Зачем нужны аксиомы?

Аксиому выбора все математики принимают

емнип, нет. Споры о том, принимать ее или нет, ведутся уже 100 лет и вроде пока не утихли

второй альтернативной математики у них НЕ получается

получается. Но несколько другая

А еще я слышал упоминания, об других альтернативах аксиоме выбора. Которые приводят к еще другим математикам

Чтобы быть моделью для натуральных они не должны переполняться

о чём и речь. Ваша модель _=_ не соответствует действительности, ибо дополняет свойства некоторыми дополнительными ограничениями. Как и баш, в котором числа не могут быть >2**63.

Множеств универсума ZF, которые достаточно богаты на структуру, но да, определённых. Вообще было бы странно, если бы значок ∀ означал что-то вне HOL над структурой, вне PA, вне ZF и вообще непонятно что.

почему-же? Логика подсказывает, что именно это значок и должен изображать. А ЭТО не обязано подчиняться равенству, даже самой себе. Тащем-то мы даже действительные числа и то не имеем полного права сравнивать на равенство...

Имелось в виду http://www2.math.su.se/reports/2001/11/2001-11.pdf (я про wheels тебе как-то уже говорил), с ∞ ещё добавляется ⊥, так что 1/0 = ∞, 0/0 = ⊥, 0 * ∞ = ⊥ и т.п.

любопытно, но не нужно. Проблема в том, что расширять множество чисел не нужно в данном случае, это просто другой случай. С комплексными числами совсем не так, и не так с вещественными и любыми другими абстрактными числами, которые применяются на практике. У нас нет IRL скажем чего-то, что весит sqrt(2) килограмма ТОЧНО. Мы это в своей СС даже записать не в силах. На самом деле, это мелочь. У нас ЕСТЬ нечто в 1414 грамм, _возможно_ оно весит ровно sqrt(2) кг. Вещественные числа существуют IRL, мы просто не можем их точно мерить и изготавливать. Комплексные числа тоже вполне себе существует — любой конденсатор обладает вполне себе реальным сопротивлением. Да, реактивным. Не вижу проблемы. Но в этом случае всё проще и печальнее, поделить на ноль не то-что бы нельзя, а тупо не получается. И не получается из-за нашей собственной дурости: мы как маленький ребёнок, сломали игрушку, а теперь плачем. И НИЧЕГО уже здесь не поделать. Умножение на ноль это не игрушка.

Колёса из этой статьи — путь в никуда. На практике это просто не нужно. На практике нужно просто обозначить ЭТО каким-то значком, и научится с ним работать. ЭТО вовсе не обязательно деление на ноль, ЭТО просто обратное действие к ∀.

Нет никакого расширения чисел, оно не нужно. При делении на ноль вовсе НЕ ПОЛУЧАЮТСЯ какие-то непонятные числа типа ☣, НИЧЕГО НЕ ПОЛУЧАЕТСЯ. Именно этот факт я и обозначаю ☣. Это не число, это честная констатация собственного бессилия и тупости.

И да, я в курсе про расширение множества, с натуральными числами так совсем просто, достаточно дополнить множество N счётным множеством _различных_ нулей, и тогда деление на ноль станет тривиальной операцией.

17 * Z0 => Z17
Z17 / Z0 => 17

меридианы не параллельны.

меридианы равно удалены друг от друга на «экваторе и „около”»

А если я мудрец племени МумбаЮмба, что на острове в экваторе, и у меня НЕТ возможности оттуда уплыть? А вот углы мерить я умею, и вижу, что перпендикуляр от одного меридиана пересекает другой под прямым углом? Почему меридианы для меня не параллельны?

если мы знаем о кривизне вселенной допустим лиш её постоянность то равноудалённость прямых не исключает их параллельности.

а во Вселенной все мы дикари. И проверить пересечение НЕВОЗМОЖНО.

что «нет»?

Нет такой аксиомы.

балобол.

Отлично подходит. Просто на сфере нет параллельных геодезических, и всё.

