математика в школе

Такое давать в начальной школе не нужно.

IIUC никому не давали. Это материал 1-го .. 3-го курса университетского Матана для математиков (есть ещё для инженеров и прочих гуманитариев, но там уровень совсем не тот).

не помню. Но должны были рассказывать что такое числа и с чем их едят.

вообще, если брать натуральные числа в их «бытовом» понимании и как их дают в школе на примерах яблок и похожих вещей, то это классы эквивалетности множеств различных объектов, при том, что отношение эквивалетности определяется как наличие взаимнооднозначного отображения одного множества в другое.

При этом практически всегда опускаются доказательства многих соотношений

что-то видать пятничный вечер не способствует восприятию таких конструкций в речи.

Но если подумать, то в школе «число» это абстракция, служащая мерилом всего, вообще всего. «Все можно посчитать»

вам когда-нибудь давали определение, что такое число?

Конечно. Сразу перед определением точки и демократии.

В 6 классе давали, правда, это лицей был. До сих пор помню: результат сравнения двух величин.

определение, что такое число?

Определение: число — количество счётных палочек.

Их можно раскладывать на кучки, выполняя сложение и вычитание.

Но я не уже помню: это аксиома 1 класса или детского сада :)

О чём и говорю, что не давали. ;)

→ https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_групп

Объявим, что множества объектов M и N эквивалентны тогда и только тогда, когда

существует f : M->N, такая, что

1) для любых x != y из M, f(x) != f(y) 2) для любого z из N существует x из M, такой что f(x) = z

Несложно проверить, что такое условие в самом деле является соотношением эквивалентности

И значит существуют классы множеств, в которых все элементы эквивалентны друг другу

класс множеств объектов (яблок, насечек на палке итп) I, содержащих единственный элемент, т.е. таких, что для любого их подмножества X, кроме пустого, I \ X = пустое множество, называем единицей.

класс множеств, таких что для любого их представителя II, выполняется условие: Для любого его подмножества X, кроме пустого, II\X это или пустое множество или представитель класса единицы, называем двойкой. Отдельно надо доказывать, что если условие выполняется для одного представителя, то и для всех, но это тривиально

И множество всех таких классов называем множеством натуральных чисел

Ну и отдельно, конечно, надо доказать, что множества, удовлетворяющие условиям выше, вообще существуют

что?

количество счётных палочек.

а что такое количество?

Нормальное определение по Ньютону. В том же 6 классе его же законом описывают всемирное тяготение, и ни про какую ОТО не заикаются. 6 класс же, ну.

Fun fact: доказательство того, что 1 + 1 = 2 занимает 360 страниц.

И множество всех таких классов называем множеством натуральных чисел

У тебя получились не натуральные числа, а кардинальные. Т.е. лишнего захватил (алеф-0 и всё что дальше). Думай теперь, как лишнее выкинуть ;)

Стоп, а разве 2 = 1+1 не по определению 2?

Простите, а какое именно страшное определение вы вспомнили, что аж потребовался 3-ий курс по математике для математиков? Если самое популярное (интуитивно-понятное), что из Википедии, то его можно давать хоть в 1-ом классе.

я специально упомянул про множество объектов, а не просто про множества чего-либо

Числа придумали и использовали гораздо раньше, чем появились множества и все определения, связанные с ними.

вам когда-нибудь давали определение, что такое число

А разве это возможно в рамках арифметики начальной школы?

Что такое множество объектов и чем оно отличается от множества чего-либо? ;)

ну тогда люди просто не называли это так.

Что есть сравнение (в общем случае оно может быть выражено и геометрически) и какие именно величины сравниваются (векторные или скалярные)?

для конкретики, положим, что объекты это яблоки и палочки. Построим теорию на них, а затем добавим в класс эквивалентности те множества, которые можно взаимооднозначно сопоставить множеству яблок и палочек.

А алеф-0 ты из яблок не сделаешь.

Разумеется, это довольно шаткое определение, поскольку существенно полагается на свойства нашего физического мира.

Но в быту и в школе мы чаще всего используем именно его.

Ты будешь школьнику объяснять что чисел в природе не существует? Ну... тут нужно развитое абстрактное мышление, может быть так, что школьникам ещё рано о таком задумываться.

Как так? Числа не называли числами? То что математика имеет свойство раскладывать простое на простейшее (а это обычно очень сложно), не значит что оно так надо для чего-то кроме доказательств и создания новых теорий.

