Нам надо определить с какой вероятностью мы можем вытянуть монетку с конкретной стороной.

для нас она «конкретной» пока не является.

Никто не говорит, что мы сперва выбираем монетку, а потом ее бросаем. Это все другие задачи.

тогда расскажи, как по твоему испытующий кладёт монетки?

Ну говорю-же, напиши сам код, который кидает 1 монетку случайно, вторую орлом

Так это неправильный код, он не по условию. По условию я писал - получается 2/3 на орла, в согласии со всеми законами теорвера.

Т.е. вероятность его выбора левой монетки равна вероятности правой. На самом деле, тройке тут просто не откуда взяться

Тройка берется из _первого_ испытания. РО, ОО, ОР.

Т.е. вероятность его выбора левой монетки равна вероятности правой.

Ага. 1/2 каждая. Только нам не важно левую или правую он выбирает. Это вообще ортогонально задаче.

На самом деле, тройке тут просто не откуда взяться, ибо одна из монеток детерминирована, она всегда орлом

Так и в задаче про детей тройке неоткуда взяться, ибо один из детей всегда детерменирован - он мальчик. Так?

Давай по порядку. На столе под салфеткой три монетки, одна из них - орел. Вопрос: что и с какой вероятностью может лежать на столе? Я так полагаю P(OO) = 1/3, и P(PO) = 2/3, так? (для удобства не будет записывать отдельные РО и ОР, а просто сочтем их одним исходом но с удвоенной вероятностью). Просто ответь на вопрос да или нет.

формулировка одна, вопрос разный.

Еще раз - от вопроса вероятности не зависят.

Про детей будет как про монетки, если ты скажешь «ребёнок в красной шапке — девочка».

Но ведь в задаче с монетками никто не говорил «монетка в красной шапке - решкой». Почему такое неравноправие? Почему в третьей задаче ты додумываешь условие, а во второй - нет.

для нас она «конкретной» пока не является.

А не важно как и чем она для нас является. Когда монетки под салфеткой и испытуемый стоит у стола - монетки уже брошены, их больше никто бросать не будет. Испытаемому надо выбрать монетку и посомтерть что там (не бросая).

тогда расскажи, как по твоему испытующий кладёт монетки?

Так чтобы не было РР. Больше я ничего не знаю - в условии не сказано. И предположения делать не имею. Любым способом, чтобы не было РР. Но не каким-либо конкретным. На самом деле, он вполне может класть всегда ОО. Такое предположение ничем не хуже, чем предположение о том, что он одну монетку кладет всегда орлом, а вторую подбрасывает. Но ни, то ни другое я использовать при решении не могу.

Давай по порядку. На столе под салфеткой три монетки, одна из них - орел. Вопрос: что и с какой вероятностью может лежать на столе? Я так полагаю P(OO) = 1/3, и P(PO) = 2/3, так? (для удобства не будет записывать отдельные РО и ОР, а просто сочтем их одним исходом но с удвоенной вероятностью). Просто ответь на вопрос да или нет.

Тьфу ты блять. две монетки офк.

есть два ребёнка, в красной шапке, и в синий шапке. Один из них мальчик. Я говорю: «ребёнок в красной шапке девочка». Вероятность правильного ответа равна ¼.

Неправильно, кстати. Поскольку есть информация, что «один из них мальчик», то вероятность равна 1/3.

Я ж ему как раз это и пытаюсь доказать. Вот уже пришли к тому, что есть три равновероятных варианта: РО, ОО, ОР (ММ, МД, ДМ), теперь будет проходить формулу полной вероятности.

Неправильно, кстати.

знаю. За то весело.

ну а потом запилим платные курсы ☺

кстати вот ещё ссылочка: http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_мальчика_и_девочки

последняя 3/4.

Я это все знаю, зачем ты мне дал эту ссылку? У тебя ж проблемы с правильным ответом.

по ссылке много «правильных» ответов.

Много людей являются ярыми сторонниками каждого из вариантов ответа, при этом они отрицают и иногда презирают противоположную точку зрения.

это ты тоже «знаешь»?

по ссылке много «правильных» ответов

По ссылке обсуждается «правильность» с точки зрения «здравого смысла». Математически же ответ вполне однозначен. Есть ключевой принцип - нельзя додумывать задачу. Если в задаче сказано «один из детей мальчик», то мы не имеем права, задавшись вопросом «а почему» выводить способ осуществлении этой гарантии и из него - дополнительные ограничения. Следует полагать, что способ таков, что никаких других ограничений нет.

Если додумывать можно, то ответов не несколько - их сколько угодно, вообще любой ответ будет правильным, т.к. для него можно будет подобрать способ выбора семей и гарантии наличия мальчика, при которых именно этот ответ будет обоснован.

Более того - любая сформулированная на естественном языке задаче обладает тем свойством, что мы можем додумать условие так, чтобы получить любой желаемый ответ (т.к. естественный язык не строг). Так что тогда вообще не имеет смысла обсуждать все - видишь задачу на естественном языке, тыкай пальцем в небо, получишь правильный ответ.

Раз пошла такая пьянка, то ответ на вторую и третью задачу - 0.

