Некоммутативное детское умножение

В принципе выше уже ответили. Можно только добавить, что для целых чисел есть аксиомы Пеано, а все что сложнее конструируется из целых. Хотя как все эти свойства доказываются для дедекиндовых сечений я даже не уверен что хочу знать.

Конечно же, нет. Совсем не этого от них ожидают в будущем.

Вот читашь тебя и складывается стойкое ощущение, что ты троль, но потом приходит мысль что троли не могут быть настолько тупыми.

Хотя стоит подумать ещё и думаешь, что возможно ты просто порождение современной школьной программы, где нет нужды включать мозг. Возможно поэтому у тебя и вызывают отторжение задачи, которые заставляют думать а не отвечать на них заученными фразами.

у тебя и вызывают отторжение задачи, которые заставляют думать

Напряжённо размышлять, что же на самом деле хотел спросить учитель, когда спросил, сколько будет трижды два?

Определенно, вызывает некоторое отторжение.

троли

ты просто порождение современной школьной программы

Спасибо, посмеялся.

Я мог бы сказать, что я порождение более цивилизованного времени. Но не скажу, потому что это неправда.

«Детское» умножение - это двухместная операция, в которой на первом месте стоит объект реального мира

Что, если просто сказать детям, что волшебные^W математические операции работают только над волшебными же объектами? Что мы не можем умножать пельмени на тарелки, но можем умножать их количества, числа? И что порядок этих чисел в операции не имеет значения?

Рокет сайнс прям, на ровном месте.

Ты действительно считаешь что суть этих задач проверить как ребенок знает таблицу умножения?

Конечно же, нет

Напряжённо размышлять, что же на самом деле хотел спросить учитель, когда спросил, сколько будет трижды два?

Так я ещё раз тебя спрошу, ты действительно считаешь, что эта задача на знание таблицы умножения?

Что, если просто сказать детям, что волшебные^W математические операции работают только над волшебными же объектами? Что мы не можем умножать пельмени на тарелки, но можем умножать их количества, числа?

это называется алгебра. множество носителей и множество операций.

можешь назадавать какие угодно. хоть пельмени, хоть тарельки. и умножение там же можешь задать таким образом, что пельмени на тарелки нельзя, а тарелки на пельмени можно.

но это будет уже твоя какая-то кастомная «особая алгебра»

задача на знание таблицы умножения?

так и есть.

типичная квадратно-гнездовая задача на таблицу умножения. прошли операцию умножения, таблицу - и давай бесмысленные однотипные задачи гнать.

пройдут деление - будут такие же гнездовые задачи на деление. надо только побыстрее догадаться что на что делить нужно, чтобы получить правильный ответ и от тебя побыстрее отстали с этой чушью.

Что, если просто сказать

«Просто сказать» не работает. И для взрослых это не работает тоже. Обучение до сих работает не по-Азимовски, и нельзя себе в мозг просто загрузить набор правильных фактов и уйти довольным.

Что теоретически должно работать, так это 1) подробное объяснение сути поставленных оценок и 2) некоторый здоровый пофигизм в их отношении.

Не так что «ааа, двоечник!!!», а так что: тут ты получил правильный ответ, но плохо объясняешь решение / не следуешь соглашениям по оформлению / делаешь пять орфографических ошибок на строку текста и т.п.

У этих критериев разный вес и разная применимость в зависимости от ситуации и конкретных целей упражнения. И реакция и вклад в итоговую оценку у них могут быть разными. Но важно что они есть, и что совпадение ответа с учебником далеко не единственный критерий успеха. И нужно чтобы это было понятно тому, кого оценивают.

У меня к примеру в старших классах была «договоренность» с училкой: она мне каждый раз честно снижала балл за недостаточный объем, я каждый раз честно эту претензию пропускала мимо ушей и опять писала на лист меньше положенного, и так пять лет. Никаких обид при этом, есть критерий, есть его невыполнение, все счастливы.

Но тут не только учителям надо мозги вправлять, но и тем родителям в первую очередь, которые кроме оценки ни на что больше не реагируют.