балобол.

равнобежные прямые

Это кто?

дед пыхто. Учи матчасть, школьник.

если в первом пустить два луча света

Понятие «свет» в математике отсутствует.

понятие «математика» отсутствует в головах балаболов типа тебя.

Нормальные люди используют математику для объяснения процессов, происходящих в этом мире. Например для того, что-бы понять как распространяется луч света. Он знает математику, а ты — нет.

Ну, для тех, у кого минус восьмидесятый уровень по математике, это, может, и откровение. Для остальных это общее место.

что, все прямые углы теперь разные? OH SH~~

перпендикуляр от одного меридиана пересекает другой под прямым углом? Почему меридианы для меня не параллельны?

как отсюда следует параллельность в общем случае?

половинка бесконечности очевидно не больше бесконечности.
Вот как раз за это ручаться нельзя.

можно. Говорю же, пределы нам помогут: если одна функция вдвое больше другой, то их частное равно двум. Даже если функции стремятся к бесконечности. Бесконечность это не ☣, их можно делить, умножать, складывать(получается бесконечность)(вычитать нельзя ☣). Результат вполне определён. Просто обычно операции не имеют смысла потому, что проку с них никакого

∞ + N === ∞
∞ + ∞ === ∞
∞ / N === ∞
∞ * N === ∞
∞ / ∞ === 1 
(в случае, если алгоритм получения обоих бесконечностей эквивалентен. Это важное примечание, в силу того, что если этот алгоритм ☣, то и частное ☣, а если второй алгоритм
это первый умноженный на 2, то частное === 1/2)
∞ * ∞ === ∞∞ (бесконечность второго порядка)
1 / ∞ === 0 (на самом деле это бесконечно малое, но если его только складывать и и умножать с вещественными числами, то работает как ноль)
Откуда: 1 / 0 === ∞, (Важно! если этот ноль на самом деле бесконечно малое из прошлого пункта, но НЕ ноль)
1 / 0 => ☣ (общий случай, включает и прошлый)
∞ - ∞ => ☣

Особенно если вспомнить про физический смысл бесконечности.

у бесконечности НЕТ физического смысла.

А «здравый смысл» без опоры на физический смысл ничем не отличается от параноидальной шизофрении.

отличается. У меня нет никакой шизофрении. Даже параноидальной. У меня другой диагноз.

Научный метод с аксиомами не работает.

работает. Без них нельзя. В физике «постулаты» называется.

Научный метод работает с фактами и их обобщением.

тогда скажи, что такое «время»?

Нормальные люди

Не тебе говорить о «нормальных людях». Если уж ты считаешь, что луч света что-то там знает.

емнип, нет. Споры о том, принимать ее или нет, ведутся уже 100 лет и вроде пока не утихли

там немного не о том споры. Споры ведутся совсем в другом контексте. Да и сейчас они затихли, этим никто похоже не занимается. Просто не трогает.

получается. Но несколько другая

ага. Лишённая всякого смысла. Даже с ней получается ☣, и наше счастье, что она не даёт ответа на вопрос КАК это получить. А без неё так вообще полная ☣.

А еще я слышал упоминания, об других альтернативах аксиоме выбора. Которые приводят к еще другим математикам

...ещё более бессмысленным и нежизнеспособным.

что, все прямые углы теперь разные? OH SH~~

Это у тебя какая-то неандертальская логика.

перпендикуляр от одного меридиана пересекает другой под прямым углом? Почему меридианы для меня не параллельны?

как отсюда следует параллельность в общем случае?

по определению, очевидно же!

Если уж ты считаешь, что луч света что-то там знает.

вот именно, что СЧИТАЮ. Он _подчиняется_ законам математики, мне этого достаточно. Вопрос «почему?» меня не интересует. Может его Б-г направляет, а может ещё что. Какая разница? Расчёты от этого не меняются.

что, все прямые углы теперь разные? OH SH~~

Это у тебя какая-то неандертальская логика.

