Теория эксперимента: «усреднить» результаты нескольких экспериментов, учитывая их погрешности

Если нужно усреднить, то тут много вариантов как усреднить: арифметич среднее, геометрич, по норме и т.д. Я бы взял квадратичную норму:

\sqrt{\sum{(x_i)^2}}

Но все зависит от того что за эксперимент и что нужно получить.

А погрешность это \sqrt{\sum{(x_i-x_exp)^2}}

Вот, читай: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/index.htm

Как раз то, что тебе нужно.

я хочу что-то вроде взвешенного среднего

Их куча вариантов, мат. статистика тебе в помощь.

какой-то способ оценить погрешность того, что получится

Считай доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности с учётом коэффициентов Стьюдента, например: ©

курсов матстата, теории вероятности, теории эксперимента и тому подобных у нас не было.

А зря. Без них студент подобен «обезьяне с гранатой»™.

более развёрнуто, чем «читать вон туда».

Студенческий раздел форума метрологов. ©

Правильно — выкидываешь на мороз неправильные измерения и оставляешь наиболее точное. А какое из них точное — дык думать надо и доказывать — это тебе не валёного славить.

Правильно — выкидываешь на мороз неправильные измерения и оставляешь наиболее точное.

— Чего грузишься?
— Да вот, сделал несколько экспериментов и получился ужасный разброс значений.
— Балда! Надо было делать только один!

Считай доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности с учётом коэффициентов Стьюдента, например

А если у всех усредняемых результатов разные погрешности?

Их куча вариантов, мат. статистика тебе в помощь.

Я понятия не имею, как правильно, и понятия не имею, нужно ли здесь вообще «взвешенное» что-либо. В лабнике написано «отбрасывайте погрешности конкретных измерений, тупо берите среднее арифметическое и считайте стандартное отклонение». Но интуитивно кажется, что более точный результат должен сильнее влиять на результирующее «среднее». В этом и вопрос.

Спасибо, пойду осиливать.

В каждом случае эти «погрешности» получились существенно разными, сами результаты тоже несколько отличаются.

обычно бывает наоборот, а почему погрешности сильно отличаются? А разница в показаниях в пределы погрешности попадает?

А что за лаба? У нас на лабах бывало что старые приборы выдавали невесть что. Самый забавный случай когда мы кобальтовой пушкой светили и меряли поглощение гаммы в воздухе, а у нас выходил сразу ноль. Там распалось всё, а студенты сдавали старые работы хрен знает сколько лет с красивой затухающей экспонентой, преподаватель посмеивался и ставил зачеты, но некоторые настырные разобрали пушку и померяли счётчиком источник в упор, а там фон.

А если у всех усредняемых результатов разные погрешности?

Усреднять нужно не всё подряд, а отдельно серии измерений по каждому прибору. Затем, на основании критерия Стьюдента © для средних значений и критерия Фишера © для дисперсий определяешь каким результатам можно доверять с априорно заданным уровнем значимости ©.

В лабнике написано «отбрасывайте погрешности конкретных измерений, тупо берите среднее арифметическое и считайте стандартное отклонение».

Дык, тут и думать ненужно!, делай как прописано в «лабнике».

Но интуитивно кажется, что более точный результат должен сильнее влиять на результирующее «среднее». В этом и вопрос.

Вот когда станешь «академиком от статистики», тогда и получишь право на «интуитивно кажется» :)

Усреднять нужно не всё подряд, а отдельно серии измерений по каждому прибору. Затем, на основании критерия Стьюдента © для средних значений и критерия Фишера © для дисперсий определяешь каким результатам можно доверять с априорно заданным уровнем значимости ©.

У меня один прибор, в который я кидаю шарики разных диаметров, а потом вычисляю вязкость жидкости. Шариков много, у всех разный диаметр с разной погрешностью. Отсюда много слегка разных значений вязкости и совсем разных погрешностей измерения. Очевидно неправдоподобные я уже отбросил. Теперь хочу как можно более правильно посчитать итоговую вязкость и оценить точность такого подсчёта.

Дык, тут и думать ненужно!, делай как прописано в «лабнике».

Думать нужно. Нам за обоснованные усовершенствования методик эксперимента или обработки результатов отлы ставят. А за «как в лабнике» — только хор.

Ну раз такео дело, то я бы построил нечто от диаметра, так чтобы это нечто линейная функция была от диаметра. Затем полюбовался бы на график, далее МНК, но перед этим выкинуть лишние точки, а они наверное там будут.

ну вязкость будет сидеть в угле прямой, что там за формула будет не знаю, но погрешность её тоже можно будет рассчитать

Если бы это была линейная регрессия, вопросов бы не было (за метод Деминга, учитывающий ошибки по обеим осям, мне в своё время уже поставили отл). Но там конструктивная формула от объёма шарика и плотностей.

