Переход из базиса в базис - это преобразование, которое 1) взаимнооднозначно, 2) линейно.

=>

a) Ядро у него обязано быть нулевым.

Если ядро содержит хотя бы один элемент K, то F(x + K) = F(x) + F(K) = F(x) по линейности, и тогда ломается взаимная однозначность.

b) В координатах оно записывается квадратной матрицей, которая обязана быть невырожденной.

Линейный оператор и линейное отображение - синонимы, различия в использовании возникают из-за каких-то оттенков и привычек. Например функция - это обычно на вещественных/комплексных числах, оператор - на пространствах, отображение - на множествах более общего характера. И в зависимости от того в каком контексте ты находишься выбираешь более подходящий термин. Но это только для красоты, а _строго говоря_ они эквивалентны.

Мяу? Лучше в жаббере мне ответь.

Можно конечно всё чуть более запутать...

На самом деле переход из базиса в базис сам по себе - это не преобразование пространства.

Есть некое пространство M. Оно абстрактно и по сути является множеством точек, с двумя операциями на нём.

Что такое базис? Набор элементов(точек) этого пространства. Удовлетворяющих некоторым свойствам, но не суть. Взяли тут n точек, или вот n точек там чуть подальше в сторонке. Получили два базиса. Можем на них оба смотреть.

И что тогда значит что мы из одного базиса перешли в другой? Да пока ничего. Потому что мы пока ни в какой базис не «зашли» ещё.

Как это сделать?

С помощью базиса (ака набора точек) мы можем сопоставить каждой точке нашего абстрактного пространства M точку в одном конкретном нам знакомом от и до пространстве R^n.

Так что выбор базиса - это на самом деле выбор взаимнооднозначного отображения

A: M -> R^n

Выбирая второй базис, мы строим второе отображение

B: M -> R^n

Переход из одного базиса в другой - это отображение _координаты_ точки полученной в первом базисе в _координату_ этой же точки во втором.

То есть это не линейный оператор в M, это линейный оператор F из R^n в R^n:

        F   
   R^n --> R^n
    ^       ^
  A |       | B
           
    M   =   M
    

такой что

F(А(x)) = B(x)

Отсюда мы получаем матрицу. При том что в самом M никакого преобразования пространства не происходит, точки M никуда не движутся и не отображаются.

Обычно M отождествляют с R^n (через выбор одного из базисов), и операторы на пространстве координат считают операторами на самом исходном пространстве. Но это не совсем одно и то же.

Чотко пояснила.

Ну просили же «по понятиям».

Вопрос по понятиям

Ты где чалился, фраер?

То есть это не линейный оператор в M, это линейный оператор F из R^n в R^n:

да вполне может быть оператор прямо в M. Просто считать его не так удобно.

На экономфаке, когда-то)

А чё по масти у вас не прокатил?

Спасибо за развёрнутый ответ.

Напоследок хотелось бы разобрать более конкретный пример.

Предположим у нас есть линейный оператор L в пространстве V размерности R^n , который действует на вектор k и переводит его в вектор m пространства W. Пусть размерности обоих линейных пространств одинаковы и равны R^n.

Как нам найти координаты вектора m линейного пространства W?

Ведь это как раз наш случай, когда сперва нужно найти матрицу перехода, а потом умножить наш вектор в пространстве V на эту матрицу. Правильно?

P.S. То есть, мой вопрос в том, как мы действуем, если у нас есть «хитрое» линейное преобразование, которое переводит вектор одного линейного пространства, в вектор другого пространства, с другими координатами вектора в этом пространстве.

На экономфаке, когда-то)

Ваш Канторович по векторным пространствам зажигал и тебе можно, наверное.

Сам то по масти кто? Братуха воровская или шкура мусорская?

каким образом задан L?

Ты используешь слова не вдумываясь до конца в то, что они значат. Так не пойдет. Все термины, которые ты используешь, в ответе или в вопросе, должны быть корректно определены.

К примеру есть понятие «матрица перехода», которое на самом деле «матрица перехода от одного базиса пространства V к другому базису того же пространства V», и о котором речь шла выше. Ты же вдруг начинаешь использовать его в значении «матрица перехода между пространствами». Такого понятия нет, ты его изобрел, тогда ты обязан строго определить, что ты имеешь в виду.

Далее, есть понятие «координаты вектора». Но опять, это сокращение, а если по полной форме, то это понятие «координаты вектора m в базисе e пространства W».

Ты же его начинаешь использовать без уточнений: «Как нам найти координаты вектора m линейного пространства W?»

Ответ - никак. Ну или «а сколько надо?».

Если m не ноль, то существует базис, в котором его координаты (1,0,...,0); существует другой базис, в котором его координаты (1,1,..1); существует третий базис, в котором его координаты (-5, 7, 42, 15,..) и вообще для любой наперед заданной последовательности n чисел, существует базис, в котором вектор m имеет именно такие координаты.