Евклид писал, что «одинаковые», ты говоришь «всё изменилось». Кто врёт? Или четвёртая аксиома Евклида ещё актуальна? ОК, какие аксиомы пересмотрены?

называю «параллельными»

знаешь, в чем отличие тебя от прямой? если ты называешь прямые как хочешь, то все нормально, а если тебя назовут, как захотят, комменты удалят.

в одном направлении

у любой прямой ровно 2 направления: вперед, назад. это я, на всякий случай, не буду писать :)

углы между этими прямыми и любой пересекающей равны

ну, для наглядности, пересеки их на полюсе.

перестань доказывать тут всем, что прямые, которые не пересекаются, пересекаются.

по определению, очевидно же!

давай нам определение, только не тобой придуманное.

называю «параллельными»

знаешь, в чем отличие тебя от прямой? если ты называешь прямые как хочешь, то все нормально, а если тебя назовут, как захотят, комменты удалят.

тогда дай своё определение, если с моим не согласен.

в одном направлении

у любой прямой ровно 2 направления: вперед, назад.

естественно речь идёт о направлении «вперёд», разве тебе это не очевидно?

углы между этими прямыми и любой пересекающей равны

ну, для наглядности, пересеки их на полюсе.

ты уже поделил на ноль для наглядности?

перестань доказывать тут всем, что прямые, которые не пересекаются, пересекаются.

марш в школу. Хотя, у тебя же каникулы. Сейчас объясню: был такой дядька Евклид, он сказал буквально следующее(цитирую википедию)

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Ну а если углы не меньше, то очевидно не встретятся. Ибо параллельные. Так и будут вместе идти, на одном расстоянии бесконечно(это можно доказать. В школе это проходили раньше). Фишка в том, что если пространство кривое, то это не так. Они либо расходятся в стороны, либо наоборот сходятся в зависимости от кривизны пространство. ИЧСХ это не мешает им оставаться ПРЯМЫМИ. Впрочем, я не вижу в этом ничего странного.

давай нам определение, только не тобой придуманное.

для таких как ты, в вике даже пруф на оригинале дали:

Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.

ИЧСХ это не мешает им оставаться ПРЯМЫМИ.

кто-то с этим спорит? это мешает им быть параллельными. переход в другую плоскость не удался, тренируйся в женской логике дальше.

во-первых, ты озвучил не определение, а аксиому. определения параллельных прямых звучит так (посмотри на той же страничке вики, откуда ты скопипастил свой мунспик):

Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются

дай определение параллельных прямых для геометрии римана.
подсказка: такого определения нет, потому что нет там параллельных прямых.

во-первых, ты озвучил не определение, а аксиому. определения параллельных прямых звучит так (посмотри на той же страничке вики, откуда ты скопипастил свой мунспик

то определение негодно для случая ненулевой кривизны.

подсказка: такого определения нет, потому что нет там параллельных прямых.

подсказка: ты можешь пользоваться какой хочешь терминологией, но не имеешь никакого права требовать этого от других.

Если твоих мозгов не хватило на обобщение понятия «параллельные» для случая положительной кривизны, то это твои проблемы. У меня хватило, это не сложно. Своё определение понятия я дал, что ты ещё хочешь? Хочешь, что-бы я твоей терминологией пользовался, и не называл параллельный прямые параллельными? Какой мне с этого профит? Ну ладно-бы, если-бы ты называл другое так, была-бы путаница. Но ты их тупо не наблюдаешь, какая разница тебе-то?

и да, подсказка в картинках, пятый постулат IRL

http://s2.ipicture.ru/uploads/20130726/ZyZxdpXI.jpg

если ты называешь прямые как хочешь, то все нормально

Даёшь новый пункт лоровских правил: «Оскорбление чувств научных терминов (-80)»!

где взял такое определение?

блжд, взял пятый постулат Евклида(осилил вспомнить школьную программу), и тупо его применил. Как раз Евклид говорил о встроенных углах с пересекающей их прямой. Но, как мне уже выше сказали, теперь в школах Евклида отменили, потому я уж и не знаю. Может сам у учительницы спросишь?