Ну как бы в этой задаче НЕ спрашивается, сколько будет трижды два. Я в целом не согласен с таким подходом к оценке, но логика этой истории в том, что ребенку неплохо бы показать, что он понимает, почему тут эти два числа нужно именно перемножать (а не складывать или вообще просто поставить рядом), иначе возникнет опасение, что таблицу-то ребенок выучил, а зачем вообще нужно умножение - не понял. Правильным решением, конечно, было бы вообще не давать такого рода листов с однотипными текстовыми задачами, а сразу же перемежать их с задачами на сложение - сообразил, что нужно делать в каждой конкретной задаче - молодец, понимаешь. Не сообразил - работаем, разбираемся.

типичная квадратно-гнездовая задача на таблицу умножения.

Вот ученик и заработал 2 т.к. задание было не на знание арифметики. Что интересно, если исключить детское умножение, то в текущем виде задачи уже не годятся.

Не так что «ааа, двоечник!!!», а так что: тут ты получил правильный ответ, но плохо объясняешь решение / не следуешь соглашениям по оформлению / делаешь пять орфографических ошибок на строку текста и т.п.

Вот в этом конкретном примере что можно объявить критерием провала? Кроме очевидного because fuck you, that’s why?

Вот ученик и заработал 2 т.к. задание было не на знание арифметики

Это из-за вас, гребаных дзен-муддистов, потом дети всю жизнь вздрагивают при слове «математика».

Может ты всё таки ответишь прямо, считаешь ли ты, что задание было на знание таблицы умножения?

Может ты всё таки ответишь

Я пока еще не понял, что на самом деле ты хочешь услышать.

Ты действительно считаешь, что в стандартной школьной программе шли задания с проверкой по другим параметрам, отличным от явных?

В задачах из примера, указанного в ОП оценивается не умение умножать два числа, а понимание учеником сути операции умножения, как сложения объектов реального мира.

Т.е., этому заданию предшествовала теория. И если спрашивается, сколько апельсинов на трёх блюдах, то и ученик должен сложить количество апельсинов столько раз, сколько подносов в условии, а не наоборот.

Тут как раз параметры вполне явные.

Я пока еще не понял, что на самом деле ты хочешь услышать.

Ответ на свой вопрос.

Вот в этом конкретном примере что можно объявить критерием провала?

Непонимание разницы между множимым и множителем.

Текстовые задачи - это отдельный тип деятельности. В них проверяется не умение считать ответ, а навык из «свободного» текста выцепить суть задачи. Для этого конкретного упражнения важно распарсить текст не просто вычленив оттуда цифры, но и из нестрогого описания выявить роль этих цифр в задаче.

Соглашение по записи множимого первым а множителя вторым - это шорткат для того чтобы легко заметить понимает человек эти роли или нет. Если ты не следуешь этому соглашению, ты не факт что не знаешь или не видишь разницы, но по крайней мере о том, что её видишь ты никому не сказал.

Я бы когда проверяла не тупо двойку рисовала в таких случаях, а писала что-то «задание выполнено не полностью, переделать».

На самом деле

пять яблок три раза == три раза по пять яблок

это вообще не про коммутативность. Это эквивалентные текстовые формулировки одного и того же количества. Это выбор между двумя способами записи одного и того же объекта.

Здесь речь идет не о том что 3x5=5x3 а о том что как записать текстовое содержимое в виде формулы. Это по сути тот самый выбор между «правым» и «левым» умножением.

Коммутативность умножения - это:

три раза по пять яблок == пять раз по три яблока

Это равенство существенно разных объектов.

Непонимание разницы между множимым и множителем.

Она как суслик — ее никто не видит и не ощущает, но она есть? %)

Непонимание разницы между множимым и множителем.

Может быть не только «непонимание», а старательный уход от этого понимания

Чем меньше ты мозги включаешь - тем проще дается задача

Абстрагирование от реальной задачи в область целых чисел - это мегафича

По сути, на картинке в оп-посте, решающему вообще можно не читать задачи. Выбрасываем все слова, оставляем одни цифры, перемножаем в любом порядке и получаем гарантированно правильный ответ

За этим математика в быту и нужна - чтобы делать вещи проще, а не сложнее.