У меня один прибор, в который я кидаю шарики разных диаметров

У тебя не один прибор, а столько, сколько разных шариков.

Каждый шарик нужно кидать много раз для получения серий измерений. А затем выбирать результаты, сосчитанные по сериям, например, по методу наименьших квадратов. ©

P.S. Влияние диаметра шарика на точность измерений можно оценить дисперсионным (однофакторным) анализом. ©

Кидать один шарик несколько раз не получается, в этом специфика эксперимента. Там длинная колба, из которой раз в семестр выгребают все шарики.

А зачем МНК? У меня \eta = f(R, v), есть готовая формула.

Но можно же построить линейную зависимость, может я туплю, ну там по осям там квадраты от чего-то строить или exp или невесть что, лишь бы однозначную.

Кидать один шарик несколько раз не получается, в этом специфика эксперимента. Там длинная колба, из которой раз в семестр выгребают все шарики.

ого, вот это уже интересно

Кидать один шарик несколько раз не получается, в этом специфика эксперимента.

Ну, тогда мучайся и страдай, ибо твоя задача эквивалентна измерению длины удава слонёнками, мартышками и попугаями. © :)

А ниточку привязать, если тонкая она не должна сильно влиять. А последний раз каждый шарик кидать без неё.

Если по простому, то из 100% результатов отбрасываешь 25% максимальных и столько же минимальных результатов и остальное обрабатываешь привычным методом.

Вместо 25% может быть 10% или 30% или что угодно, в зависимости...

Отбрасывание части результатов нормально в статистике, это вот здесь https://ru.wikipedia.org/wiki/Квантиль ,а как-то подкручивать - ненормально.

А ниточку привязать...

Тут нужно знать в каких пределах методичка по лабе и препод допускают изменение методики измерений.

Определись для начала с типом распределения своих случайных величин. А дальше книжку по теорверу и математической статистике в руки и вперёд с песней.

Что на этот счёт говорит методичка? А здоровый чёрный сборник по лабораторкам с теорией больше не существует? :(

я кидаю шарики разных диаметров, а потом вычисляю вязкость жидкости

Я надеюсь, ты после каждого бросания шарика в этот «глицерин» ждал определённое время пока всё устаканится прежде чем бросить новый шарик? Иначе измерения вязкости у тебя будут показывать погоду на Марсе.

за «как в лабнике» — только хор

Жесть какая-то оценку за это снижать. У меня однокурсник автоматизировал лабу по подсчёту частиц, подсоединив ненавистный счётчик к компу, а то до этого она 2 пары только измерений занимала, нужно было сидеть рядом с ним и секундомером.

У нас эта лаба уже была с компьютерами. Тёплыми ламповыми компьютерами с 8086, монохромными жёлтыми CRT, MS-DOS 3.30 и программой примерно тех же лет создания. Только всё равно нужно сидеть две пары около установки.

Что на этот счёт говорит методичка?

Методичка вообще ничего не говорит. «Отберите 20 шариков, проведите измерения для шести температур, для каждой температуры вычислите вязкость».

А здоровый чёрный сборник по лабораторкам с теорией больше не существует? :(

Жёлтый. Это он и есть — совокупность всех методичек по всем лабам.

Я надеюсь, ты после каждого бросания шарика в этот «глицерин» ждал определённое время пока всё устаканится прежде чем бросить новый шарик? Иначе измерения вязкости у тебя будут показывать погоду на Марсе.

Между окончанием полёта одного шарика и закидыванием второго проходило секунд десять. Я полагаю, за это время устаканится всё что можно.

Я не хочу ботать теорвер и матстат вперёд курса ради одной лабы. У меня на это банально нет времени.

Да понятно, что «всё говно». Я вроде конкретный вопрос спросил — есть ли какие-то более правильные методы, чем «отбросить приборные погрешности + среднее арифметическое + стандартное отклонение», в контексте вот именно этой лабы.

Метод с коэффициентами Стьюдента интересен (правдоподобен), правда, хотелось бы почитать про него в оригинале — а то в твоей статье половина картинок с формулами куда-то исчезла.

Между окончанием полёта одного шарика и закидыванием второго проходило секунд десять. Я полагаю, за это время устаканится всё что можно.

Для подогретого глицерина? 10 секунд слишком мало, там пару минут ждать нужно. У меня однокурсник тоже почти сразу кидал шарики вслед, в итоге получил хрень какую-то, а не вязкость - до сих пор вспоминает :)

Есть надёжный вариант: попросить тетрадь с лабами у старших курсов и посмотреть как там считали. Или у тех, кто уже успел её сделать, если такие есть.

У нас был чёрный лабник, в нём кусок теоретической части был об оценках погрешностей и вообще об измерениях.