если ты еще раз применишь пятый постулат евклида для неевклидовой геометрии, умрет котенок.

и задумайся, почему слова «аксиома» и «определение» пишутся и звучат по-разному.

он же написал, что он его придумал Зачем нужны аксиомы? (комментарий)

Если твоих мозгов не хватило на обобщение понятия «параллельные» для случая положительной кривизны, то это твои проблемы. У меня хватило, это не сложно. Своё определение понятия я дал, что ты ещё хочешь? Хочешь, что-бы я твоей терминологией пользовался, и не называл параллельный прямые параллельными? Какой мне с этого профит? Ну ладно-бы, если-бы ты называл другое так, была-бы путаница. Но ты их тупо не наблюдаешь, какая разница тебе-то?

да ты точно упоролся. я параллельными прямыми назвал непересекающиеся прямые, так же, как и все прогрессивное человечество. свою собственную терминологию можешь ночью под одеялом придумывать, только не утомляй ей остальных.

если ты еще раз применишь пятый постулат евклида для неевклидовой геометрии, умрет котенок.

Какой ты смешной и глупый. Ну хоть научись имена с большой буквы писать.

Для тебя замечу, что геометрия она одна, и постулаты там тоже одни. Кривизна и неестественность пятого постулата была очевидна самому Евеклиду. На самом деле, этот постулат просто описывает поведение параллельных прямых. И по чистой случайности получилось так, что Евклиду достался кусок идеально ровной плоскости, на которой расстояние между параллельными прямыми везде одинаковое.

и задумайся, почему слова «аксиома» и «определение» пишутся и звучат по-разному.

зачем? Я и так это знаю, ибо в отличие от тебя, когда-то учился в средней школе. А ты можешь у гугла спросить, если это так тебе интересно.

Пятый постулат Евклида относится к евклидову пространству. Кусок сферы - неевклидово пространство

Для тебя замечу, что геометрия она одна, и постулаты там тоже одни

котенок умер. на очереди жеребенок

да ты точно упоролся. я параллельными прямыми назвал непересекающиеся прямые, так же, как и все прогрессивное человечество.

ВНЕЗАПНО: я тоже так называю. Потому-что как и всё прогрессивное человечество, я живу в мире, в котором кривизна пространства пренебрежимо мала. Да и поверхности Земли тоже. Потому, на бытовом уровне, параллельные прямые не пересекаются.

свою собственную терминологию можешь ночью под одеялом придумывать, только не утомляй ей остальных.

не переживай, когда вы в школе будете проходить другие геометрии, то вам про это расскажут. А сейчас — наслаждайся каникулами.

Возьми арбуз. И прежде чем съесть его, проверь свои фантазии на геометрии на его поверхности

Пятый постулат Евклида относится к евклидову пространству.

пятый постулат Евклида относится к любой плоскости. Но в некоторых неевклидовых пространствах он неверный.

Кусок сферы - неевклидово пространство

это не мешает тому, что все 4 аксиомы Евклида на сфере очевидны и правильны.

котенок умер. на очереди жеребенок

обломайся.

Возьми арбуз. И прежде чем съесть его, проверь свои фантазии на геометрии на его поверхности

это не фантазии. Всё именно так и есть. Я вот посмотрел, даже в вике так написано. Только надо там по страничкам походить, а то они в одном месте не осилили сделать.

Если что-то и случилось с постулатами Евклида, то явно только в сфере образования.

Да ни капли он не относится к неевклидовым пространствам. По той простой причине, что сумма углов между двумя прямыми (а на самом деле геодезическими, т.к. с прямыми линиями в неевклидовых пространствах туго) и пересекающей их геодезической не есть постоянная величина.

Да ни капли он не относится к неевклидовым пространствам. По той простой причине, что сумма углов между двумя прямыми (а на самом деле геодезическими, т.к. с прямыми линиями в неевклидовых пространствах туго) и пересекающей их геодезической не есть постоянная величина.