Поэтому без указания каких-то дополнительных данных абстрактные вопросы о матрице и вычислении координат вектора после преобразования не имеют смысла.

Ты используешь слова не вдумываясь до конца в то, что они значат

Ну потому и тему назвал так, как она озаглавлена.

Только решил, что «Вопрос о понятиях» будет слишком скучно звучать

Ты же вдруг начинаешь использовать его в значении «матрица перехода между пространствами». Такого понятия нет, ты его изобрел.

Именно, это я и хотел уточнить, т.е. как правило, когда говорят матрица перехода имеют ввиду переход от базиса к базису в одном и том же пространстве. Так?

А ты строгая.

Дело ещё в том, что самым любимым векторным пространством является R^n.

R^n - это не абстрактное векторное пространство, а одно, очень конкретное пространство кортежей из n вещественных чисел.

В нём, по определению есть канонический базис: (1,0,..0)..(0,..0,1). Здесь это не _координаты_ точек, это _сами_точки_.

В каноническом базисе легко вычислить _координаты_ точки: Для любой точки x=(x_1,..x_n) её координата в каноническом базисе есть (x_1,..x_n).

Соответственно когда мы рассматриваем операторы на R^n, мы часто говорим об операторе и его матрице как об одном и том же. Но это работает только потому что мы всегда в фоне подразумеваем привязку к каноническому базису.

Это с одной стороны сильно упрощает жизнь, потому как можно сразу начинать что-то считать и т.п., а с другой - сильно усложняет переход к пространствам, где канонического базиса никогда не было. Потому что все «привычные» рассуждения надо теперь перепродумывать, и вытаскивать наружу неявную зависимость на базис.

Пускаемся в голую теоретизацию

Например, пусть оператор умножает каждую координату вектора на 3 и к полученому произведению прибавляется 2. Так подойдет или ты не о том спрашивал?

Вот это тоже полезно знать.

Просто алгебра штука довольно абстрактная и хочется заранее проставить себе флажки, насчет того, какие понятия и операции над ними имеют смысл в рамках этого раздела математики.

Я то честный фраерок, за мной нет боков перед братвой :-)

Например, пусть оператор умножает каждую координату вектора на 3 и к полученому произведению прибавляется 2.

Задачка на дом: докажи что так определенное отображение не является линейным.

Ну фарту масти, братушка!

Действительно, тут и доказывать вроде нечего, данный оператор линейным не является, т.к. по определению линейного оператора L(x+y) = L(x)+L(y).

Эх, надо было брать оператор интегрирования, чтобы не ошибиться :-)

:-D

Разобрали немного пусть L это интеграл от некоторого многочлена степени не выше второй. Что дальше скажешь?

В этом примере какие у тебя V и W?

Ты к тому, что я уже начал запутываться?

Т.е. одно дело векторное пространство, совсем другое — пространство многочленов над полем действительных чисел? Или я не понял вопроса?

Не, это был прямой вопрос.

Ты гадаешь: тыкаешь в отображение, оно висит в воздухе, оторванное от контекста, и наверное оно линейный оператор, но может быть и нет.

А я тебе предлагаю перестать гадать, приземлить его в конкретный контекст и доказать что это именно линейный оператор. Ну или нет, это уж как пойдет.

Первый шаг в этом - это увериться то мы действуем из линейного пространства в линейное пространство. Без этого в принципе о линейных операторах говорить смысла нет.

Второй шаг будет показать, что мы действуем линейно.

Понял.

Мы должны постулировать, что в наших пространствах V и W

• Сложение коммутативно;
• Сложение ассоциативно;
• Существует «нулевой» элемент, переводящий точку в нуль-вектор;
• Существует «единичный» элемент, который переводит точку пространства саму в себя;
• Умножение ассоциативно;
• Умножение скаляра на векторы, дистрибутивно относительно операции сложения;
• Умножение вектора на скаляры, также дистрибутивно относительно сложения;

Записывал словами, т.к. влом формулы тут набирать.

Отлично, постулировали, а с отображением нашим, что дальше делать?

P.S. А если подумать для вектора не так и много линейных операций: поворот на данный угол, гомотетия и, возможно, проекция вектора на ось... это так мысли вслух.

Разобрали немного пусть L это интеграл от некоторого многочлена степени не выше второй. Что дальше скажешь?

Только надо определить константу интегирования нулем, бо будет нелинейно. Все, таким образом определен линейный оператор. Теперь, если хочешь говорить о координатах, то надо для начала выбрать базис.

например 1,x,x^2 в пространстве V, и 1,x,x^2,x^3 в W.

тогда L действует как L:(a_1,a_2,a_3)->(0,a_1,a_2/2,a_3/3)

матрицу сам найдешь?