не знали слов «класс эквивалентности» и «взаимооднозначное отображение». Но когда говорили, что в ящике лежит столько же яблок, сколько и монет, то имели ввиду именно это

А алеф-0 ты из яблок не сделаешь.

Почему? Не хватит яблок? А на что хватит? Если хватает на любое натуральное, то должно хватить и на алеф-0. Подумай, почему это так. Если хватает не на любое натуральное, то... ;)

Разумеется, это довольно шаткое определение, поскольку существенно полагается на свойства нашего физического мира.

Ты, как я вижу, физик. Я физиков очень уважаю, и только поэтому не буду сюда цитировать третью фразу из твоего профиля.

Потому что мешать в одну кастрюлю теорию множеств и «свойства физического мира» - это нонсенс (англ. бред, бессмыслица). Либо давай строгое определение, либо объясняй на яблоках и палочках без всяких классов эквивалетности.

Надеюсь на конструктивное обсуждение.

Сначала натуральные, целые,отрицательные и т.д. Просто число это обобщающее бытовое понятие, хрень для счета.

Так бытовое и обычное школьное понимание натуральных чисел вовсю опирается на свойства физического мира.

Если хотим строгое определение, то разумеется, нельзя на свойства физического мира завязываться.

Давали. Только никто не понимал зачем это.

Просто число это обобщающее бытовое понятие

Нет, просто число это очень плохое и сложное понятие. Частным случаем просто числа, как минимум являются всякие мнимые числа, в которых есть i, т.е. корень из -1. Удачи в его вычислении и использовании для счета яблок.

но, что характерно, число i определяется не как корень из -1

Не верю, что в принципе возможно объяснить теорию групп не прибегая к интуитивному понятию числа.

Ну так я и не против бытового понимания на яблоках и палочках.

Но ты попытался дать формальное определение на фреймворке теории множеств, что говорит о том, что в целом с ней знаком. Это хорошо. Кстати, определение корректное, то есть непротиворечивое.

Но в нём есть одна проблема, как я уже сказал - захватываются лишние классы, кроме натуральных чисел. И не надо апеллировать теперь к физическому миру - уже поздно пить боржоми. Мы спустились на формальный язык классов эквивалентности и отображений.

Надо исправлять определение.

Если хватает на любое натуральное, то должно хватить и на алеф-0.

в нашем физическом мире есть еще такая сущность, как время. И особенность мира в том, что чем больше мы хотим яблок, тем больше времени нам понадобится для их выращивания. Ресурсы то ограничены. И выращивания алеф-0 яблок мы никогда не дождемся

Не как, но ilovewindows пусть корень ищет, это же хрень для счета. Тем более, определение i зависит от способа расширения поля вещественных чисел до поля комплексных.

в нашем физическом мире есть еще такая сущность, как время. И особенность мира в том, что чем больше мы хотим яблок, тем больше времени нам понадобится для их выращивания. Ресурсы то ограничены. И выращивания алеф-0 яблок мы никогда не дождемся

Ты уж определись - ты садовод или готов поговорить о натуральных числах с точки зрения теории множеств? Вроде хорошо же начал.

обычно вроде как (x,y), где x,y из R. А также операции с ними, и отображение (x,0) -> R

Я про строить множество из тех физических яблок, которые выращивают садоводы. Только их мы будем называть «объекты» в том определении, что я дал

Хм, помню, что препод выводил определение i немного из других соображений (а вот как именно по памяти не расскажу, давно было), т.к. так не очень понятно, зачем всё это вообще нужно.

затем, чтобы написать (0,x)*(0,x) = (-x*x, 0). Т.е. для извлечения корня из отрицательных чисел

Не совсем так, вспомнил всё же, как он вывод более понятным делал. Если совсем на пальцах, то у квадратного уравнения 2 корня, у уравнения четвертой степени - 4, а у уравнения 3-ей должно быть 3 )

Комплексные числа вообще абстракция, их нельзя объяснить, можно за уши притянуть какой-то смысл. Они вроде в старших классах, но чем дальше, тем меньше помню. Помню что были и помню что была где-то в прошлой жизни теория вычетов, далее провал.

Нет их в школе и быть не должно.

да нет там никакого притягивания за уши

у нас были. Правда я в физмат школе учился

а вот то, что некоторые студенты-физики 3-го курса не помнят, чему exp(i * pi/2) равно, огорчает

или пустое множество или представитель класса единицы, называем двойкой.

Почему двойкой?