сам-то понял, что сказал? С чего-бы сумме изменяться, если ничего не меняется?

Что касается «не прямых», то не переживай. Говорю-же, возьми фонарик, и считай, что свет от него летит по прямой. Если тебе нужна математическая аналогия, то возьми уравнение первой степени. Любое. Это прямая. То, что с т.з. какого-то «внешнего наблюдателя» она не прямая, никого не волнует: с математической т.з. прямая описываемая уравнением первой степени является прямой. Даже если её у тебя на лбу нарисовать. Кривизна никого не волнует, ибо система координат у тебя такая-же кривая.

С чего-бы сумме изменяться, если ничего не меняется?

возьми сферу. Проведи 2 геодезические - меридианы. И возьми 3 геодезическую - экватор. Сумма углов равна 180 градусам. А теперь проведи другую геодезическую, пересекающую первые 2. Ты точно уверен, что сумма будет по прежнему 180?

с математической т.з. прямая описываемая уравнением первой степени является прямой.

А как мы выбираем систему координат?

Плоское пространство оно особенное тем, что оно совпадает с касательным пространством в каждой точке. Потому в нем есть особые системы координат, совпадающие с координатами в каком либо из касательных пространств. И во всех этих системах координат, связанных линейными преобразованиями, вводимая тобой прямая остается прямой. А есть еще много криволинейных систем координат, например сферические, эллиптические итд.

В случае же неплоского пространства все координаты криволинейные. А твое определение прямой получается зависящим от выбора системы координат, т.к. преобразования между ними не обязательно линейны.

И потому вводимая тобой прямая в неплоском пр-ве не несет в себе никакого смысла

вот именно, что СЧИТАЮ.

Вот и не бухти про «нормальных людей».

ты говоришь «всё изменилось». Кто врёт?

В данном случае — ты.

возьми сферу. Проведи 2 геодезические - меридианы. И возьми 3 геодезическую - экватор. Сумма углов равна 180 градусам. А теперь проведи другую геодезическую, пересекающую первые 2. Ты точно уверен, что сумма будет по прежнему 180?

если эта другая пересекает один из меридианов под прямым углом, то и другой тоже под прямым. И потому сумма будет 90+90=180. Т.е. несмотря на уменьшение расстояния, прямые не сходятся.

Пойми очень простую вещь: прямоугольник на сфере остаётся прямоугольником, его стороны параллельны, а углы прямые. При этом, та сторона прямоугольника, что ближе к полюсу, по размеру меньше противоположной. Это не важно. Луч света пойдёт по этим, как ты говоришь, «геодезическим», ибо это свойство данной плоскости, и оно изнутри не заметно. Оно только снаружи, из 3d заметно, а внутри это самая обычная прямая.

И да, сама по себе сфера — всего лишь 3d модель плоскости Римана. Начнём с того, что она конечна, потому, все подряд свойства на сфере ну никак не могут выполняться. Например «прямые» они не прямые, а окружности(они являются изнутри «прямыми», в том смысле, что они первого порядка. И тем не менее, настоящие прямые они бесконечные, а окружности естественно нет). И нет никакого смысла рассматривать эту модель как пруф для всего.

Насколько я знаю, IRL поверхность Римана и не может никак иначе существовать, кроме как в виде сферы. Раз параллельные линии сходятся, то естественно они сойдутся. Любые. А значит поверхность Римана замкнута. Ну а так-как кривизна равна константе, то поверхность кривая одинаково, т.е. сфера. К сожалению, сфера конечна, потому имеет свойства поверхности Римана лишь в бесконечно малой окрестности точки, откуда она кажется бесконечно большой.

ВНЕЗАПНО: я тоже так называю. Потому-что как и всё прогрессивное человечество, я живу в мире, в котором кривизна пространства пренебрежимо мала. Да и поверхности Земли тоже. Потому, на бытовом уровне, параллельные прямые не пересекаются.