Выбрасываем все слова, оставляем одни цифры, перемножаем в любом порядке и получаем гарантированно правильный ответ

Вот нифига не правильный. Просто в этих учебных задачах всего 2 числа и всего одно действие. Когда действий и чисел будет больше метод «взять и поделить» работать не будет. Рельность сложнее на порядок. А вот эти люди запомнившие что можно как угодно крутить числами к ней будут совершенно неготовы.

тут ещё писечка в том, что на следущем уроке им уже будут втирать про то, что от «перемены мест результат не меняется».

тут интереснее другое. что сейчас в шкалку берут уже умеющих читать и писать и считать. потенциально, если не входить в 95% учеников, то решатель задач может знать что там можно переставлять и ничего не поменяется в результате.

но с точки зрения училки это ошибка, т.к. об этом только на след. уроке будут сообщать.

изначально зачем тратить время и учить тому, что придется забыть уже на след. уроке? типа облегчаешь что-то? в любой технологии обучения первым делом всегда стараются уменьшить количество приобретаемых вредных привычек. а тут изначально прививают одну, а потом старательно забарывают. для чего?

изначально зачем тратить время и учить тому, что придется забыть уже на след. уроке?

Зато все при деле.

на следущем уроке им уже будут втирать про то, что от «перемены мест результат не меняется».

Так ты различай решение задачи и просто умножение, сомневаюсь что кто-то из учеников не поймет что 2 тарелоки по 3 яблока, 3 тарелки по 2 яблока дают одинаковое число яблок. Вопрос не про умножение а про решение задач, т.е. это скорее из области оформления, как тот же +-корень.

Можно конечно математику аксиоматически вводить и выкидыть всю эту историчность создания, но вроде как с абстрактным мышлением в таком возрасте проблемы.

По сути, на картинке в оп-посте, решающему вообще можно не читать задачи. Выбрасываем все слова, оставляем одни цифры, перемножаем в любом порядке и получаем гарантированно правильный ответ

Молодец, отлично проиллюстрировал почему сверять ответы недостаточно.

изначально зачем тратить время и учить тому, что придется забыть уже на след. уроке?

Зачем это забывать? Наличие множимого и множителя в задачах на повторяющееся сложение не противоречит коммутативности умножения.

потому что на след. уроке скажут прямым текстом «от перестановки множителей результат не меняется».

что такое множимое? и куда оно изчесло и вообще зачем нужно было изначально?

но уже обучили концепции множимого

вся проблема в том - что задача вырожденный случай. ей ничего не проверяется, кроме знания таблицы умножения. т.е. там нельзя никаких больше ошибок допустить кроме оплошности в умножении. но с точки зрения училки можно ещё: накосячить в оформлении - лишний пробел, строчка не там начата, накосячить в буквописании и т.д. или накосячить в порядке операндов, когда это ничего не меняет вообще и никак не влияет на результат.

вот было бы там более заковыристое условие, где одной операцией над всеми доступными числами из условия не отделаешься - тогда да.

но это доказывает лишь то, что такая задача попросту говно. на таких задачах ничему не научишься.

вся проблема в том - что задача вырожденный случай. ей ничего не проверяется, кроме знания таблицы умножения.

Нет, вся проблема в том что мы говорим не на том уровне детализации. Эти все рассуждения не имеют смысла пока ты реально не сядешь с ребенком этого возраста и не попробуешь ему «просто сказать, что..».

Вот когда это не сработает, там можно будет начать читать некоторые интересные учебники для родителей, которые например упоминают такие вещи как multiplication vocabulary. Оказывается в языке миллион способов как можно выразить умножение на словах, и распознавать эти способы - тоже навык на который родителям и педагогам начальной школы надо обращать внимание. Поэтому текстовые задачи и вопросы из жизни с разными объектами на начальных этапах необходимы.

