Зачем нужны аксиомы?

у бесконечности НЕТ физического смысла.

Вообще-то есть. Отсутствие смысла тоже смысл.

хорошо. У бесконечности нет ФИЗИЧЕСКОГО смысла. Так понятнее?

А вообще, бесконечность имеет смысл. Она не является неопределённостью. Она является _частично_ определённой неопределённостью. Мы многое про неё знаем, а не только основное правило НЁХ (напомню: если смешать банку говна, и банку варенья, получится две банки говна). Ну например мы точно знаем нижнюю границу бесконечности — это любое число. Бесконечность больше. Это куда как лучше НЁХ, у который никакие границы не определены. Даже сам вопрос существования границ НЁХ не имеет смысла. Но IRL я всё равно не наблюдаю никаких бесконечностей. В отличие от НЁХ.

Показывает границы применимости (фазовый переход, уход объекта в ненаблюдаемую область и тд.

это не бесконечность. Это дефектность модели. Если мой bash не может посчитать 2*77, то это дефект баша, а вовсе не бесконечность. Бесконечность тут совсем не причём.

У меня другой диагноз.

Хронический недоучка?

и это тоже. Я не Б-г.

это так только на сфере, которая конечна. Проблема лишь в этом.

Ты думаешь, на гиперболоиде введенная тобой прямая останется прямой в твоем смысле после произвольной замены координат?

хорошо. У бесконечности нет ФИЗИЧЕСКОГО смысла.

Да ну?

Постулат это не аксиома. Постулаты проистекают из фактов.

постулат не нуждается ни в каких фактах. Ему не нужны причины. Он сам по себе факт и причина.

тогда скажи, что такое «время»?

Это не факт, это абстракция очень высокого уровня.

«все прямые углы равны» это тоже абстракция очень высокого уровня. Называется аксиомой. У Евклида — постулат №4. А ещё это и общеизвестный факт.

Вот частота излучения, возникающего при переходе электрона с одной орбитали на другую - факт.

что ты этим хотел доказать?

постоянно путаю. Потому-что говорю не про сферическую поверхность, а про поверхность Римана.

в данной теме идет разговор про риманово пространство. Конкретный вариант поверхности постоянной положительной кривизны ты придумал сам

вот хотелось-бы узнать: может быть x равен бесконечности?

Да. Например, если x лежит в множестве, состоящем из 2-х элементов: пустого множества и бесконечности

как обычно. Две перпендикулярные прямые. Абсцисса и ордината.

без системы координат нет прямых, ты не забыл ведь еще свое определение?

при чём тут системы координат? Мы не в школе. Вспомни первый закон Ньютона: тело движется по ПРЯМОЙ если на него ничего не давит. Для этого тела разве нужны какие-то координаты? Его движение как-то изменится с изменением координат? Естественно нет! (в классической физике, с бесконечной скоростью света). Причина проста: тело «знает» своё дифференциальное движение, которое решается прямой линией. Причём решение никак не зависит от координат и даже от радиуса кривизны. В кривом пространстве тело естественно так и движется по прямой(которая кривая).

Причина проста: искривляя пространство мы никак не воздействуем на тело (если считать его точкой конечно), потому его траектория никак не меняется. Так и остаётся прямой линией.

Если тел две штуки, и вектор скорости одинаков, но начальные координаты разные, то тела движутся по прямым, которые параллельны. При чём тут кривизна пространства? Правильно — не причём.

это в любом неплоском римановом пространстве.

потому-что любое конечно и является сферой.

Если ты хочешь исследовать свойства поверхности Римана, то не выходи за пределы бесконечно малой окрестности.

Я хочу исследовать всё (псевдо)риманово пространство с произвольной гладкой наперед заданной системой тетрад как достаточно общий случай неевклидова пространства.

исследуй, кто тебе не даёт? Только не забывай о том, что поверхность Римана внутренне противоречива — бесконечные линии конечны, а бесконечно удалённая точка на расстоянии π.