Вы определитесь: шашечки или ехать. Если измерения проводились на одной установке, то погрешности будут тем же. Если на разных - считайте отдельно для разных установок. Но лучше всего показать исходный «сырой» датасет с детальными комментариями, а то штатный телепат в отпуске.

Есть надёжный вариант: попросить тетрадь с лабами у старших курсов и посмотреть как там считали. Или у тех, кто уже успел её сделать, если такие есть.

Увы, сейчас на ФУПМе вообще не принято хорошо делать лабы. Все съ5.1ывают из одного и того же довольно хреновенького источника.

Разумеется, ни о каких правильных оценках погрешности речи не идёт (вообще ни о каких оценках погрешности речи не идёт, потому как там для отвода глаз написана пара формул, а потом в выводе с потолка указана «погрешность» в 10%).

Для подогретого глицерина? 10 секунд слишком мало, там пару минут ждать нужно. У меня однокурсник тоже почти сразу кидал шарики вслед, в итоге получил хрень какую-то, а не вязкость - до сих пор вспоминает :)

Ну... у меня вроде все значения плюс-минус ложатся на линию.

http://phys-bsu.narod.ru/lib/mkt/mkt/204.htm

Метод оценки погрешности отсюда сойдёт?

Только там есть вопрос

Получите формулу для расчета относительной погрешности Е.

Так экспериментов или "(нескольких) приборов"? Разброс очевидно систематический. А в этом случае с усреднением средним квадратом не обойдёшься — думать и исследовать эти приборы надо.

По хорошему в случае разброса между "(нескольких) приборов" следует выбирать наиболее надёжное значение и приписывать систематическую неопределённость не меньше максимального разброса от него. Статистика безусловно тоже имеет смысл, но в случае _одинаковых_ _независимых_ измерений.

Для серий измерений с одинаковой вязкостью можно взять просто арифметическое среднее с выбросом тех значений, которые ушли дальше трёх сигм от него, ну и по идее разброс значений должен быть меньше приборной погрешности, посчитанной по классу точности приборов и по правилам распространения погрешностей. Потом по получившимся точкам построить график зависимости вязкости от температуры и его аппроксимировать теоретическим графиком методом наименьших квадратов, в правильных координатах, где он спрямляется, оттуда вытащить коэффициенты и их погрешности. Подставить коэффициенты в уравнение, вытащить оттуда вязкость для температуры, сравнить её со средней экспериментальной. Если разница укладывается в погрешность, всё зер гут.

http://gwyddion.net/survey2/ вот забавное исследование по теме, Results and remarks к каждому эксперименту это как обрабатывалось.

Я проглядел часть про "(нескольких) приборов".

А между тем человек дело сказал. Нужен лишь 1 эксперимент, но заранее спланированный, с оценками нужной точности (разных) исходных данных, чтобы не было глупых узких мест в процессе прослеживания ошибок к конечному результату.

В каждом случае эти «погрешности» получились существенно разными

Будь я лаб-лидом, первое бы спросил - почему? И ++ комменту Evgueni.

Здесь два источника разброса: 1) какие-то случайные процессы и 2) неточность измерения диаметра шарика (который иногда вообще не шарик, там тупо берётся среднее от нескольких измерений диаметра).

Шариков несколько, все разные, кидаются друг за другом в один и тот же глицерин. Как поступают в этом случае?

Шариков несколько, все разные

который иногда вообще не шарик,

Оставь только шарики, и только одного размера. Иначе непонятно, что ты вообще экспериментом проверяешь.

Спасибо, удачи.

Это уже выполненный эксперимент. Ты подходишь, тебе выдают N шариков. Ты их измеряешь, каждый по нескольку раз, и получаешь такую классную величину, как средний диаметр. Потом закидываешь шарики с секундомером. Всё. Теперь эти результаты нужно как-то обработать.

Если на всех остальных шагах не заботятся (даже вид не делают) о точности, от корректной статистической обработки результатов точности явно не прибавится.

Примерно как собрать схему из прецизионных компонентов, стабилизировать температуру, давление, влажность в изолированной среде, а потом измерять ожидаемые в пределах десятка вольт напряжения с помощью киловольтного вольтметра. Одного звена достаточно, чтобы всё запороть.

(Как будто ты это всё сам не понимаешь.)

Шариков несколько, все разные, кидаются друг за другом в один и тот же глицерин. Как поступают в этом случае?

А, стандартная глицериновая лаба. Много-много-много одинаково при одинаковой температуре глицерина покидать один и тот же шарик в одно и тоже место. Это будет одна точка — можно надеяться, что систематика там мала и основной вклад в разброс дают ошибки измерения aka в качестве результата брать среднее, в качестве систематической ошибки брать точность измерительных приборов — если она получается сильно меньше, чем среднеквадратичное отклонение от среднего, то эта тема для того, чтобы задуматься что было сделано не так. Если всё более-менее учтено, то среднеквадратичное отклонение и оценка систематики должны быть одного порядка.