Вообще как бы стоит немножко передохнуть и осознать что преподавание в начальной школе имеет свою специфику, в которую ни среднестатистический инженер, ни выпускник мехмата, ни доктор наук сходу не въедет. «Математика» для дошколят и матан в универе - сильно разные вещи. И хочется конечно придти и всё порешать с высоты своих знаний и представлений, но для этого надо почитать методическую литературу, чтобы как минимум представлять суть проблемы перед тем как её разруливать.

P.S. У меня самой этого дошкольного опыта тоже нет, я только в 8-9 классе в школе работала. Но и там пришлось от университетских подходов перестраиваться и переучиваться.

Да, и от этого бомбит ещё сильнее. И там всех этих, кто не понимает основ, натаскивают на «сдать экзамены и защитить диплом» вместо того, чтобы отчислить. Потому что мало студентов - мало финансирования ВУЗу, меньше групп - меньше часов у педагога, меньше часов - меньше зарплата. И тех дятлов, что есть, нужно тянуть, ибо плохие оценки - это не студенту нафиг ничего не надо, он сюда от армии косить пришёл, это ты плохо учишь. А потом «дипломированный откоситель от армии» не найдя нормальную работу имеет наглость не в макдак идти работать, а в школу. И его, #@$%!, берут, потому что если штат не укомплектовать - директор по голове получит.

Палочная система, мать её. И класть они там хотели на то, что из поколения в поколение учителя тупеют, а следовательно за ними и ученики. Зато пропагандонам по зомбоящику напрягаться не придётся - в любую дичь поверит электротат. А иначе если - это же придётся задницу от кресла оторвать и проверить, а действительно ли распоряжения выполняются нормально, или красиво всё только на бумаге. А потом, вдруг и мои отчёты кто-то проверить захочет? Не, я лучше отчитаюсь о том, что всё идёт по плану.

Ух ты какой срач разгорелся из-за тупой училки которая поставила двойку за то что запись в решении ученика отличается от записи в её решебнике.

Вообще, это всё довольно логично, но только вот уже в том упомянутом учебнике доказывается коммутативность умножения на той же странице, сразу после определения.

А ещё есть один пример, где известно, что умножение не коммутативно — это умножение вектора на число.

А как записывается это умножение: k·a⃗ — например: если вектор складывается сам с собой, то получается a⃗+a⃗=2·a⃗.

И что мы видим? Сложение k раз по (n объектов) надо записывать именно как k·n, а не наоборот, по аналогии с векторами, то есть вначале писать количество слагаемых, а потом одно слагаемое!

Например девять томов в собрании, а собраний два надо записать именно как 2·9=9+9=18, а другой порядок неверен.

А у ученика на фотографии именно так и было записано. То есть с учётом некоммутативности умножения, ученик как раз всё сделал правильно, а учитель — нет. Причём именно всё, поскольку зачёркнуты все ответы. Если бы хоть один не был зачёркнут — получилось бы что ученик где-то расположил множитель и множимое не в том порядке.

Или ещё пример из школьной алгебры:

(a+b)²=a²+2ab+b²

Эта формула получается при раскрытии скобок и там повторяется два раза слагаемое a·b, и два таких слагаемых пишут именно как 2·ab, а не как ab·2, что, опять же, показывает, что в математике принято писать количество одинаковых слагаемых первым, а уже потом одно слагаемое.

То есть, я согласен с учителем в том, что при записи решения задачи следует обращать внимание на порядок записи чисел, по крайней мере на начальном этапе, а но не согласен с тем, какой именно порядок навязан учителем, поскольку в других отраслях математики как правило первым пишется множитель, а потом уже множимое.

Ну и с оценкой 2 не согласен, следовало поставить 4 или 5-, поскольку ответы везде правильные. За небрежность при оформлении оценку можно снизить максимум один балл при правильном ответе и общем ходе решения.

Умножение объясняют как последовательное сложение т.о. 3*2 это 3+3. Т.е. 3 сырника раскладываем по 2 тарелкам (повторяем 2 раза), получаем 3 сырника + 3 сырника. Если поменять местами, то не очень понятно как 2+2+2 объяснять в натуре.