поясни. При чём тут какое-то другое пространства? Давая лучше с нашей плоскостью разберёмся, а потом займёмся другими плоскостями?

При том, что вне касательного пространства нет никаких углов.

это либо бред, либо демагогия. Мы про поверхность говорим? Или про пространство? Ты определись. На поверхности углы есть, и обычно они вполне определены.

при чём тут системы координат?

А при том, что ты определял прямую, как множество точек, координаты которых удовлетворяют линейным уравнениям. Ясно же, что без системы координат ты так прямую не введешь.

тело движется по ПРЯМОЙ

тело движется по геодезической, а не по твоей прямой. И лишь в случае плоского пр-ва геодезическая совпадает с твоей прямой, да и то только в аффинных координатах.

потому-что любое конечно и является сферой.

Нет. http://ru.wikipedia.org/wiki/Риманово_многообразие

Мы про поверхность говорим? Или про пространство? Ты определись. На поверхности углы есть, и обычно они вполне определены.

ну давай, определи углы на поверхности, но только не переходя к пределам. Потому что это будет неявное использование касательного пространства.

Ты думаешь, на гиперболоиде введенная тобой прямая останется прямой в твоем смысле после произвольной замены координат?

естественно да. Если тебя так путают координаты, возьми тело, движущееся по прямой. Прямая станет кривой в моём смысле тогда, и только тогда, когда ты искривишь координаты. Тогда она относительно твоих кривых координат станет кривой. Но если ты будешь искривлять пространство/поверхность, то всё будет в порядке(ну в относительном. Прямые линии останутся прямыми, но внутреннему наблюдателю всё равно не поздоровится) (и да, рвать пространство не нужно)

хорошо. У бесконечности нет ФИЗИЧЕСКОГО смысла.

Да ну?

ага. Покажи мне бесконечность с физическим смыслом. Если от тебя кто-то убежал, то ты конечно можешь считать, что этот кто-то «в бесконечности», но на самом деле это не так.

Прямая станет кривой в моём смысле тогда, и только тогда, когда ты искривишь координаты

А какой тогда она несет смысл, прямая перестает быть прямой после замены координат? Тем более, что любую гладкую незамкнутую кривую можно сделать прямой в некоторой системе координат?

Множество направлений, по которым тебя могут послать. Оно содержит в себе бесконечное количество элементов.

в данной теме идет разговор про риманово пространство. Конкретный вариант поверхности постоянной положительной кривизны ты придумал сам

не. Не я. Это не я придумал «пересекать меридианы на полюсе». И не я доказываю, что прямые линии не прямые, а параллельные не параллельны. И какие-то «касательные пространства» тоже не я придумал.

И какие-то «касательные пространства» тоже не я придумал.

Если для тебя касательные пространства это «какие-то», то у тебя колоссальный провал знаний в области неевклидовых пространств и тебе надо срочно сесть за книжки, чтоб хоть представлять себе предмет разговора

Да

а вот quasimoto пояснил, что нет. x у него любое целое, и не бывает бесконечных целых.

Например, если x лежит в множестве, состоящем из 2-х элементов: пустого множества и бесконечности

случай кардинальных чисел он тоже рассмотрел. Кардинальное число равно самому себе. И конечное число тем более равно самому себе. А вот НЁХ свойством рефлексивности не обладает. Но её тут и нету. Потому всё верно.

Из множества целых чисел конечно нельзя.

Но можно придумать такое множество, которое будет иметь подмножество, эквивалентное множеству целых чисел, и бесконечность:

{(n, i)}

i может принимать значения 0 и 1. при i = 0 n может принимать целые значения, при i = 1 только нулевое.

Определим отношение =< следующим образом: a = (n, i), b = (m, j). Если i = j = 0, то a =< b тогда и только тогда, когда (n =< m). Если i = 0, j = 1 то a =< b если i = 1, j = 1 то a =< b

но не будет нормального сложения и вычитания, т.е. не будет кольца.

постулат не нуждается ни в каких фактах. Ему не нужны причины.