Опять же как и в случае с первой задачей - ну очевидно же, что ведущий предполагает, что человек выберет именно его ящики, а потому там пусто.

Математически же ответ вполне однозначен.

Мартину Гарднеру я верю всё-же больше, чем тебе. Извини.

Я тоже верю. Он как раз и подразумевал в этой задаче ответ 1/3 и нигде не говорил, что ответ _математически_ неоднозначен. Везде для объяснения неоднозначности привлекают нематематические соображения. Если их убрать - однозначность сохраняется.

Вот в английской вики: http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Bayesian_analysis

как раз объясняется, что для отличного от 1/3 ответа нужны дополнительные предположения.

Я тоже верю. Он как раз и подразумевал в этой задаче ответ 1/3 и нигде не говорил, что ответ _математически_ неоднозначен. Везде для объяснения неоднозначности привлекают нематематические соображения. Если их убрать - однозначность сохраняется.

если принять твою математическую модель, то ответ конечно однозначен. Если взять мою, тоже однозначен, но другой. Математика может только одно — исследовать модель в рамках этой модели. И не более того. Выбор математической модели лежит вне математики.

Ты не можешь математически доказать неверность моей математической модели. 2*2=11, в троичной системе счисления.

Я уже устал повторять, что тут дело не в вероятностях, а в неопределённостях. Считай, что тут плохое условие. Неполное.

как раз объясняется, что для отличного от 1/3 ответа нужны дополнительные предположения.

да. С мальчиками девочками оно так. А вот с монетками — не так. Разница таки есть. И именно в дополнительных предположениях, которые для монеток by design.

если принять твою математическую модель, то ответ конечно однозначен. Если взять мою, тоже однозначен, но другой.

Так твою модель мы брать не имеем права.

Еще раз - если рассуждать формально строго (по принципу - нельзя додумывать) ответ совершенно однозначен. Если разрешить додумывание - то в любой задаче может быть любой ответ, так что обсуждать вообще нечего.

Считай, что тут плохое условие. Неполное.

Полное, конечно же. Условие позволяет получить однозначный ответ? Позволяет.

А если следовать твоей логике, задач с полным условием вообще не существует и существовать не может. Т.к. в любой задаче можно дописать какой-нибудь фигни, которая изменит решение.

да. С мальчиками девочками оно так. А вот с монетками — не так.

Оно одинаково, потому что (устал повторять), формулировки _в точности совпадают_.

Оно одинаково, потому что (устал повторять), формулировки _в точности совпадают_

я тоже устал повторять, что формулировки-то совпадают, а вот вопрос разный. И однозначно его трактовать невозможно(в рамках русского языка). Вопрос написан по-русски, и ничего тут не поделать, смирись.

Если-бы это был код на любом ЯП, неоднозначности не было-бы.

Последняя задача 2/3 Монетки могут лежать как:

O P

O O

P O

итого 4 орла, 2 решки.

P.S. Не первая монетка - орел, а одна из. Если бы была первая, тогда да 3/4:

O P

O O

итого 3 орла, одна решка.

Не первая монетка - орел, а одна из. Если бы была первая, тогда да 3/4:

действительно. проглядел я.

. Вопрос написан по-русски, и ничего тут не поделать, смирись.

Ну так любой вопрос на русском неоднозначен и может иметь любой ответ. Как я уже сказал - я за ответ 0 во второй и третей задачах.

Задача по мотивам Монти Холла.

Очевидно, лучше открыть его контейнер, так как вероятность, что приз там 1/2, а не 2/10 как в двух своих — если приз, находящийся в открытом контейнере отдают тебе.

2...

Зависит от выборки, если семья была выбрана случайно среди всех семей с хотя бы одним мальчиком и двумя детьми всего — 1/3, а если вы узнали это, увидев одного из их детей — 1/2, кроме того возможны промежуточные варианты.

3...

Недостаточно данных, так как ничего не сказано о второй монетке, поэтому может быть 1/2, может быть 1, а может быть 3/4

Правильный ход означает получение профита - выигрыш.

Надо выбрать контейнеры случайно и в ровные ряды разложить на первом шаге и следить за ведущим, если он открывает четыре контейнера последовательно по порядку чисел, значит он знает, что приз в другой половине контейнеров или ты случайно разложил их так, что контейнер с призом в последнем из пяти — что маловероятно, так что в этом случае лучше выбрать два из своих, а если он оставил какой-то контейнер из середины (например, третий или второй с конца), а остальные открыл — почти наверняка приз в этом контейнере, если он не решил потроллить.

А если все двери ведут к одному и тому же тигру? У него там ну очень большая клетка сложной формы.

Тогда лучше всего пройти через эту клетку...

Всё множество исходов — это как раз два орла и одна решка. Потому что вытягиваешь ты всего одну монету. Это может быть:

Но ты забываешь, что исходы не равновероятные, а классическое определение вероятностей работает только если исходы равновероятны.

Например, какова вероятность, что ты встретишь на следущей прогулке динозавра? Исходы «встретишь» и «не встретишь» не равновероятны, поэтому вероятность не 1/2.