Я выше объяснял, почему нужно записывать вначале множитель, а потом множимое, то есть 3+3=2·3, а не наоборот.

Фотка говорит, что не усвоил совершенно.

Почему не усвоил? У ученика там как раз везде правильно, вначале количество слагаемых (множитель), потом одно слагаемое (множимое) записано. Обрати внимание, зачёркнуты все все ответы. Это просто учитель сам порядок перепутал. См моё сообщение выше.

Ты тоже не усвоил.

Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать
7 + 7 + 7
пишут при помощи знака умножения короче:
7 × 3 или 7 · 3

9 томов, 2 собрания: 9+9=9*2

выше объяснял, почему нужно записывать вначале множитель

Число пишут перед неизвестным, чтобы в рукописи не принять число за индекс, или степень. Кроме того это выглядит более «естественным», т.к. в языке обычно принята последовательность тема-рема (известное-новое), а не наоборот.

Ну и с оценкой 2 не согласен, следовало поставить 4 или 5-, поскольку ответы везде правильные.

Суть задания не в правильном математическом решении, а в определении операции умножения к объектам реального мира, на примере множимого и множителя. Т.е., если спрашивается сколько апельсинов, то апельсины - множимое, а количество блюд - множитель.

Суть задания не в правильном математическом решении, а в определении операции умножения к объектам реального мира

Иначе говоря, суть задания в постижении дзен.

Я уже по-моему или писал выше или хотел написать, что если бы люди давали ответ на то, о чём их спрашивают, а не на своё представление о сути предмета, то мир был бы немного лучше.

Вот, спрашивают тебя сколько апельсинов, так и считай апельсины, а не блюда, число которых уже известно.

Суть задания не в правильном математическом решении, а в определении операции умножения к объектам реального мира, на примере множимого и множителя. Т.е., если спрашивается сколько апельсинов, то апельсины - множимое, а количество блюд - множитель.

Чтобы постигнуть суть умножения, берешь тетрадь в клеточку и рисуешь там квадратную таблицу 10x10. Медитируешь на неё до просветления.

Ты тоже не усвоил.

Это цитата из учебника позапрошлого века. Там так, да. А вот в современной алгебре вначале пишут множитель, а уже потом множимое. Примеры выше — как из векторов, так и из школьной алгебры. Три блюда по девять апельсинов правильно писать именно как 3·9=9+9+9=27.

А где в «квадратной таблице 10x10» объекты реального мира?

Я понимаю, что часть людей рождается с абстрактным мышлением и для них ответы из ОП являются героическим примером математического диссидентства, но увы, большинство людей проходит путь от конкретного к абстрактному, а не наоборот.

Зачем 10×10, если 9×9? Заголовок совпадает с первой строкой и его не обязательно повторять.

если бы люди давали ответ на то, о чём их спрашивают, а не на своё представление о сути предмета, то мир был бы немного лучше

Согласен, но в обратную сторону, для вопросов, это тоже так.

Я понимаю, что часть людей рождается с абстрактным мышлением

Часть людей просто обучалась сразу нормальной арифметике, а не «объектам реального мира».

А где в «квадратной таблице 10x10» объекты реального мира?

Если так нужны «объекты реального мира», но они прямо в тетради нарисованы: сантиметры и квадратные сантиметры.

Что такое «квадратный метр», я в 6-7 лет понимал свободно.

большинство людей проходит путь от конкретного к абстрактному, а не наоборот.

Все проходят этот путь, но секрет любого пути состоит в том, что его надо пройти, а не сидеть безвылазно в точке А.

Если не развивать в детях абстрактно-логическое мышление, то оно и не разовьётся. Останется ребёнок – маугли в каменных джунглях.

А вот в современной алгебре вначале пишут множитель, а уже потом множимое.

А в ОП пример из начальной школы, а начальная школа - это как армия, как учитель сказал, так и есть. Потому что у него задача - не истину постияь, а объяснить материал и проконтроллировать в соответствии с требованиями.

Что такое «квадратный метр», я в 6-7 лет понимал свободно.

Ты чёртов гений! )