Вот в этом и фатальный недостаток чисто теоретического изучения наук. Кушайте больше грубых данных, в них клетчатка для лучшего пищеварения, а не умственной жвачки.

что ты этим хотел доказать?

То что время может быть по разному определено в разных теориях (есть например субъективное время, то, про которое Кант писал). А вот события, происходящие с четкими интервалами - объективны.

А при том, что ты определял прямую, как множество точек, координаты которых удовлетворяют линейным уравнениям. Ясно же, что без системы координат ты так прямую не введешь.

по твоему я вообще никак ничего не выведу, ибо для определения прямой мне нужно определить координаты, а это невозможно.

К счастью ты заблуждаешься: для описания прямой линии координаты не нужны. Прямая линия первична, а координаты вторичны.

На самом деле, «прямая» это тоже аксиома, причём первая. Т.ч. «определить» я её не могу в принципе. Любая попытка определения прямой — масляное масло. Ну а я тебе дал её свойство, используя которое, ты можешь отличить прямые от кривых. В плоскости Римана оно тоже работает. Ну а то, что у тебя система координат, в которых моя прямая пряма в моём смысле, кривая — это не баг, а фича.

тело движется по геодезической, а не по твоей прямой.

тело движется по «моей прямой», которую ты называешь «геодезической».

потому-что любое конечно и является сферой.

Нет. http://ru.wikipedia.org/wiki/Риманово_многообразие

дык правильно: это не пространство и не поверхность. Это многообразие. И поверхности там бесконечно малые. А я говорил про вполне себе измеримую поверхность ненулевого размера.

Спорить про «прямые на бесконечно малой поверхности» я конечно не буду. Это к кому-нибудь другому вопрос.

по твоему я вообще никак ничего не выведу, ибо для определения прямой мне нужно определить координаты, а это невозможно.

Да. Но все становится проще, если использовать не твои прямые, а стандартное введение координат в римановом пространстве.

К счастью ты заблуждаешься: для описания прямой линии координаты не нужны.

не ты ли говорил, что прямая линия это множество точек, задаваемое линейным уравнением?

это не пространство и не поверхность. Это многообразие.

ты хоть по ссылке перешел? Риманово пространство и риманово многообразие это синонимы.

 Риманово многообразие или риманово пространство

И поверхности там бесконечно малые

что-что?

ну давай, определи углы на поверхности, но только не переходя к пределам. Потому что это будет неявное использование касательного пространства.

не будет. Твоё касательное пространство тут вовсе не обязательно. Оно само выводится предельным переходом, т.ч. никак не может быть «общим случаем». Ну а угол на поверхности всё также и определяется пресечением двух прямых линий. В любой бесконечно малой окрестности с центром в пересечении, любые прямые линии достаточно прямые в смысле Евклида.

В любой бесконечно малой окрестности с центром в пересечении, любые прямые линии достаточно прямые в смысле Евклида.

короче, ты опять пользуешься предельным переходом. Тем самым вводя придуманное уже > 100 лет касательное пространство.

И вообще, если ты не в курсе, риманово пространство это особое векторное расслоение гладкого многообразия. И как раз эта векторная часть и зовется касательным пространством.

Прямая станет кривой в моём смысле тогда, и только тогда, когда ты искривишь координаты

А какой тогда она несет смысл, прямая перестает быть прямой после замены координат?

не перестанет. Какой смысл — я не знаю, смотря как изменять будешь.

Тем более, что любую гладкую незамкнутую кривую можно сделать прямой в некоторой системе координат?

нельзя. Нельзя менять произвольным образом систему координат. Тривиальное дифференциальное уравнение уравнение должно выполняться(т.е. луч света или любой кирпич должны лететь по этой «прямой»). Если кривизна пространства нулевая, то у тебя обычная декартова сетка получается. А если это не так, всё становится намного интереснее, это математики и изучают, на своих Римановых многообразиях. Они, между прочим, не от балды конструируются, а в строгом соответствии с Евклидовыми аксиомами(только пятая аксиома является не аксиомой, а мерой и «направлением» кривизны).