Если вкратце, то ты говоришь «Возьмем неевклидово пространство и скажем, что оно евклидово»

А ты точно не путаешь геодезическую с параллелью, которая ни разу не геодезическая?

с математической т.з. прямая описываемая уравнением первой степени является прямой.

А как мы выбираем систему координат?

как обычно. Две перпендикулярные прямые. Абсцисса и ордината.

Плоское пространство оно особенное тем, что оно совпадает с касательным пространством в каждой точке.

поясни. При чём тут какое-то другое пространства? Давая лучше с нашей плоскостью разберёмся, а потом займёмся другими плоскостями?

Потому в нем есть особые системы координат, совпадающие с координатами в каком либо из касательных пространств. И во всех этих системах координат, связанных линейными преобразованиями, вводимая тобой прямая остается прямой. А есть еще много криволинейных систем координат, например сферические, эллиптические итд.

у тебя в голове каша. Вернись в 2D мир. Я про плоскость говорил, а не про пространство.

В случае же неплоского пространства все координаты криволинейные. А твое определение прямой получается зависящим от выбора системы координат, т.к. преобразования между ними не обязательно линейны.

это так только на сфере, которая конечна. Проблема лишь в этом. Естественно само понятие «расстояние» на сфере нельзя брать какое хочешь(как это ты можешь делать на плоскости и гиперплоскости). Размер отрезка больше длинны окружности тупо невозможен. И именно потому так оно и получается.

Если ты хочешь исследовать свойства поверхности Римана, то не выходи за пределы бесконечно малой окрестности. Там всё работает. А арбуз лучше съешь.

И потому вводимая тобой прямая в неплоском пр-ве не несет в себе никакого смысла

ну она не мной введена, а Риманом, ты мне льстишь. А смысл там есть, ты просто его не распарсил.

Если вкратце, то ты говоришь «Возьмем неевклидово пространство и скажем, что оно евклидово»

тут ты мне льстишь ещё сильнее, ибо называешь меня Б-гом. Это у Него такие шуточки — засунуть нас в кривое пространство, и наблюдать, как мы думаем, что оно якобы «прямое».

И да, если ты решил опровергнуть, то давай, опровергай все 4 постулата Евклида (с тем, что пятый не выполняется я и не спорил).

А ты точно не путаешь геодезическую с параллелью, которая ни разу не геодезическая?

постоянно путаю. Потому-что говорю не про сферическую поверхность, а про поверхность Римана. Я как-то упустил из виду, что некоторые школьники не знают разницы.

А разница в том, что плоскости Римана не существует IRL. Она даже невоображаемая. Её не существует В ПРИНЦИПЕ, т.к. это невозможно из-за её-же свойств. За то там все плюшки геометрии Евклида, ну не считая того, что параллельные прямые пересекаются. И сумма углов треугольника 180+.

у бесконечности НЕТ физического смысла.

Вообще-то есть. Отсутствие смысла тоже смысл. Показывает границы применимости (фазовый переход, уход объекта в ненаблюдаемую область и тд.

У меня другой диагноз.

Хронический недоучка?

В физике «постулаты» называется.

Постулат это не аксиома. Постулаты проистекают из фактов.

тогда скажи, что такое «время»?

Это не факт, это абстракция очень высокого уровня. Вот частота излучения, возникающего при переходе электрона с одной орбитали на другую - факт.

как обычно. Две перпендикулярные прямые. Абсцисса и ордината.

без системы координат нет прямых, ты не забыл ведь еще свое определение?

это так только на сфере, которая конечна.

это в любом неплоском римановом пространстве.

Если ты хочешь исследовать свойства поверхности Римана, то не выходи за пределы бесконечно малой окрестности.

Я хочу исследовать всё (псевдо)риманово пространство с произвольной гладкой наперед заданной системой тетрад как достаточно общий случай неевклидова пространства.

поясни. При чём тут какое-то другое пространства? Давая лучше с нашей плоскостью разберёмся, а потом займёмся другими плоскостями?

При том, что вне касательного пространства нет никаких углов.