Воот, это уже теплее. Сам найду. На сегодня хватит :-)

матрицу сам найдешь?

|1|0       |0 |
|0|a_2/2   |0 |
|0|0|(a_3)^2/3|

Она, не?

одной строки не хватает. У тебя же 4-х мерный вектор должен быть на выходе. Если брать базис {1,x,x^2,x^3}.

Но если брать базис {x,x^2,x^3}, то тогда твоя матрица почти правильная (зачем a_3 в квадрат возводишь?)

Типичный случай замещения настоящей математики вычислениями.

Вместо того чтобы разобраться в постановке задачи, в используемых понятиях и конструкциях начинаем считать какие-то циферки. Потом эти какие-то циферки начинаем подгонять под какой-то ответ. А вопросы: откуда куда действует изучаемый оператор, почему он линеен, какова на самом деле размерность его матрицы.. так и остается без хоть какого-то осознания.

Если так работать с примерами, то хоть сто примеров рассмотри, кроме мусора в голове ничего не появится.

Можно же идти от частного к общему, а не наоборот.

Чего ты сердишься?

А вопросы: откуда куда действует изучаемый оператор, почему он линеен, какова на самом деле размерность его матрицы.. так и остается без хоть какого-то осознания.

Все эти вопросы выяснены на этапе постановки оператора.

Вообще наилучшее понимание теории происходит на практике. Никто не начинает с Бурбаки вместо Киселева.

Все эти вопросы выяснены на этапе постановки оператора.

Они не были выяснены. Ты только что постом выше уперся в то что вы не согласовали целевое пространство, и получили расхождение в размерности матрицы в ответе. Именно потому что изначально не разобрали о чем речь.

Бурбаки - это совсем о другом.

Примеры важны, но надо использовать примеры чтобы понять общую идею. Для этого надо взять пример и найти всех его «участников», определить какие роли они играют, проверить выполнение аксиоматики для них и выяснить какие свойства являются общими, а какие частными в данном конкретном случае. Вы же взяли пример и «что-то посчитали». Нельзя начинать считать если не понимаешь что считаешь, это шаманизм с цифрами, а не математика.

Для этого надо взять пример и найти всех его «участников», определить какие роли они играют, проверить выполнение аксиоматики для них и выяснить какие свойства являются общими, а какие частными в данном конкретном случае.

вот как раз на примере, на ошибке, можно отлично проиллюстрировать выше сказанное. Шаманизм будет как раз в том случа, если этого _не_ делать. Тогда все эти выяснения что за пространства и т.п. будут казаться некими ритуалами.

{{0, 0, 0},  
{a_1, 0, 0},  
{0, a_2/2, 0}, 
{0, 0, a_3/3 }}

Вроде больше никак не сделать :-)

Почти. Только откуда в матрице взялись коеффициенты a_i? Получается, что отображение зависит от входных данных.

пока ничего умнее не придумал, но это поправимо

{0, 0, 0},  
{x, 0, 0},  
{0, x/2, 0}, 
{0, 0, x/3}

хм. ок.

Давай тогда отобразим полином 1+x^2 из V в W с выбранными тобой базисами. С помощью вот этой матрицы, что ты написал.

Для начала: какие координаты будут у 1+x^2 в выбранном нами базисе?

Мда, тогда придется иметь «лишние нули» и представлять полином как

{1 ,0, x^2}

Из любви к искусству хотелось бы этого избегать.

{1 ,0, x^2}

не.

ок. А если как базис взять {1,x,2x^2}, то какие тогда координаты у 1+x^2 будут?

Я имел ввиду представление полинома перед перемножением на матрицу перехода.

Сами координаты в базисе W, понятное дело будут

{0, x, 0, x^3/3}

Ну, а вообще я подумаю, кручусь где-то близко, да не рядом.

давай пока про преобразование забудем. Давай на Вопрос по понятиям (комментарий) ответь.

Т.е. ты к этому подводишь

{1, 0, 1/2}

?

Дальше я иду спать, а ты кидаешь в мою аватару помидоры)

Т.е. ты к этому подводишь

Именно :)

А теперь можем поговорить и о матрице преобразования. Попробуй ее исправить. Учитывай то, что матрица переводит _координаты_ в _координаты_.

на пробу

{0, 0, 0},  
{1, 0, 0},  
{0, 2, 0}, 
{0, 0, 3}

ок. теперь для проверки, подействуй на координаты нашего полинома 1+x^2. Что получится? Какой полином?

матрица исходная, матрица обратная :-)

Наверно лучше так

{0, 0, 0},  
{1, 0, 0},  
{0, 1/2, 0}, 
{0, 0, 1/3}

Т.е. теперь, если я правильно уловил суть, мы работаем только с коэффициентами перехода.

Далее, умножаем координаты нашего вектора в базисе пространства V на матрицу этих коэффициентов (пока назовём это так) и полученный вектор-столбец умножаем на на базис пространства W Так, вроде, все сошлось.

Вроде...