Множество направлений, по которым тебя могут послать. Оно содержит в себе бесконечное количество элементов.

Это называется «энтропия». Да, выражается ОЧЕНЬ большим целым числом, которое постоянно и непрерывно растёт. НО. Это НЕ бесконечность.

Если для тебя касательные пространства это «какие-то», то у тебя колоссальный провал знаний

ага.

тебе надо срочно сесть за книжки

вот ещё! Я всё это давно и успешно забыл, ибо не нужно. Надо будет — вспомню. А пока мне здравого смысла хватает (да, я читер).

Нельзя менять произвольным образом систему координат

Да почему нет. Если кривая достаточно хорошая, я возьму ее в качестве первой из осей координат. После этого все ее точки будут иметь координаты вида (x, 0). Т.е. она будет прямой в твоем смысле.

Тривиальное дифференциальное уравнение уравнение должно выполняться(т.е. луч света или любой кирпич должны лететь по этой «прямой»).

Какое уравнение, какой кирпич? Есть двумерное гладкое многообразие точек (x_1, x_2) с метрикой g_{\mu,\nu}(x_1,x_2). Где ты в нем кирпич увидел?

Но можно придумать такое множество

не сомневаюсь, но прочитай тот бред, что я вчера писал.

но не будет нормального сложения и вычитания, т.е. не будет кольца.

За то x=x будет истинно. А мы про него и говорили. Т.е. ты определил _возможность_ существования x(и второго тоже), и по аксиоме объёмности не составит труда доказать, что x=x при любых n,i из твоей ОДЗ.

А придумать множеств но не кольцо — можно хоть 100500. Смысл?

Эти твои множества нафиг не нужны, и ими никто-бы и не занимался, если-бы они сами по себе иногда не появлялись.

постулат не нуждается ни в каких фактах. Ему не нужны причины.

Вот в этом и фатальный недостаток чисто теоретического изучения наук

ну кто же мешает тебе его исправить? Лично я так вообще оцениваю математику исключительно с т.з. полезности IRL. Вот например риманово многообразие полностью бесполезно(для меня. Допускаю, и даже уверен, что оно кому-то нужно).

И тем не менее, постулаты знать таки надо.

То что время может быть по разному определено в разных теориях (есть например субъективное время, то, про которое Кант писал). А вот события, происходящие с четкими интервалами - объективны.

ИМХО «определить время» это бред. У времени может быть лишь два определение, постулируемое и неверное.

Самое смешное в том, что как раз события очень даже субъективны, ибо не существует глобальных часов. Часы есть только локальные. Никто не гарантировал синхронный ход локальных часов, у нас просто нет никаких предпосылок для этого. Мало того, удалённые часы всегда показывают иное время, которое зависит от времени взаимодействия с этими часами.

Да. Но все становится проще, если использовать не твои прямые, а стандартное введение координат в римановом пространстве.

ну это ты себе такую задачу поставил. Наверное ты прав. Зачем мне это?

не ты ли говорил, что прямая линия это множество точек, задаваемое линейным уравнением?

слушай, а что-бы линии быть параболой ей тоже по твоему нужна сетка координат? Да/нет? Если нет, то чем прямая хуже?

ты хоть по ссылке перешел? Риманово пространство и риманово многообразие это синонимы.

ЕМНИП «многообразием» его и называют потому, что-бы подчеркнуть тот факт, что это никакое не пространство в том смысле, как это обычно понимают. Это Over9000 пространств СРАЗУ. Т.ч. не синонимы ниразу.

И поверхности там бесконечно малые

что-что?

то. Говорю-же, кроме сферы ничего не может _существовать_. А бесконечно малые обрывки всегда могут существовать(ага, в голове математиков), толку-то?

На самом деле, сфера — единственно годная поверхность Римана IRL, только надо забыть о том, что она конечна.

короче, ты опять пользуешься предельным переходом. Тем самым вводя придуманное уже > 100 лет касательное пространство.