Нарисовать точки на графике (вязкость от диаметра шарика или от температуры глицерина), приписать получившиеся ошибки, провести теоретическую прямую-кривую и пофигеть почему оно не сходится, если вязкость брать из методички (глицерин могут разбавлять, так как разные его проливают, а продукта на всех не напасёшься, но тссссс) — подогнать всё скажем методом наименьших квадратов. Если повезёт, то всё более-менее совпадёт.

Много-много-много одинаково при одинаковой температуре глицерина покидать один и тот же шарик в одно и тоже место.

Так не получится. Один шарик можно кинуть только один раз. Хуже того, на пять температур есть всего 20 шариков. Ну и да, лаба уже прошла, данные собраны. Теперь из них надо сотворить что-то отдалённо приемлемое.

Это будет одна точка — можно надеяться, что систематика там мала и основной вклад в разброс дают ошибки измерения aka в качестве результата брать среднее, в качестве систематической ошибки брать точность измерительных приборов — если она получается сильно меньше, чем среднеквадратичное отклонение от среднего, то эта тема для того, чтобы задуматься что было сделано не так. Если всё более-менее учтено, то среднеквадратичное отклонение и оценка систематики должны быть одного порядка.

Если бы можно было кинуть каждый шарик много раз и усреднить для каждого шарика, я бы так и сделал.

Но, в любом случае. Допустим, я гипотетически покидал каждый шарик много раз, усреднил, получил разброс, он совпал по порядку с приборной погрешностью. Теперь для каждой температуры у меня есть несколько похожих точек, каждая со своим разбросом. Проверяем, что вязкость не имеет какой-то выраженной зависимости от радиуса. Допустим, не имеет. Дальше что? Их нужно опять усреднить, а чему равно отклонение полученного результата?

Так не получится.

Плохо. Систематику придётся брать с потолка.

Проверяем, что вязкость не имеет какой-то выраженной зависимости от радиуса.

Естественно не имеет, т.к. вязкость — это характеристика жидкости. Размер имеет значение, если размер шарика становится сравним с диаметром сосуда — тогда формулу для времени падения нужно уточнять, точнее менять. Точки для разных шариков просто будут иметь разные ошибки. Совсем маленький шарик не прокатит, так как просто не утонет из-за поверхностного натяжения, а для большого нужно учитывать размер сосуда и падает он быстрее, поэтому для измерения есть некий оптимум.

А вот от температуры вполне себе имеет.

Повторение эксперимента нужно исключительно для подтверждения, что ничего внезапного не случается и все возможные неопределённости учтены.

Проверяем, что вязкость не имеет какой-то выраженной зависимости от радиуса.

Естественно не имеет

Я понимаю, что на самом деле не имеет. Если мы налажаем в эксперименте, то будет иметь, потому что все используемые физические законы приближённые и с кучей допущений.

И да ­— ну так чего делать-то? Предположим, что я идеальный экспериментатор :), прикинемся шлангом и предположим, что каждое измерение — это результат усреднения серии, а его приборная погрешность равна стандартному отклонению серии. Получаем несколько похожих точек с разными радиусами (и разными ошибками) для каждой температуры.

Что с этими измерениями делать дальше — в методичке не сказано. Сейчас покажу сами данные.

Evgueni, вот: http://nbviewer.jupyter.org/github/intelfx/mipt-lab/blob/master/Курс 1 семест...

Данные на самом деле хреновые получились. Если не затруднит, посмотри и расскажи, где и насколько сильно мне надо отрубить руки я не прав, и что всё-таки делать с этими результатами.

Немного не понял в чём проблема? Основное — очевидно, что с увеличением температуры вязкость падает. Я сам никогда не делал эту лабу, но неоднократно принимал, правда у школьников. Ничего сверхестественного там не требовалось — основное это то, что экспериментально получаются основные зависимости без особых требованиям к точности их получения. Упор делался на понимание обучающегося что именно он делает и что измеряет. Если были идеи на тему как улучшить измерение — это плюс, но их обычно не было.

Сделай один большой график и размести на нём все точки. В силу того, что ошибки (с твоих слов) систематические, то по идее не очень понятно как их обрабатывать с точки зрения статистики, но не будет сильно большой ошибки, чтобы при подгонке теоретической зависимостью притвориться, что эти ошибки статистические. То есть выполнить подгонку с помощью метода наименьших квадратов.

Сделай один большой график и размести на нём все точки <...> не будет сильно большой ошибки, чтобы при подгонке теоретической зависимостью притвориться, что эти ошибки статистические

Окей. У меня каждой температуре соответствуют 3-4 точки. Их усреднять или как?