идиотская логика. Если я вычисляю объём стакана, я тоже обязан придумать касательное пространство? Или может квадратуру круга можно решить без предельного перехода?

И вообще, если ты не в курсе, риманово пространство это особое векторное расслоение гладкого многообразия. И как раз эта векторная часть и зовется касательным пространством.

это доказывает, что на поверхности сферы нет углов что-ли?

Какое уравнение, какой кирпич?

любое уравнение первого порядка, любой кирпич, на который ничего не давит.

Есть двумерное гладкое многообразие точек (x_1, x_2) с метрикой g_{\mu,\nu}(x_1,x_2). Где ты в нем кирпич увидел?

вот и я говорю, твои касательные пространства не нужны IRL. Или ты не знаешь, как правильно их применить к кирпичу(любому). В любом случае — не нужны.

Да почему нет. Если кривая достаточно хорошая, я возьму ее в качестве первой из осей координат. После этого все ее точки будут иметь координаты вида (x, 0). Т.е. она будет прямой в твоем смысле.

не будет. Где я говорил о том, что ты можешь менять как хочешь оси координат?

И да, если ты решил опровергнуть, то давай, опровергай все 4 постулата Евклида (с тем, что пятый не выполняется я и не спорил).

Где написано что он не выполняется?

ну не считая того, что параллельные прямые пересекаются.

Гыде они пересекаются?

Где написано что он не выполняется?

а выполняется? Расскажи как.

ну не считая того, что параллельные прямые пересекаются.

Гыде они пересекаются?

Я откуда знаю?

Нет. http://ru.wikipedia.org/wiki/Риманово_многообразие

Риманова геометрия и геометрия римана - это две разные темы. По английски геометрия римана называется elliptic geometry, а римаонва геометрия - это как раз из топологии.

а выполняется? Расскажи как.

А почему он должен не выполнятся? Если геодезическая пересекающая две других геодезических не образует внутренних углов меньших 90 - где они пересекуться? В римановой поверхности противоположные точки отождествляются, и это как бы «полусфера». То есть точка пересечения двух геодезических которые пересекает третья с углами равными 90 находится на границе полусферы - и с чего б это она должна находится на поверхности. Почему ты считаешь что они пересекаются а не асимптотически приближаются?

Хотя это все фигня. В проективной плоскости римановой поверхности не может быть параллельных прямых. С другой стороны из определения геодезической - это кратчайшее растояние. А плоскость задается вращением образующей вокруг направляющей. Насколько корректно в неэвклидовой плоскости говорить и параллельности в любых направлениях вопрос отдельный.

короче carry on - вас интересно читать.

Или так - если отталкиваться от определения плоскости как задаваемой образующей вокруг направляющей, для обеспечения возможности бесконечности прямых для эвклидовой геометрии расстояние образующей от направляющей должно стремится к бесконечности. Если напустить такое же условие на риманову поверхность будем иметь бесконечную сферу. Следовательно две геодезические пересекаемые третьей с углами в 90 пересекутся только на бесконечности.

А почему он должен не выполнятся?

а почему должен?

Если геодезическая пересекающая две других геодезических не образует внутренних углов меньших 90 - где они пересекуться?

какая разница где? Пространство сужается и заворачивается. А значит где-то пересекутся. Где именно не важно. Сфера конечна, потому пересекаются на полюсах. Полюса считаются от экватора, а экватор это как раз та линия, которая пересекает меридианы.

В римановой поверхности противоположные точки отождествляются, и это как бы «полусфера».

нет. Это сфера. А эта точка в надире.

Хотя можно представить и как полусферу, но мне сложно.

Почему ты считаешь что они пересекаются а не асимптотически приближаются?

на этот вопрос ответить просто: пересекаются они потому, что расстояние между ними уменьшается. Причём скорость зависит от кривизны. А если кривизна постоянная, то точка пересечения от нас на конечном расстоянии. А дальше они расходится будут.

Если кривизна отрицательная, то параллельные прямые тоже пересекаются. Но как всегда при отрицательной кривизне через жопу: пересекаются _другие_ прямые разного направления.

Ещё бывают ультрапараллельные, которые вообще не пересекаются. На сфере это параллели.

Дефектность наших с тобой моделей в том, что мы не можем рассматривать прямые, которые не проходят через центр, точнее можем, но только ультрапараллельные. Что-бы рассматреть другой меридиан, необходимо сдвинуть центр, а значит и всю модель. При этом первая прямая станет уже НЕ ТА. У каждой прямой есть размер, и этот размер всё портит. Ибо он «максимальный» только если прямая пересекает центр. У нормальной плоскости Римана нет центра и она бесконечна. Как и прямые.

Если напустить такое же условие на риманову поверхность будем иметь бесконечную сферу.

да. Проблема только в том, что бесконечная сфера имеет бесконечно малую кривизну. Т.е. эквивалентна плоскости. Вот потому-то она и ведёт себя не так, как должна вести себя поверхность с положительной кривизной.

Тут выше я говорил про здравый смысл: так вот, здравый смысл мне подсказывает, что прямую плоскость я могу РАСТЯНУТЬ, и она останется бесконечной, но растянутой. Но если её аккуратно СЖАТЬ, то она просто обязана схлопнуться. Причём в сферу.

Следовательно две геодезические пересекаемые третьей с углами в 90 пересекутся только на бесконечности.

так и есть при нулевой кривизне.

Ваша модель _=_ не соответствует действительности

У меня _=_ это не модель, а теория, то есть equivalence relation — объект, отношение на нём, аксиомы теории — рефлексивность, транзитивность и симметричность (для equality нужна ещё «заместимость»). Что угодно что можно под это подогнать будет моделью такой теории, в том числе обычные натуральные числа с обычной процедурой сравнения на равенство, да и переполняющиеся числа фиксированной точности — тоже, не вижу проблем.

Логика подсказывает, что именно это значок и должен изображать.

Тогда это будет просто неформальный значок который нет смысла обсуждать.

А ЭТО не обязано подчиняться равенству, даже самой себе.

Тогда для такого «этого» и такого «равенства» нельзя построить модель для теории _=_. Ну и ладно :)

Тащем-то мы даже действительные числа и то не имеем полного права сравнивать на равенство...

И вот пример, хотя можно построить модель для них, но с равенством более слабым чем «настоящее» — например, для definables формула_описывающая_действительное_числа = та_же_формула, очевидно, в остальном просто будут false negatives (то есть != не будет дополнением =).

любопытно, но не нужно. Проблема в том, что расширять множество чисел не нужно в данном случае, это просто другой случай

На практике это просто не нужно.

Зависит от того что это за «практика» и «данный случай», для примитивного счёта — возможно не нужно, для алгебраической геометрии — ещё вопрос. Для вычислительной математики — может быть полезно, например, IEEE 754 тоже добавляет к приближениям ещё и особый inf (не исключение же кидать — нужно тотализировать операции).

НИЧЕГО НЕ ПОЛУЧАЕТСЯ

Ок, это правильно. Вообще _/_ это частичная функций на, допустим, ℚ × ℚ и тотальная функция на ℚ × ℚ \ {0}, это связано с тем как в кольце ℚ решаются уравнения a * x = b, при этом функция это всегда особого вида отношение, то есть _/_ ⊂ ℚ × ℚ \ {0} × ℚ ⊂ ℚ³, все уравнения a * x = b при a != 0 имеют единственные решения x = b / a, где _/_ — эта функция. Теперь возьмём 0 * x = 0 — оно имеет решением всё множество ℚ (x — любое), это значит что _/_ можно продолжить за ℚ × ℚ \ {0} в точку (0, 0) уже в виде отношения-не-функции ({(0, 0, x) | x ∈ ℚ}), остаются только уравнения 0 * x = b при b != 0, то есть точки {(b, 0) | b != 0} ⊂ ℚ², эти точки просто не принадлежат множеству _/_ (подмножеству ℚ³), потому что в кольце ℚ нельзя найти такой x. Итого, решения a * x = b даются тернарным отношением которое где-то не определено (точки просто не принадлежат отношению), где-то чистое отношение, где-то тотальная функций — _/_ = {(b, a, b / a) | b ∈ ℚ, a ∈ ℚ, a ‌≠ 0} ∪ {(0, 0, x) | x ∈ ℚ} ⊂ ℚ³, можно визуально представить в ℚ³ как поверхность, линию вверх-вниз в (0, 0) и отсутствие точек на b = 0, a != 0.

Зачем нужна ещё одна математика, которую не к чему применять??

Так это не математика — математика одна, это конкретные алгебраические структуры — вон в теории групп и колец изучают тыщи разных структур и уравнений над ними, так что с решениями что угодно может происходить.

Так же AC/GCH/... не создают математик — они создают разные теории (наборы аксиом), алгебраическая теория (колесо, кольцо, группа и т.п.) — частный случай теории вообще.

∞ * ∞ === ∞∞ (бесконечность второго порядка)

Noes! ∞ * ∞ = ∞, так как для бесконечных счётных множеств |A| × |A| = |A × A| = |A|. Вот ∞ ^ ∞ = 2 ^ ∞ <= ∞∞ — да (= в случае CH).

Попробуй http://blog.wolframalpha.com/2010/09/10/transfinite-cardinal-arithmetic-with-... — http://www.wolframalpha.com/input/?i=aleph+0+*+aleph+0, http://www.wolframalpha.com/input/?i=aleph+0+%5E+aleph+0.

но не будет нормального сложения и вычитания, т.е. не будет кольца.

open import Data.Integer renaming ( _+_ to _+ℤ_; _*_ to _*ℤ_ )

data ℤ∞ : Set where
  f : ℤ → ℤ∞
  ∞ -∞ : ℤ∞

_+_ : ℤ∞ → ℤ∞ → ℤ∞
f a + f b = f (a +ℤ b)
f _ + ∞   = ∞
f _ + -∞  = -∞
∞   + f _ = ∞
-∞  + f _ = -∞
∞   + ∞   = ∞
∞   + -∞  = f (+ 0)
-∞  + ∞   = f (+ 0)
-∞  + -∞  = -∞

_*_ : ℤ∞ → ℤ∞ → ℤ∞
f a     * f b     = f (a *ℤ b)
f (+ 0) * ∞       = f (+ 0)
f _     * ∞       = ∞
∞       * f (+ 0) = f (+ 0)
∞       * f _     = ∞
f (+ 0) * -∞      = f (+ 0)
f _     * -∞      = -∞
-∞      * f (+ 0) = f (+ 0)
-∞      * f _     = -∞
∞       * ∞       = ∞
∞       * -∞      = -∞
-∞      * ∞       = -∞
-∞      * -∞      = ∞

полагаю что кольцо с подкольцом ℤ.

Недокрутил

_*_ : ℤ∞ → ℤ∞ → ℤ∞
f a        * f b        = f (a *ℤ b)
f (+ 0)    * ∞          = f (+ 0)
f (+ _)    * ∞          = ∞
f -[1+ _ ] * ∞          = -∞
∞          * f (+ 0)    = f (+ 0)
∞          * f (+ _)    = ∞
∞          * f -[1+ _ ] = -∞
f (+ 0)    * -∞         = f (+ 0)
f (+ _)    * -∞         = -∞
f -[1+ _ ] * -∞         = ∞
-∞         * f (+ 0)    = f (+ 0)
-∞         * f (+ _)    = -∞
-∞         * f -[1+ _ ] = ∞
∞          * ∞          = ∞
∞          * -∞         = -∞
-∞         * ∞          = -∞
-∞         * -∞         = ∞

Бесконечность + число = бесконечность, я правильно понял?

Если у нас кольцо, то у бесконечности есть обратный элемент по сложению. Добавим его к обоим частям. Слева получим исходное число, справа 0. Непорядок.